高中数学知识框架·选择性必修第二册（人教A版 2019 版）

第四章 数列　数列是按次序排列的一列数，也是定义在正整数集上的函数 —— 自变量只取正整数，图象因此是一串孤立的点。本章研究两类最规整的数列：相邻两项之差为定值的与相邻两项之比为定值的，它们的通项与前 n 项和都有现成公式。

4.1 数列的概念　数列：按确定次序排列的一列数。次序改变就成了另一个数列。　数列与函数：数列是定义在正整数集或它的有限子集上的函数，图象是一串孤立的点。　通项公式：把第 n 项直接用 n 表示出来的式子。有了它，任意一项都可以直接算出。　递推公式：用前面的项表示后一项的式子。它需要初始项才能确定整个数列。　由前 n 项和求通项：n 大于一时用相邻两个和作差，n 等于一时单独由首项求出，最后检验能否合并。　aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（由前 n 项和求通项）　适用：n ≥ 2。n = 1 时须单独用 a₁ = S₁ 求出，再检验两式能否合并

4.2 等差数列　等差数列：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数。这个常数称为公差。　通项公式：首项加上公差的若干倍。它关于 n 是一次的，图象上的点落在一条直线上。　等差中项：若 a、b、c 成等差数列，则 b 是 a 与 c 的等差中项，等于两者之和的一半。　前 n 项和：由倒序相加得到，等于首末两项之和乘项数再除以二。　和的二次性：前 n 项和关于 n 是不含常数项的二次函数，公差不为零时可用二次函数求最值。　下标性质：两项下标之和相等时，这两项之和也相等。它是简化运算的常用工具。　aₙ = a₁ + (n − 1)d（等差数列的通项公式）　适用：n 为正整数，d 为公差　Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2（前 n 项和）　适用：由倒序相加得到，对任意等差数列成立　Sₙ = na₁ + n(n − 1)/2d（前 n 项和的另一形式）　适用：已知首项与公差时更便于代入

4.3 等比数列　等比数列：从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个非零常数。这个常数称为公比。　首项与公比的限制：首项与公比都不能为零，因此数列中不会出现零项。　通项公式：首项乘公比的若干次幂。它关于 n 是指数型的。　等比中项：两数的等比中项是它们乘积的算术平方根，正负两个值都成立，且两数必须同号。　前 n 项和：由错位相减得到。公比为一时退化为首项的 n 倍，必须单独讨论。　aₙ = a₁qⁿ⁻¹（等比数列的通项公式）　适用：a₁ ≠ 0 且 q ≠ 0　Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/1 − q（前 n 项和）　适用：q ≠ 1。q = 1 时前 n 项和为 na₁，这一支必须单独写出

选学 数学归纳法　数学归纳法：证明与正整数有关的命题的方法，分归纳奠基与归纳递推两步。　归纳奠基：验证命题对第一个取值成立。这一步确定了起点。　归纳递推：假设对某个正整数成立，推出对它的下一个正整数也成立。　两步缺一不可：缺了奠基则无从开始，缺了递推则只验证了有限项。

第五章 一元函数的导数及其应用　必修阶段研究函数性质靠观察图象，遇到不熟悉的函数便无从下手。导数给出了一个可以计算的判据：它是曲线在一点处的切线斜率，也是瞬时变化率。有了它，单调性、极值与最值都由符号与零点决定。

5.1 导数的概念及其意义　平均变化率：函数值的改变量与自变量改变量之比。几何上是曲线上两点连线的斜率。　瞬时变化率：自变量的改变量趋于零时平均变化率的极限，即该点处的导数。　导数的几何意义：曲线在某点处切线的斜率。割线绕该点转动，极限位置就是切线。　导函数：把每一点的导数值对应起来得到的函数。它与某一点的导数是两个概念。　切线方程：由切点坐标与该点的导数值写出点斜式。切点必须落在曲线上。　f′(x₀) = lim f(x₀+Δx) − f(x₀)/Δx（导数的定义）　适用：Δx 趋于零时该极限存在。极限不存在时导数不存在　y − y₀ = f′(x₀)(x − x₀)（切线方程）　适用：(x₀, y₀) 为切点且在曲线上。过曲线外一点作切线时须先设切点

5.2 导数的运算　基本初等函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数与三角函数的导数公式需熟记，它们是全部运算的基础。　和差的导数：逐项求导。这是四则运算中唯一形式不变的一条。　积的导数：前导后不导加后导前不导。它不等于两个导数的乘积。　商的导数：分子是前导后不导减后导前不导，分母是后者的平方。　复合函数求导：外层对内层求导再乘内层对自变量求导，逐层相乘不能漏掉任何一层。　(uv)′ = u′v + uv′（积的导数）　适用：u、v 均可导。它不等于 u′v′　(u/v)′ = u′v − uv′/v²（商的导数）　适用：u、v 均可导且 v ≠ 0。分子的减号次序不能颠倒　(ln x)′ = 1/x（对数函数的导数）　适用：x > 0。以 a 为底时还要除以 ln a　(sin x)′ = cos x（正弦函数的导数）　适用：x 以弧度为单位。用角度时该式不成立

5.3 导数在研究函数中的应用　单调性的判据：导数在区间上恒为正则递增，恒为负则递减。这是用导数研究函数的第一步。　极值点：导数在该点两侧异号的点。导数为零只是必要条件，不是充分条件。　极大值与极小值：导数由正变负处取极大值，由负变正处取极小值。　最值：闭区间上的最值在极值点与两个端点处产生，需逐一比较函数值。　含参讨论：导数的零点与区间端点的相对位置随参数变化，须按这些位置关系分类。　f′(x) > 0 ⇒ f 在该区间上单调递增（单调性的判据）　适用：在区间内恒成立。个别点处导数为零不影响单调性