高中数学知识框架·必修第一册（人教A版 2019 版）

第一章 集合与常用逻辑用语　高中数学的第一课不讲新的计算，讲的是表达方式。初中说「所有大于 2 的数」，高中写成一个集合；初中说「因为…所以…」，高中要分清哪一步是充分、哪一步是必要。这一章给出的是后面四册通用的语言。

1.1 集合的概念　集合与元素：把一些确定的对象看作一个整体即为集合，其中每个对象叫作它的元素。　元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。判断一批对象能否成集，看的就是确定性。　属于与不属于：a 是集合 A 的元素记作 a ∈ A，否则记作 a ∉ A。这一关系只在元素与集合之间使用。　列举法：把元素一一写在花括号内，元素有限且个数不多时使用。　描述法：写成 { x ∈ I | p(x) }，竖线左边是代表元素，右边是它满足的条件。　常用数集的记号：N 自然数集、N* 正整数集、Z 整数集、Q 有理数集、R 实数集。

1.2 集合间的基本关系　子集：A 中任意元素都是 B 的元素，记作 A ⊆ B。它是集合间最基本的一种关系。　真子集：A ⊆ B 且 B 中至少有一个元素不属于 A，记作 A ⊊ B。　集合相等：A ⊆ B 且 B ⊆ A 时 A = B。证明两集合相等的标准做法是证两次包含。　空集：不含任何元素的集合，记作 ∅。它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。　子集的个数：含 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集、2ⁿ − 1 个真子集、2ⁿ − 2 个非空真子集。

1.3 集合的基本运算　交集：A ∩ B = { x | x ∈ A 且 x ∈ B }，取两个集合的公共部分。　并集：A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }，两集合的元素合在一起，重复的只计一次。　全集：在特定问题中含有所研究的全部元素的集合，常记作 U。　补集：∁ᵤA = { x | x ∈ U 且 x ∉ A }，全集中不属于 A 的那部分。　德摩根定律：∁ᵤ(A ∩ B) = ∁ᵤA ∪ ∁ᵤB，∁ᵤ(A ∪ B) = ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB。

1.4 充分条件与必要条件　充分条件：若 p ⇒ q，则 p 是 q 的充分条件。有了 p 就一定有 q。　必要条件：若 p ⇒ q，则 q 是 p 的必要条件。没有 q 就一定没有 p。　充要条件：p ⇒ q 且 q ⇒ p，记作 p ⇔ q。此时 p 与 q 是同一件事的两种说法。　集合视角：记 p、q 对应的解集为 P、Q，则 p ⇒ q 等价于 P ⊆ Q。范围小的是充分条件。

1.5 全称量词与存在量词　全称量词：「所有」「任意」「每一个」，符号 ∀。含它的命题叫全称量词命题。　存在量词：「存在」「至少有一个」「某些」，符号 ∃。含它的命题叫存在量词命题。　全称命题的否定：∀x ∈ M, p(x) 的否定是 ∃x ∈ M, ¬p(x)。量词换掉，结论也要否定。　存在命题的否定：∃x ∈ M, p(x) 的否定是 ∀x ∈ M, ¬p(x)。两类命题的否定互为对方。

第二章 一元二次函数、方程和不等式　初中把方程、不等式与二次函数当作三件事分别学。这一章把它们并到一处：不等式的解集是函数图象在某一侧的横坐标范围，方程的根是图象与横轴的交点。观点一换，试根就变成了看图。

2.1 等式性质与不等式性质　作差比较法：a − b > 0 等价于 a > b。比较两式大小的通用办法是作差后判断符号。　不等式的传递性：a > b 且 b > c 时 a > c。多个不等式串联的依据。　可加性：不等式两边同加一个数，方向不变。移项的依据就是它。　可乘性：两边同乘正数方向不变，同乘负数方向改变。这是全章最容易出错的一条。　同向可加与同向正数可乘：两个同向不等式可以相加；两边均为正时可以相乘。相减与相除不成立。　a > b ⇔ a − b > 0（作差法的依据）　适用：对任意实数 a、b 成立，不需要正负号前提　a > b, c > 0 ⇒ ac > bc（可乘性）　适用：乘数为正。乘数为负时不等号方向相反，乘数为 0 时化为等式　a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd（同向同正可乘）　适用：两个不等式同向且四个量均为正，缺一不可

2.2 基本不等式　基本不等式：两个正数的算术平均数不小于几何平均数，等号当且仅当两数相等时成立。　一正二定三相等：使用前提：各项为正、和或积为定值、等号能够取到。三条缺一结论即不可靠。　和定积最大：两正数之和为定值时，二者相等处乘积最大。　积定和最小：两正数之积为定值时，二者相等处和最小。　配凑：题目不满足定值条件时，通过拆项、乘以恒等于 1 的式子等手段凑出定值。　a+b/2 ≥ √(ab)（基本不等式）　适用：a > 0 且 b > 0。等号当且仅当 a = b 时成立　a² + b² ≥ 2ab（重要不等式）　适用：对任意实数 a、b 成立，不要求为正。等号当且仅当 a = b　a + 1/a ≥ 2（常用变形）　适用：a > 0。a < 0 时该式的取值不超过 −2

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式　三个二次：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式。图象与横轴的交点把三者连成一体。　判别式：Δ = b² − 4ac。它决定图象与横轴有两个、一个还是没有交点。　解集的读法：a > 0 时，大于零取两根之外，小于零取两根之间。　恒成立问题：不等式对一切实数成立，等价于图象整体位于横轴一侧，转化为对 a 与 Δ 的条件。　x = -b ± √(b²-4ac)/2a（一元二次方程的求根公式）　适用：a ≠ 0 且 Δ = b² − 4ac ≥ 0　x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a（根与系数的关系）　适用：a ≠ 0 且方程有实数根，即 Δ ≥ 0　ax² + bx + c > 0 恒成立 ⇔ a > 0 且 Δ < 0（恒成立的等价条件）　适用：二次项系数不为零。a 可能为零时须单独讨论一次的情形

第三章 函数的概念与性质　初中的函数定义依赖「变化」这一直觉，遇到分段给出的对应就说不清楚。这一章改用集合与对应重新定义：给定两个非空数集与一个对应关系，每个输入恰有一个输出。定义一变，定义域与值域就成了函数的一部分。

3.1 函数的概念及其表示　函数的定义：设 A、B 为非空数集，若按某种对应关系 f，A 中每个数都有 B 中唯一的数与之对应，则称 f 为从 A 到 B 的函数。　定义域：自变量取值的集合 A。解析式给出的函数，定义域是使式子有意义的全部实数。　值域：全部函数值构成的集合，它是 B 的子集，不一定等于 B。　同一个函数：定义域相同且对应关系相同，两者缺一即不是同一个函数。　分段函数：在定义域的不同区间上用不同解析式表示的函数。它是一个函数，不是几个。　三种表示法：解析法、图象法、列表法。同一函数可以用不同方式表示，各有适用场合。

3.2 函数的基本性质　单调递增：在区间 D 上任取 x₁ < x₂ 均有 f(x₁) < f(x₂)。关键在「任取」，不是某两个。　单调区间：函数具有单调性的区间。多个单调递增区间之间用逗号分隔，不能用并集符号连接。　最大值与最小值：存在 x₀ 使 f(x₀) 不小于（不大于）区间上全部函数值，且该值被取到。　奇函数：定义域关于原点对称且 f(−x) = −f(x)，图象关于原点中心对称。　偶函数：定义域关于原点对称且 f(−x) = f(x)，图象关于 y 轴轴对称。　判断奇偶性的第一步：先看定义域是否关于原点对称，不对称则既非奇函数也非偶函数。

3.3 幂函数　幂函数：形如 y = xᵅ 的函数，底数是自变量、指数是常数。系数必须为 1。　五个常见幂函数：y = x、y = x²、y = x³、y = x^(1/2)、y = x⁻¹，教材重点研究这五个。　第一象限的共性：五个函数的图象都经过点 (1, 1)；指数为正时过原点，指数为负时不过原点。　指数与增长快慢：在 x > 1 的范围内，指数越大图象上升越快。

3.4 函数的应用（一）　函数的零点：使 f(x) = 0 的实数 x。它是一个数，不是一个点。　三者等价：函数的零点、方程的实数根、图象与 x 轴交点的横坐标，是同一件事的三种说法。　零点存在定理：f 在 [a, b] 上连续且 f(a)·f(b) < 0 时，(a, b) 内至少有一个零点。　二分法：反复取区间中点、保留两端函数值异号的那一半，把零点所在区间不断缩小。　f(a) · f(b) < 0 ⇒ (a, b) 内有零点（零点存在定理）　适用：f 在闭区间 [a, b] 上的图象连续不断。图象断开时结论不成立

第四章 指数函数与对数函数　这一章按「先把运算补齐，再研究函数」的顺序推进两次：指数由整数扩充到实数之后才有指数函数，对数作为求指数的运算引入之后才有对数函数。两个函数互为反函数，图象关于直线 y = x 对称。

4.1 指数　n 次方根：xⁿ = a 时称 x 为 a 的 n 次方根。n 为偶数时正数有两个互为相反数的实数根。　根式：ⁿ√a 中 n 为根指数、a 为被开方数。n 为偶数时要求 a ≥ 0。　分数指数幂：a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)，规定 a > 0。它把根式统一到幂的记号之下。　指数范围的扩充：正整数指数、整数指数、有理数指数、实数指数，运算性质在每一次扩充中保持不变。　aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ（同底数幂相乘）　适用：a > 0，m、n 为任意实数　(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ（幂的乘方）　适用：a > 0，m、n 为任意实数　a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)（分数指数幂的定义）　适用：a > 0，m、n 为整数且 n > 1

4.2 指数函数　指数函数：y = aˣ，其中 a > 0 且 a ≠ 1。自变量在指数位置，底数是常数。　两种走势：a > 1 时单调递增，0 < a < 1 时单调递减。底数与 1 的大小决定图象走向。　定点：全部指数函数的图象都经过点 (0, 1)，因为任何非零数的零次幂为 1。　值域：(0, +∞)。指数函数的值恒为正，图象整体位于 x 轴上方。　y = aˣ（指数函数）　适用：a > 0 且 a ≠ 1。a = 1 时为常值函数，不属于指数函数

4.3 对数　对数：aˣ = N 时记 x = log_a N，其中 a > 0 且 a ≠ 1，N > 0。对数就是指数。　真数必须为正：N > 0 是对数有意义的前提，含参问题中这一条常常构成定义域限制。　常用对数与自然对数：以 10 为底记作 lg N，以 e 为底记作 ln N。　换底公式：把任意底的对数化为同一底，是比较大小与化简的基本手段。　aˣ = N ⇔ x = log_a N（指数式与对数式互化）　适用：a > 0 且 a ≠ 1，N > 0　log_a(MN) = log_a M + log_a N（积的对数）　适用：a > 0 且 a ≠ 1，M > 0 且 N > 0。两个真数都要为正　log_a Mⁿ = n·log_a M（幂的对数）　适用：a > 0 且 a ≠ 1，M > 0。M 可能为负时应先取绝对值　log_a N = log_c N/log_c a（换底公式）　适用：a、c 均大于 0 且不等于 1，N > 0

4.4 对数函数　对数函数：y = log_a x，其中 a > 0 且 a ≠ 1，定义域为 (0, +∞)。　两种走势：a > 1 时单调递增，0 < a < 1 时单调递减，与同底指数函数一致。　定点：全部对数函数的图象都经过点 (1, 0)，因为底数的零次幂为 1。　反函数关系：y = aˣ 与 y = log_a x 互为反函数，图象关于直线 y = x 对称。

4.5 函数的应用（二）　指数增长模型：y = N(1 + p)ˣ。单位时间内按固定比例增长，常见于复利与人口。　指数衰减模型：底数小于 1 的指数型函数，常见于半衰期与药物代谢。　三类增长的快慢：自变量足够大时，指数函数的增长快于幂函数，幂函数快于对数函数。　选模型的依据：看增量的规律：固定增量选一次函数，固定比例选指数函数，增速越来越慢选对数函数。

建模 建立函数模型解决实际问题　建模的四步：提出问题、建立模型、求解模型、检验与改进。四步构成一个可以重复的循环。　数据的整理：先作散点图观察趋势，再决定选用哪一类函数拟合。　检验：把模型算出的结果与实际数据比对，偏差过大时回到选型这一步重来。

第五章 三角函数　前四章的函数都不重复，这一章第一次出现周期函数。教材把初中锐角三角比推广到任意角：在单位圆上给每个角配一个点，正弦余弦就是这个点的纵横坐标。定义一坐标化，符号规律、诱导公式与图象都随之而来。

5.1 任意角和弧度制　任意角：由射线绕端点旋转而成。逆时针为正角，顺时针为负角，不转动为零角。　终边相同的角：与角 α 终边相同的角构成集合 { β | β = α + k·360°, k ∈ Z }。　象限角：把角的顶点放在原点、始边与 x 轴非负半轴重合后，终边所在的象限。　弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角为 1 弧度。它用实数度量角，使角与实数一一对应。　α = l/r（弧度数的定义）　适用：l 为弧长、r 为半径，两者单位相同。所得弧度数不带单位　l = |α|r（弧长公式）　适用：α 用弧度表示。用角度表示时须先化为弧度　S = 1/2lr（扇形面积公式）　适用：l 为弧长、r 为半径。该式与三角形面积公式形式一致　180° = π（角度与弧度的换算）　适用：换算时按比例进行，1 弧度约为 57.30°

5.2 三角函数的概念　单位圆定义：角 α 的终边与单位圆交于点 P(x, y)，则 sin α = y，cos α = x，tan α = y/x。　符号规律：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。　同角三角函数的基本关系：平方关系与商数关系两条，是化简与求值的主要工具。　已知一个求其余：由一个函数值求其余两个时，先由角所在象限定符号，再用两条关系式求值。　sin²α + cos²α = 1（平方关系）　适用：对任意角 α 成立　tan α = sin α/cos α（商数关系）　适用：cos α ≠ 0，即 α ≠ π/2 + kπ

5.3 诱导公式　诱导公式的来源：单位圆上关于 x 轴、y 轴、原点对称的点，坐标之间有固定的正负对应。　奇变偶不变：π/2 的奇数倍时函数名改变，偶数倍时函数名不变。　符号看象限：把原角看作锐角，判断变换后的角落在哪个象限，取原函数在该象限的符号。　化简的方向：任意角先化为 0 到 2π 之间，再化为锐角，逐步归到已知的特殊角。

5.4 三角函数的图象与性质　五点法：取一个周期内使函数值为 0 与取到最值的五个点，连成光滑曲线即得图象。　周期性：正弦余弦的最小正周期为 2π，正切为 π。周期是三角函数区别于前几类函数的特征。　奇偶性：正弦与正切是奇函数，余弦是偶函数。由图象的对称方式可以直接读出。　单调区间：正弦在 [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 上递增；余弦在 [2kπ − π, 2kπ] 上递增。　对称轴与对称中心：正弦的对称轴过最值点，对称中心是与 x 轴的交点；余弦相反。　T = 2π/|ω|（正弦型函数的最小正周期）　适用：y = Asin(ωx + φ) 型函数，ω ≠ 0。正切型改用 π/|ω|

5.5 三角恒等变换　两角差的余弦公式：全章公式的起点，由单位圆上两点间距离的两种算法推出。　和差角公式：由差角余弦公式出发，配合诱导公式可以推出正弦与正切的和差角公式。　二倍角公式：在和角公式中令两角相等即得。余弦的二倍角有三种等价形式。　降幂与升幂：由余弦二倍角公式变形得到，是处理平方项的常用手段。　辅助角公式：把 asin x + bcos x 化成一个正弦式，是求最值的关键一步。　cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β（两角差的余弦公式）　适用：对任意角 α、β 成立，是全章其余公式的推导起点　sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β（两角和与差的正弦公式）　适用：对任意角成立。符号左右对应，不可交叉　cos 2α = 1 − 2sin²α（二倍角余弦的降幂形式）　适用：对任意角成立。另两种形式为 cos²α − sin²α 与 2cos²α − 1　a sin x + b cos x = √(a²+b²)·sin(x + φ)（辅助角公式）　适用：a、b 不同时为零，其中 tan φ = b/a 且 φ 的象限由 a、b 的符号确定

5.6 函数 y = Asin(ωx + φ)　振幅：A 决定图象在纵向上的伸缩，也等于函数的最大值。　角频率：ω 决定周期，周期为 2π 除以 ω 的绝对值。ω 越大图象越密。　初相：φ 决定图象的左右位置。x = 0 时的相位就是它。　两种变换顺序：先平移再伸缩时平移量为 φ，先伸缩再平移时平移量为 φ 除以 ω。　由图象求解析式：先由最值定 A，再由周期定 ω，最后代入一个特殊点定 φ。　y = A sin(ωx + φ)（正弦型函数）　适用：A > 0 且 ω > 0 时上述性质成立。A 或 ω 为负时须先化为正

5.7 三角函数的应用　简谐运动：位移随时间按正弦规律变化的运动，弹簧振子与单摆都属于此类。　四个量的含义：振幅是最大位移，周期是完成一次全振动的时间，频率是周期的倒数，初相定起始位置。　建模步骤：由最高与最低值定 A 与竖直平移量，由完成一周所需时间定 ω，由起始位置定 φ。