高中数学知识框架·选择性必修第一册（人教A版 2019 版）

第一章 空间向量与立体几何　必修第二册的立体几何靠添辅助线与推理，遇到复杂图形时下笔困难。这一章把平面向量推广到空间，再建立空间直角坐标系：平行、垂直、夹角与距离全部化成坐标运算，证明变成计算。

1.1 空间向量及其运算　空间向量：空间中既有大小又有方向的量。加减、数乘与数量积的定义与平面向量完全一致。　共线向量定理：非零向量 a 与 b 共线的充要条件是存在实数 λ 使 b = λa。　共面向量定理：向量 p 与不共线的 a、b 共面的充要条件是存在实数使 p = xa + yb。　空间数量积：两向量模与夹角余弦的乘积。它把角与长度一并纳入运算。　证明平行与垂直：平行化为共线，垂直化为数量积为零。两类证明由此都变成计算。　a · b = |a||b|cos⟨a, b⟩（空间数量积）　适用：两向量均非零。零向量与任何向量的数量积为 0　p = xa + yb（共面向量定理）　适用：a 与 b 不共线。三者共面时 x、y 唯一确定

1.2 空间向量基本定理　空间向量基本定理：任取三个不共面的向量作基底，空间中任一向量都能唯一表示为它们的线性组合。　基底的条件：三个向量不共面。共面时张不出整个空间，唯一性也不成立。　单位正交基底：三个两两垂直的单位向量。它是建立空间直角坐标系的直接依据。　基底法：不便建系时，取图形中三条已知的棱作基底，把全部向量用它们表示后再计算。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示　空间直角坐标系：取一点为原点、三条两两垂直的数轴为坐标轴。一般选择图形中现成的三条互相垂直的棱。　向量的坐标：终点坐标减去起点坐标。它与向量在单位正交基底下的系数一致。　坐标运算：加减数乘按分量进行，数量积是三个对应分量乘积之和。　模与夹角的坐标式：模是三个分量平方和的算术平方根；夹角余弦由数量积除以模的乘积求得。　a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂（空间数量积的坐标式）　适用：在单位正交基底下。基底不正交时该式不成立　|a| = √(x² + y² + z²)（向量的模）　适用：在单位正交基底下　cos⟨a, b⟩ = a·b/|a||b|（夹角余弦）　适用：a、b 均为非零向量。所得余弦可正可负

1.4 空间向量的应用　平面的法向量：与平面垂直的非零向量。求法是设出坐标后与平面内两个不共线向量的数量积均为零。　线面平行与垂直：直线的方向向量与法向量垂直即平行，与法向量共线即垂直。　异面直线所成角：两方向向量夹角余弦的绝对值。取绝对值是因为该角不超过九十度。　线面角：方向向量与法向量夹角的余弦的绝对值，等于线面角的正弦。　二面角：两法向量夹角与二面角相等或互补，具体取哪一个由图形判断。　点到平面的距离：任取平面上一点与该点连成向量，在法向量方向上的投影长度。　sin θ = |a·n|/|a||n|（线面角）　适用：a 为直线的方向向量、n 为平面的法向量。等号左边是正弦不是余弦　d = |AP·n|/|n|（点到平面的距离）　适用：A 为平面内任一点、P 为平面外的点、n 为法向量

第二章 直线和圆的方程　解析几何的基本想法是：给图形配一个方程，让几何问题变成方程问题。这一章从最简单的图形开始 —— 直线由倾斜角与一个点确定，圆由圆心与半径确定。位置关系则统一化为「距离与半径比大小」。

2.1 直线的倾斜角与斜率　倾斜角：直线向上的方向与 x 轴正方向所成的角，取值范围是零度到一百八十度，不含一百八十度。　斜率：倾斜角的正切值。倾斜角为九十度时正切没有意义，此时斜率不存在。　过两点的斜率：纵坐标之差除以横坐标之差。两点横坐标相同时分母为零，斜率不存在。　平行与垂直：斜率都存在时，平行等价于斜率相等，垂直等价于斜率之积为负一。　k = y₂ − y₁/x₂ − x₁（过两点的斜率）　适用：x₁ ≠ x₂。两点横坐标相同时直线垂直于 x 轴，斜率不存在　k₁k₂ = −1（两直线垂直的条件）　适用：两条直线的斜率都存在。一条垂直于 x 轴时应改用倾斜角判断

2.2 直线的方程　点斜式：已知一点与斜率时使用。斜率不存在的直线写不出来。　斜截式：已知斜率与纵截距时使用。同样要求斜率存在。　两点式：已知两点时使用。与坐标轴平行的直线要单独处理。　截距式：已知两个非零截距时使用。过原点或与坐标轴平行的直线写不出来。　一般式：Ax + By + C = 0 且 A、B 不同时为零。它能表示平面内的每一条直线。

2.3 直线的交点坐标与距离公式　两直线的交点：联立两方程求解。方程组无解时两直线平行，有无穷多解时两直线重合。　两点间距离：横纵坐标之差平方和的算术平方根。　点到直线的距离：由一般式的系数直接算出，不必求垂足。　两平行线间距离：先把两式的 x、y 系数化成相同，再取常数项之差的绝对值除以系数平方和的算术平方根。　d = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)（点到直线的距离）　适用：直线写成一般式 Ax + By + C = 0，A、B 不同时为零　d = |C₁ − C₂|/√(A² + B²)（两平行线间的距离）　适用：两式的 x、y 系数必须先化成完全相同，否则结果错误

2.4 圆的方程　圆的标准方程：由圆心坐标与半径直接写出，几何意义一目了然。　圆的一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，且 D² + E² − 4F > 0。这一条件不可省。　两种方程的互化：配方即由一般式得到标准式，展开即由标准式得到一般式。　确定圆的三个条件：圆心与半径共三个待定量，因此需要三个独立条件。　(x − a)² + (y − b)² = r²（圆的标准方程）　适用：圆心为 (a, b)、半径为 r 且 r > 0　D² + E² − 4F > 0（一般方程表示圆的条件）　适用：针对 x² + y² + Dx + Ey + F = 0。等于零时表示一个点，小于零时不表示任何图形

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系　直线与圆的三种关系：相交、相切、相离。判据是圆心到直线的距离与半径的大小关系。　弦长公式：半径平方减去弦心距平方，开方后乘二。它由勾股定理直接得到。　圆与圆的五种关系：外离、外切、相交、内切、内含。判据是圆心距与两半径之和及之差的比较。　两圆的公共弦：两圆方程相减即得公共弦所在直线的方程。　L = 2√(r² − d²)（弦长公式）　适用：d 为圆心到直线的距离且 d < r。d ≥ r 时没有弦

第三章 圆锥曲线的方程　用平面以不同角度去截圆锥，截口依次是椭圆、抛物线与双曲线。这一章按同一条路线走三遍：先给出到定点与定直线的距离所满足的关系，再建系求出方程，最后由方程读出图形的性质。

3.1 椭圆　椭圆的定义：到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹，且该定值大于两定点间的距离。　焦点与焦距：两个定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距，记作 2c。　三个量的关系：长半轴 a 最大，且 a² = b² + c²。这一关系式与勾股定理同形。　离心率：焦距与长轴之比，取值在零到一之间。越接近一椭圆越扁。　焦点位置的判断：看标准方程中 x² 与 y² 哪一项的分母更大，焦点就在哪一个坐标轴上。　a² = b² + c²（椭圆中三个量的关系）　适用：a 为长半轴、b 为短半轴、c 为半焦距，且 a > b > 0　e = c/a（离心率）　适用：椭圆的离心率取值在 0 与 1 之间，不含端点

3.2 双曲线　双曲线的定义：到两个定点的距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹，且该定值小于两定点间的距离。　三个量的关系：c² = a² + b²。半焦距 c 最大，与椭圆中的关系正好相反。　渐近线：双曲线无限接近却永不相交的两条直线。它的方程把标准方程的右边换成零即得。　离心率：焦距与实轴之比，取值大于一。越接近一开口越窄。　实轴与虚轴：含顶点的那条轴是实轴，另一条是虚轴。焦点永远在实轴上。　c² = a² + b²（双曲线中三个量的关系）　适用：a 为实半轴、b 为虚半轴、c 为半焦距。与椭圆的关系式不同，此处 c 最大　y = ±b/ax（渐近线方程）　适用：焦点在 x 轴上的标准双曲线。焦点在 y 轴上时改为 ±(a/b)x

3.3 抛物线　抛物线的定义：到一个定点与到一条定直线的距离相等的点的轨迹，定点不在定直线上。　焦点与准线：定点称为焦点，定直线称为准线。二者到顶点的距离相等。　焦准距：标准方程中的 p，等于焦点到准线的距离。它是抛物线唯一的形状参数。　焦半径：抛物线上一点到焦点的距离，等于该点到准线的距离，由此可化为坐标之差。　y² = 2px（抛物线的标准方程）　适用：p > 0，焦点在 x 轴正半轴上。开口方向由一次项的位置与符号决定　|PF| = x₀ + p/2（焦半径公式）　适用：针对 y² = 2px 上的点 P(x₀, y₀)。开口方向不同时该式随之改变