高中数学知识框架·必修第二册（人教A版 2019 版）

第六章 平面向量及其应用　此前学过的量只有大小，位移、速度、力却还带着方向。这一章把这类量抽象成向量，并给它配上一套运算：加法与减法用图形定义，数乘改变长度与指向，数量积把两个向量变回一个数。运算一立，几何问题就能用代数做。

6.1 平面向量的概念　向量：既有大小又有方向的量，用有向线段表示。只有大小的量称为数量。　向量的模：向量的长度，记作 |a|。它是一个非负数。　零向量：长度为 0 的向量，记作 0。它的方向是任意的，这一条是本节最特殊的规定。　单位向量：长度等于 1 个单位的向量。与 a 同向的单位向量是 a 除以它的模。　相等向量：长度相等且方向相同的两个向量。向量与起点位置无关，可以自由平移。　共线向量：方向相同或相反的非零向量，也称平行向量。它们可以不在同一条直线上。

6.2 平面向量的运算　三角形法则：首尾相接，起点指向终点。求和时把第二个向量的起点移到第一个的终点。　平行四边形法则：共起点的两个向量为邻边作平行四边形，对角线即为它们的和。　向量的减法：共起点时，差向量由减数的终点指向被减数的终点。　数乘向量：λa 的模是 |λ| 与 |a| 的乘积；λ 为正时同向，为负时反向。　数量积：a·b = |a||b|cos θ，结果是一个数。它把两个向量与它们的夹角联系起来。　投影向量：一个向量在另一个向量方向上的投影，数量积正是模与投影长度的乘积。　a · b = |a||b|cos θ（数量积的定义）　适用：θ 为两向量的夹角，取值在 0 到 π 之间。零向量与任何向量的数量积为 0　a ⊥ b ⇔ a · b = 0（垂直的判定）　适用：a、b 均为非零向量。含零向量时该等价关系不成立　|a|² = a · a（模与数量积的关系）　适用：对任意向量成立，是求模的常用手段

6.3 平面向量基本定理及坐标表示　平面向量基本定理：取两个不共线向量作基底，平面内任一向量都能唯一地表示为它们的线性组合。　基底：任意两个不共线的向量都可以作基底。零向量与任何向量共线，故不能入选。　正交分解：取互相垂直的单位向量作基底，向量的分解就是它在两个坐标轴上的分量。　坐标表示：在正交基底下，向量的坐标就是它终点的坐标减去起点的坐标。　坐标运算：加减与数乘对应坐标的加减与数乘，数量积是对应坐标乘积之和。　a · b = x₁x₂ + y₁y₂（数量积的坐标式）　适用：a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，在正交基底下　a ∥ b ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0（共线的坐标条件）　适用：对任意两个向量成立，含零向量时也成立　cos θ = x₁x₂+y₁y₂/√(x₁²+y₁²)·√(x₂²+y₂²)（夹角的坐标式）　适用：a、b 均为非零向量

6.4 平面向量的应用　正弦定理：三角形中各边与其对角正弦之比相等，且等于外接圆直径。　余弦定理：任一边的平方等于另两边平方和减去它们与夹角余弦乘积的二倍。　解三角形的两类问题：已知两角一边或两边及一边对角用正弦定理；已知三边或两边夹角用余弦定理。　解的个数：已知两边及一边对角时可能无解、一解或两解，需要另行判断。　三角形的面积公式：两边与夹角正弦乘积的一半。它由高等于一边乘对角正弦推出。　a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R（正弦定理）　适用：对任意三角形成立，R 为外接圆半径　a² = b² + c² − 2bc cos A（余弦定理）　适用：对任意三角形成立。A 为直角时退化为勾股定理　S = 1/2bc sin A（三角形的面积公式）　适用：b、c 为两边，A 为它们的夹角

探究 用向量法研究三角形的性质　向量法的思路：选定基底把各点的位置向量写出来，几何条件转化为向量等式。　垂直条件：两向量数量积为零。三条高共点的证明正是从两次垂直推出第三次。　中线与重心：重心到顶点的向量之和为零向量，这一条用向量表述最为简洁。

第七章 复数　数系的每一次扩充都由一个解不出的方程推动：负数来自减法，分数来自除法，无理数来自开方。这一章补上最后一次扩充 —— 引入 i 使负数可以开平方。复数与平面上的点一一对应，于是代数运算获得了几何意义。

7.1 复数的概念　虚数单位：规定 i² = −1，且 i 与实数在一起时原有的运算律仍然成立。　复数的代数形式：a + bi，其中 a、b 为实数，a 为实部、b 为虚部。虚部是实数 b，不含 i。　复数的分类：虚部为零时是实数；虚部不为零时是虚数；实部为零且虚部不为零时是纯虚数。　复平面：以实部为横坐标、虚部为纵坐标建立的平面。复数、点与向量三者一一对应。　共轭复数：实部相同、虚部互为相反数的两个复数，在复平面内关于实轴对称。　复数的模：对应点到原点的距离，等于实部与虚部平方和的算术平方根。

7.2 复数的四则运算　加减法：实部与实部相加减、虚部与虚部相加减。几何上就是向量的加减。　乘法：按多项式展开后把 i² 换成 −1 再合并。　除法：分子分母同乘分母的共轭复数，把分母化为实数。　i 的周期性：i 的幂以 4 为周期循环：i、−1、−i、1。计算高次幂时先对指数取余。　乘以 i 的几何意义：对应的向量绕原点逆时针旋转 90 度，长度不变。　(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i（复数的乘法）　适用：a、b、c、d 均为实数。展开后须把 i² 换成 −1　1/z = z̄/|z|²（复数的倒数）　适用：z ≠ 0。除法的实质就是分母乘共轭化为实数　z · z̄ = |z|²（复数与其共轭之积）　适用：对任意复数成立，结果是一个非负实数

7.3 复数的三角表示　三角形式：z = r(cos θ + i sin θ)，其中 r 为模、θ 为辐角。　辐角与辐角主值：辐角有无穷多个，相差 2π 的整数倍；取值在 0 到 2π 内的那一个称为辐角主值。　乘法的几何意义：模相乘、辐角相加。复数的乘法因此就是伸缩加旋转。　除法的几何意义：模相除、辐角相减。　z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)]（三角形式的乘法）　适用：两复数均写成三角形式，r₁、r₂ 为非负实数

第八章 立体几何初步　平面几何的许多结论到了空间就不再成立。这一章先认识几类基本几何体，再用三个基本事实搭起空间的推理基础，随后逐级研究线与线、线与面、面与面的平行与垂直。全章的推理都在「判定」与「性质」两个方向上往返。

8.1 基本立体图形　多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都属此类。　棱柱：两个底面平行且全等，侧棱互相平行。侧棱垂直于底面时称为直棱柱。　棱台：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。　旋转体：由平面图形绕一条定直线旋转而成，圆柱、圆锥、圆台与球属此类。　轴截面：过旋转轴的截面。圆锥的轴截面是等腰三角形，圆柱的是矩形。

8.2 立体图形的直观图　斜二测画法：x 轴不变、y 轴与 x 轴成 45 度角，且 y 方向的长度取原来的一半。　画法的三条约定：平行关系不变、x 方向长度不变、y 方向长度减半。　面积的变化：直观图与原图形面积之比为定值，等于四分之根号二。　S′ = √2/4S（直观图与原图形的面积比）　适用：按斜二测画法作出的直观图，与原平面图形的形状无关

8.3 简单几何体的表面积与体积　柱体的体积：底面积与高的乘积。棱柱与圆柱共用同一个公式。　锥体的体积：等底等高柱体体积的三分之一。这一个三分之一是本节最常被漏写的系数。　球的表面积与体积：表面积为半径平方的四倍圆周率倍，体积为半径立方的三分之四圆周率倍。　组合体：由基本几何体拼接或挖去而成，求体积时按加减处理。　V = Sh（柱体的体积）　适用：S 为底面积、h 为高。高是两底面之间的距离，不是侧棱长　V = 1/3Sh（锥体的体积）　适用：S 为底面积、h 为顶点到底面的距离　S = 4πR²（球的表面积）　适用：R 为球的半径　V = 4/3πR³（球的体积）　适用：R 为球的半径

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系　三个基本事实：不共线三点确定一个平面；两点在平面内则直线在平面内；两平面若有公共点则交于一条直线。　异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。它们既不相交也不平行。　基本事实四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。空间中传递平行关系的依据。　等角定理：两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。　异面直线所成的角：把其中一条平移到与另一条相交，所成的锐角或直角。取值范围不含零度。

8.5 空间直线、平面的平行　线面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。　线面平行的性质：直线与平面平行，且过该直线的平面与已知平面相交，则交线与该直线平行。　面面平行的判定：一个平面内两条相交直线都与另一个平面平行，则两平面平行。　面面平行的性质：两平面平行，第三个平面与它们都相交，则两条交线平行。　证明的方向：判定由低维推高维，性质由高维退回低维，做题时先判断需要哪一个方向。

8.6 空间直线、平面的垂直　线面垂直的定义：直线与平面内任意一条直线都垂直。它是本节其余结论的出发点。　线面垂直的判定：直线与平面内两条相交直线都垂直，则与该平面垂直。相交二字是关键。　线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。　二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，用平面角度量。　面面垂直的判定：一个平面过另一个平面的垂线，则两平面垂直。　面面垂直的性质：两平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

第九章 统计　统计要回答的是「怎样用一部分了解整体」。这一章分两步：先解决数据从哪里来，给出简单随机抽样与分层随机抽样；再解决数据怎样说话，用图表与几个数字概括一组数据的集中趋势与离散程度。

9.1 随机抽样　总体与样本：所要考察对象的全体是总体，从中抽取的一部分是样本，样本中个体的数目是样本量。　简单随机抽样：每个个体被抽到的机会相等。抽签法与随机数法是它的两种实现。　分层随机抽样：总体可分为差异明显的若干层时，按各层在总体中所占比例抽取。　分层的依据：层内差异小、层间差异大。分层的目的是让样本更贴近总体的结构。　分层抽样的平均数：总样本的平均数是各层平均数按人数比例的加权平均，不是简单平均。

9.2 用样本估计总体　频率分布直方图：纵轴是频率与组距之比，每个矩形的面积才是该组的频率，全部面积之和为 1。　百分位数：把数据从小到大排列后，处在某一百分比位置上的数值。中位数是第 50 百分位数。　平均数与中位数：平均数受极端值影响大，中位数不受。数据分布不对称时两者差异明显。　方差与标准差：衡量数据的离散程度。标准差与原数据同单位，比较时更常用。　由直方图估计统计量：用每组的中点代表该组数据，再按频率加权求平均数。　s² = 1/nΣ(xᵢ − x̄)²（样本方差）　适用：n 为样本量，x̄ 为样本平均数。教材采用除以 n 的形式　每组频率 = 频率/组距 × 组距（由直方图求频率）　适用：纵轴为频率与组距之比时。纵轴直接读到的不是频率

案例 公司员工的肥胖情况调查分析　统计的完整流程：提出问题、收集数据、整理数据、分析数据、得出结论。　分层的选择：案例中按性别分层，因为体重指标在两个群体间差异明显。　结论的表述：统计结论带有随机性，表述时要说明所依据的样本与可能的偏差。

第十章 概率　概率给随机现象一个度量。这一章先用样本空间把一次随机试验的全部结果列清楚，再定义事件的运算与概率；随后讨论两个事件互不影响的情形；最后回到试验，说明频率为什么可以用来估计概率。

10.1 随机事件与概率　样本空间：随机试验全部可能结果组成的集合。事件是它的子集。　互斥事件：两个事件不能同时发生。此时和事件的概率等于两概率之和。　对立事件：两个事件必有且只有一个发生。对立必互斥，互斥未必对立。　古典概型：样本点有限且每个样本点等可能。概率等于事件包含的样本点数除以总数。　概率的加法公式：互斥时两事件和的概率等于概率之和；不互斥时要减去交事件的概率。　P(A) = n(A)/n(Ω)（古典概型的概率）　适用：样本点有限且每个样本点等可能发生，两条缺一不可　P(A ∪ B) = P(A) + P(B)（互斥事件的概率加法公式）　适用：A 与 B 互斥。不互斥时须减去 P(A ∩ B)

10.2 事件的相互独立性　相互独立：一个事件发生与否不影响另一个的概率，判据是两事件交的概率等于概率之积。　独立与互斥的区别：互斥说的是不能同时发生，独立说的是互不影响。两个概率非零的互斥事件一定不独立。　多个事件相互独立：任意有限个事件的交的概率都等于各自概率之积。　有放回与不放回：有放回抽取各次独立，不放回抽取各次不独立。　P(AB) = P(A)P(B)（相互独立的判定与性质）　适用：A 与 B 相互独立。互斥事件不满足此式，除非有一个概率为 0

10.3 频率与概率　频率：事件发生的次数与试验总次数之比。它随试验而变化，是随机的。　频率的稳定性：试验次数足够多时，频率会在概率附近摆动。概率是一个确定的数。　用频率估计概率：概率难以从理论上算出时，用大量重复试验的频率作为它的估计值。　随机模拟：用随机数代替实际试验，是估计概率的常用手段。