高中数学知识框架·选择性必修第三册（人教A版 2019 版）

第六章 计数原理　古典概型要数样本点，样本点一多就数不清。这一章给出两条最基本的计数原理 —— 分类相加与分步相乘，再由它们导出排列与组合的公式。二项式定理则是组合数的一次直接应用。

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理　分类加法计数原理：完成一件事有若干类方法，每一类都能独立完成这件事，总数是各类方法数之和。　分步乘法计数原理：完成一件事需依次完成若干步，缺一步都完不成，总数是各步方法数之积。　两者的判据：看每一类是否单独完成这件事。能单独完成的是分类，必须合起来才完成的是分步。　分类要不重不漏：各类之间不能有交叉，合起来又要覆盖全部情形。

6.2 排列与组合　排列：从 n 个不同元素中取出 m 个按一定顺序排成一列。顺序不同即为不同的排列。　组合：从 n 个不同元素中取出 m 个并成一组，与顺序无关。　两者的关系：排列数等于组合数乘以所取元素的全排列数。先选后排是常用的处理次序。　组合数的性质：取 m 个与取剩下的 n − m 个一一对应，故两个组合数相等。　常见限制：相邻用捆绑法，不相邻用插空法，特殊元素或位置优先处理。　Aₙᵐ = n!/(n − m)!（排列数公式）　适用：m ≤ n 且均为正整数。与顺序有关时使用　Cₙᵐ = n!/m!(n − m)!（组合数公式）　适用：m ≤ n 且均为非负整数。与顺序无关时使用　Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ（组合数的对称性）　适用：0 ≤ m ≤ n。取出的与剩下的一一对应

6.3 二项式定理　二项式定理：两项之和的 n 次幂展开后共 n + 1 项，各项系数依次是组合数。　通项公式：第 r + 1 项由组合数、前一项的 n − r 次幂与后一项的 r 次幂相乘得到。　二项式系数与项的系数：二项式系数只指组合数，项的系数还包含字母前的数字因数。　系数的对称性：与两端等距离的两个二项式系数相等，中间的最大。　系数和：令字母取一得到全部项系数之和，取正负一相加减可得奇偶项系数和。　Tᵣ₊₁ = Cₙʳaⁿ⁻ʳbʳ（二项展开式的通项）　适用：r 从 0 数到 n。求第 k 项时须代入 r = k − 1

第七章 随机变量及其分布　必修阶段研究的是单个事件的概率。这一章把试验结果映射成数值，于是全部结果的概率可以排成一张分布列，再用期望与方差把这张表压成两个数。二项分布、超几何分布与正态分布是三种最常见的模型。

7.1 条件概率与全概率公式　条件概率：在一个事件已经发生的条件下另一个事件发生的概率，样本空间由此缩小。　乘法公式：两事件同时发生的概率等于其中一个的概率乘以在它之下另一个的条件概率。　全概率公式：把样本空间分成若干互斥的情形，按各情形加权求和。　独立与条件概率：两事件独立时条件概率等于无条件概率，条件的加入没有改变结果。　P(B|A) = P(AB)/P(A)（条件概率）　适用：P(A) > 0。分母为零时条件概率没有定义　P(B) = ΣP(Aᵢ)P(B|Aᵢ)（全概率公式）　适用：各 Aᵢ 两两互斥且并集为样本空间，每个 P(Aᵢ) > 0

7.2 离散型随机变量及其分布列　随机变量：把随机试验的每个结果对应到一个实数的映射。它的取值随试验结果而变。　离散型随机变量：取值可以一一列举出来的随机变量。　分布列：把随机变量的全部取值与相应概率列成的表。它完整刻画了这个随机变量。　分布列的两条性质：每个概率非负，且全部概率之和等于一。求出分布列后应据此检验。

7.3 离散型随机变量的数字特征　均值：各取值与相应概率乘积之和，表示随机变量取值的平均水平。也称数学期望。　方差：各取值与均值之差的平方按概率加权求和，表示取值的离散程度。　标准差：方差的算术平方根，与随机变量同单位，便于与均值一并解释。　线性变换的性质：随机变量作线性变换后，均值同样作线性变换，方差只乘以系数的平方。　决策中的用法：均值相同时比较方差，方差小的更稳定。　E(X) = Σxᵢpᵢ（离散型随机变量的均值）　适用：对分布列中的全部取值求和　D(aX + b) = a²D(X)（方差的线性性质）　适用：a、b 为常数。常数项 b 不影响方差

7.4 二项分布与超几何分布　n 重伯努利试验：同一试验独立重复 n 次，每次只有两个结果且概率不变。　二项分布：n 重伯努利试验中成功次数所服从的分布。对应有放回抽取。　超几何分布：从有限总体中不放回抽取时，抽到某类个体数目所服从的分布。　两者的联系：总体容量很大而抽取数目很小时，超几何分布可用二项分布近似。　P(X = k) = Cₙᵏpᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ（二项分布）　适用：n 次试验相互独立且每次成功概率相同，对应有放回抽取　E(X) = np（二项分布的均值）　适用：X 服从参数为 n 与 p 的二项分布。方差为 np(1 − p)

7.5 正态分布　正态曲线：关于均值对称的钟形曲线，曲线与横轴之间的面积等于一。　两个参数：均值决定对称轴的位置，标准差决定曲线的胖瘦。标准差越小曲线越高越窄。　对称性：关于均值对称，因此关于对称轴两侧等距离区间的概率相等。求概率时首选它。　三个常用区间：落在均值加减一倍、二倍、三倍标准差内的概率分别约为百分之六十八、九十五与九十九点七。

第八章 成对数据的统计分析　前两章处理的是一个变量。这一章成对地看两个变量：先用散点图与相关系数判断它们之间有没有线性关系，再用回归模型把关系写成式子；对于两个分类变量，则用列联表与独立性检验回答「有没有关联」。

8.1 成对数据的统计相关性　相关关系：两个变量之间有关系但不是确定的函数关系，取值带有随机性。　散点图：把成对数据画成平面上的点。判断相关关系的第一步永远是作散点图。　正相关与负相关：点大致沿着上升方向分布为正相关，沿下降方向为负相关。　样本相关系数：取值在负一到一之间，绝对值越接近一线性相关越强，接近零则线性关系很弱。　相关不等于因果：两个变量相关只说明它们同向或反向变化，不能断定一个引起另一个。

8.2 一元线性回归模型及其应用　一元线性回归模型：因变量等于自变量的线性式加上一个随机误差项。误差项是模型与函数关系的分野。　最小二乘法：使各点到直线竖直距离的平方和最小。回归直线由这一准则唯一确定。　回归直线必过的点：两个变量样本平均数所对应的点。它是检验计算的常用手段。　残差：实际值与预测值之差。残差图无明显规律时模型较为合适。　决定系数：取值越接近一，模型对数据的解释程度越高。　ŷ = b̂x + â（回归直线方程）　适用：由最小二乘法确定，且必过样本平均数对应的点　â = ȳ − b̂x̄（截距的求法）　适用：先求斜率再代入样本平均数，次序不能颠倒

8.3 列联表与独立性检验　分类变量：取值为类别而非数值的变量，如性别、是否吸烟。　二联表：把两个分类变量的频数排成两行两列的表，是独立性检验的依据。　独立性检验的思路：先假设两者独立，再看实际数据与这一假设的偏离有多大。　统计量与临界值：由列联表算出的统计量超过临界值时，认为有充分证据否定独立的假设。　结论的表述：结论带有小概率犯错的可能，应说明所用的显著性水平。