五年级上册数学知识框架（人教版 2024 版）

第一单元 观察简单组合体　这一单元把三年级的观察物体推进一步：由看单个物体变成看几块拼起来的组合体，并且要从三视图反推摆法。只给一个方向的图往往对应多种摆法，三个方向合起来才定得下来，这正是本单元最值得记住的一点。

第1节 从三个方向观察组合体　三个方向：从前面、上面、左面看，是约定的三个观察方向。　视图：把看到的轮廓画成平面图形，被挡住的部分不画。　反推摆法：先按前视图定列数与层数，再用上视图定进深。　不唯一：只给一个或两个方向的图时，摆法往往不止一种。

第二单元 小数乘法　小数乘法的算法是「先按整数乘，再点小数点」。点在哪里由两个因数的小数位数之和决定，这一条来自把小数扩大再缩回去的推理。运算律在小数范围内同样成立，遇到接近整十整百的因数时可以拆开来算。

第1节 小数乘整数　扩大与缩小：把 0.8 扩大 10 倍变成 8，算完再把积缩小 10 倍。　算法：先按整数乘法算，再看因数里有几位小数就从积的右边数出几位点上小数点。　竖式对齐：小数乘法列竖式时末位对齐，不必小数点对齐。

第2节 小数乘小数　位数相加：两个因数的小数位数之和，就是积的小数位数。　位数不够：积的位数不够时，要在前面补 0 再点小数点。　先点后去：积的末尾有 0，要先点小数点再把末尾的 0 去掉。　积与因数的大小：乘数比 1 小时积比另一个因数小，比 1 大时积更大。

第3节 运算律推广到小数　运算律：交换律、结合律与分配律在小数范围内同样成立。　拆数：把接近整数的因数拆成两部分，再用分配律。　凑整：先找出能凑成整数的两个因数结合起来算。

第三单元 小数除法　小数除法的核心是转化：把除数是小数的算式，按商不变的规律同时扩大被除数与除数，变成除数是整数的算式再算。除不尽时按要求取近似数或写成循环小数，商的小数点必须与被除数的小数点对齐。

第1节 除数是整数的小数除法　小数点对齐：商的小数点要与被除数的小数点对齐。　整数部分不够除：商的整数部分写 0，再点上小数点接着除。　除不尽：余数后面添 0 继续除，或按要求取近似数。

第2节 一个数除以小数　商不变的规律：被除数与除数同时扩大相同的倍数，商不变。　转化：先看除数有几位小数，就把被除数与除数的小数点同时向右移动几位。　位数不够补 0：被除数的位数不够移动时，在末尾补 0。　循环小数：除不尽且某一段数字依次不断重复出现的小数。

第四单元 图形的运动　三年级认了平移与旋转，这一单元要把它们画出来。画对称图形靠对应点到对称轴的距离相等，画平移靠每个点移动相同的方向与格数，画旋转要交代三件事：绕哪一点、往哪个方向、转多少度。三者都只改变位置，不改变形状与大小。

第1节 轴对称　对应点：对称的两个点到对称轴的距离相等，连线与对称轴垂直。　画法：先找出关键点的对应点，再按原图的顺序连线。　对称轴的条数：一个图形的对称轴可能不止一条。

第2节 平移和旋转　平移三要素：说清方向与移动的格数，图形上每个点都移动同样多。　旋转三要素：绕哪一点、往哪个方向、转多少度，缺一不可。　画法：先画出几个关键点的落点，再连成图形。

第3节 设计图案　基本图形：先设计一个简单的图形作为单元。　变换的组合：用平移、旋转与轴对称把它重复排列。　检验：看接缝处是否严丝合缝，图案是否有规律。

第五单元 用字母表示数和数量关系　字母进入算式，是从算术走向代数的第一步。它有两种用处：表示一个还不知道的数，或者表示一条对所有数都成立的关系。书写上有一套约定 —— 乘号可以省略、数字写在字母前面、1 与字母相乘时 1 不写。

第1节 用字母表示数　表示未知的数：一个还没有确定的数可以用一个字母代表。　书写约定：乘号可以省略或写成圆点，数字写在字母前面。　特例：1 与字母相乘时 1 不写，a 乘 a 写作 a 的平方。　取值范围：在具体问题里，字母能取的值往往有限制。

第2节 用字母表示数量关系　表示关系：用字母写出的式子，对所有取值都成立。　表示公式：长方形的面积写作 S = ab，正方形写作 S = a 的平方。　求值：把字母代表的数代进式子，就得到这一次的结果。　化简：同类的项可以合并，例如 a + a + a 写作 3a。

第六单元 多边形的面积　这一单元的方法只有一个字：转化。平行四边形剪拼成长方形，三角形与梯形都拼成平行四边形，公式就都从长方形的面积推了出来。三角形与梯形的公式里那个「除以 2」，正是因为它们只是拼成图形的一半。

第1节 平行四边形的面积　转化：沿高剪下一个直角三角形平移到另一边，就拼成了长方形。　公式：平行四边形的面积等于底乘高。　底与高对应：高必须是那条底上的高，不能与另一条底搭配。

第2节 三角形的面积　拼成平行四边形：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。　公式：三角形的面积等于底乘高再除以 2。　等底等高：等底等高的三角形面积相等，形状可以不同。

第3节 梯形的面积　拼成平行四边形：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。　公式：梯形的面积等于上底加下底的和乘高再除以 2。　底的和：拼成的平行四边形的底，正是梯形上底与下底的和。

第4节 组合图形的面积　分割法：把组合图形分成几个学过的图形，面积相加。　添补法：补成一个大的规则图形，再减去补上的部分。　选择：看哪一种分法用到的数据是题目已经给出的。

有趣的密铺　密铺的条件藏在角里：拼在同一个顶点处的几个角，度数之和必须正好是 360 度。三角形与四边形都能单独密铺，正五边形不能。设计密铺图案时，平移、旋转与轴对称正是把一块图形铺开的三种手段。

活动 密铺与图案设计　密铺：用一种或几种图形不留空隙、不重叠地铺满平面。　顶点处的条件：拼在同一顶点处的各角之和必须正好等于 360 度。　能与不能：任意三角形与任意四边形都能密铺，正五边形不能。　设计：先定一块基本图形，再用平移、旋转与对称铺开。

第七单元 可能性　这一单元用三个词描述事件：必然发生的说「一定」，不会发生的说「不可能」，其余说「可能」。可能性还有大小之分，取决于符合条件的情形占了多大比例。数量多的那一种，被摸到的可能性就大。

第1节 可能性　一定：在给定条件下必然发生的事件。　不可能：在给定条件下不会发生的事件。　可能：既非必然也非不可能，结果不止一种。　大小比较：符合条件的情形越多，可能性越大。

第八单元 复习与关联　复习按课标的主线展开：数与运算补齐了小数的乘除法，数量关系第一次用字母写成式子，图形与测量把面积由长方形推广到三类多边形，统计与概率添上了可能性。转化与用字母表示，是本册最值得带走的两种方法。

第1节 数与运算　小数乘法：先按整数乘，再按两个因数的小数位数之和点小数点。　小数除法：把除数化成整数，商的小数点与被除数对齐。　共同的方法：两者都是先转化成整数运算，再回到小数。

第2节 数量关系　用字母表示：一条式子概括了所有取值下的关系。　书写约定：省略乘号时数字在前，1 与字母相乘时 1 不写。　求值：代入具体的数就得到这一次的结果。

第3节 图形的运动与测量　转化：三个公式都由长方形的面积推出。　除以 2 的来历：三角形与梯形是拼成的平行四边形的一半。　图形的运动：平移、旋转与轴对称都不改变面积。

第4节 可能性　三种说法：一定、可能、不可能。　大小比较：符合条件的情形占比越大，可能性越大。　设计公平：各种结果的情形数相同时，可能性才相等。

第5节 应用提升　两端都栽：棵数比间隔数多 1。　只栽一端：棵数与间隔数相等。　两端都不栽：棵数比间隔数少 1。　先画图：画一小段示意图，数一数就能定下用哪一种。