五年级下册数学知识框架（人教版 2012 审定版）

第一单元 观察物体（三）　这一单元由画视图转到反推立体。只给一个方向的图，摆法有很多种；给出两个方向就少了许多；三个方向合起来往往能定下来，但仍有例外。动手摆一摆再核对三张图，是最可靠的办法。

第1节 由视图反推摆法　一个视图：只给一个方向的图，摆法往往有很多种。　两个视图：再给一个方向，能摆的就少了许多。　三个视图：三个方向合起来，多数情形下能唯一确定。　核对：摆完之后要逐张核对三个方向看到的图。

第二单元 因数与倍数　这一单元研究整数内部的关系。因数与倍数是成对出现的说法，一个数的因数个数有限、倍数个数无限。2、5、3 的倍数各有一眼可辨的特征。按因数的个数把大于 1 的自然数分成质数与合数，1 既不是质数也不是合数。

第1节 因数和倍数　成对出现：12 ÷ 3 = 4，就说 3 与 4 是 12 的因数，12 是 3 与 4 的倍数。　个数：一个数的因数个数有限，最小是 1，最大是它本身；倍数个数无限，最小是它本身。　找因数：按 1 × 12、2 × 6、3 × 4 成对地找，不重不漏。　范围：这里的因数与倍数只在非零自然数范围内讨论。

第2节 2、5、3 的倍数的特征　2 的倍数：个位是 0、2、4、6、8 的数，也叫偶数。　5 的倍数：个位是 0 或 5 的数。　3 的倍数：各位上的数字之和是 3 的倍数。　奇数与偶数：是 2 的倍数的是偶数，不是的是奇数，0 是偶数。

第3节 质数和合数　质数：只有 1 和它本身两个因数的数。　合数：除了 1 和它本身之外还有别的因数的数。　1：只有一个因数，既不是质数也不是合数。　最小的质数：2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。

第三单元 长方体和正方体　测量第一次由平面走向立体。表面积算的是六个面的总面积，用于「包一包、刷一刷」；体积算的是所占空间的大小，用于「装一装、堆一堆」。两者的单位不同，公式也不同。容积与体积算法相同，但从里面量。

第1节 长方体和正方体的认识　面：长方体有 6 个面，相对的两个面完全相同。　棱：有 12 条棱，相对的 4 条棱长度相等，分成长、宽、高三组。　顶点：有 8 个顶点。　正方体：棱长都相等的长方体，是长方体的特殊情形。

第2节 表面积　表面积：长方体或正方体六个面的总面积。　公式：两个长乘宽、两个长乘高、两个宽乘高，三部分相加。　正方体：棱长乘棱长再乘 6。　实际问题：无盖、通风管等情形要按题意减去相应的面。

第3节 体积和容积　体积：物体所占空间的大小，单位有立方厘米、立方分米、立方米。　公式：长方体的体积等于长乘宽乘高，也等于底面积乘高。　容积：容器所能容纳物体的体积，算法与体积相同但要从里面量。　进率：相邻两个体积单位之间的进率是 1000，1 立方分米等于 1 升。

探索图形　这个活动用一个立体模型练归纳。把棱长 n 的正方体表面涂色后切成小正方体，三面涂色的总在 8 个顶点上，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没涂色的藏在里面。四类的个数都能用 n 写成式子。

活动 表面涂色的正方体　三面涂色：位于 8 个顶点处，个数恒为 8。　两面涂色：位于 12 条棱上但不含顶点，个数是 12 乘以每条棱上去掉两端后的块数。　一面涂色：位于 6 个面上但不含棱，个数是 6 乘以每个面上去掉一圈后的块数。　没有涂色：藏在里面，个数是去掉外面一层之后剩下的立方体块数。

第四单元 分数的意义和性质　分数在这一单元有了完整的定义。它既表示部分与整体的关系，也表示两个数相除的结果。分数的基本性质是分子分母同乘或同除以一个不为 0 的数，分数的大小不变 —— 约分与通分都由它而来。

第1节 分数的意义　单位「1」：一个物体、一个计量单位或一些物体组成的整体，都可以作单位「1」。　分数单位：把单位「1」平均分成若干份，其中的一份就是分数单位。　分数与除法：被除数除以除数，等于被除数作分子、除数作分母的分数。　除数不为 0：分母相当于除数，因此不能为 0。

第2节 真分数与假分数　真分数：分子比分母小的分数，它小于 1。　假分数：分子大于或等于分母的分数，它大于或等于 1。　带分数：由整数与真分数合成的数，是假分数的另一种写法。　互化：假分数化带分数用分子除以分母，商作整数、余数作分子。

第3节 约分和通分　基本性质：分子与分母同乘或同除以一个不为 0 的数，分数的大小不变。　约分：用分子与分母的公因数去除，化成最简分数用最大公因数。　通分：把异分母分数化成同分母分数，通常用最小公倍数作公分母。　比较大小：同分母比分子，同分子比分母，都不同就先通分。

第五单元 图形的运动（三）　这一单元把旋转讲透。一次旋转要交代三件事：绕哪一点、往哪个方向、转多少度，缺一样别人就复原不出来。在方格纸上画旋转后的图形，先找出关键点的落点再连线。旋转只改变位置与方向，不改变形状与大小。

第1节 旋转　三要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度，缺一不可。　画法：先定出几个关键点绕中心旋转后的落点，再按原来的顺序连线。　不变量：旋转前后对应线段的长度与对应角的大小都不改变。　中心不动：旋转中心是唯一一个位置不变的点。

第六单元 分数的加法和减法　分数加减法的关键只有一条：分数单位相同才能直接加减。同分母分数的分数单位本来就相同，分母不变、分子相加减；异分母分数要先通分，把分数单位统一之后再算。这与整数加减法要数位对齐是同一个道理。

第1节 同分母分数加减法　算法：分母不变，分子相加或相减。　道理：分母相同说明分数单位相同，加减的只是份数。　化简：得数能约分的要约成最简分数。

第2节 异分母分数加减法　先通分：把异分母化成同分母，分数单位统一之后再加减。　公分母：通常取两个分母的最小公倍数。　与整数对照：整数加减要数位对齐，分数加减要分数单位相同，是同一个道理。　混合运算：运算顺序与整数相同，加法运算定律同样成立。

怎么通知最快　这个活动讲优化。逐个通知要 15 分钟，而让已经接到通知的人也参与通知，人数每分钟翻一番，只要 4 分钟。画出树状图之后规律一目了然：第 n 分钟结束时，知道消息的人数是 2 的 n 次方。

活动 通知的最优方案　逐个通知：老师一个一个打，通知 15 人要 15 分钟。　同时通知：接到通知的人也去通知别人，人数每分钟翻一番。　树状图：把通知的过程画成树，每一层是一分钟。　规律：第 n 分钟结束时，知道消息的人数是 2 乘 n 个 2 相乘之后减 1 人。

第七单元 折线统计图　折线统计图用点的高低表示数量，用线的升降表示变化。它擅长表现一个量随时间的起伏，而条形图擅长比较几个项目的多少。复式折线图把两条线画在一起，交点与间距的变化都是可读的信息。

第1节 折线统计图　特点：点表示数量，线的升降表示增减变化。　读趋势：线越陡说明变化越快，水平说明没有变化。　复式折线图：两条线画在一起，可以比较两组数据的变化。　与条形图分工：看变化用折线图，比多少用条形图。

第八单元 数学广角——找次品　找次品讲的是优化。用天平称，每称一次把待测的一堆分成三份，能把范围缩小到原来的三分之一。因此分成尽量均匀的三份最省次数：9 个分成 3、3、3 只需 2 次，分成 4、4、1 反而可能要 3 次。

第1节 找次品　三种结果：天平左沉、右沉或平衡，一次称量能区分三种情形。　分成三份：把待测的物品分成三份，称其中两份，一次就能定位到某一份。　尽量均匀：三份的个数越接近，最坏情形下需要的次数越少。　次数：9 个分成 3、3、3 只需 2 次，27 个也只需 3 次。

第九单元 总复习　总复习按数与代数、图形与几何两条主线整理。数这条线上，因数倍数理清了整数内部的关系，分数则补齐了意义、性质与加减法；图形这条线由平面走向立体，表面积与体积是最容易混用的一对概念。

第1节 数与代数　因数与倍数：整数内部的关系，是约分与通分的工具。　最大公因数：约分时用它一步化成最简分数。　最小公倍数：通分时用它作公分母。　分数加减：分数单位相同才能直接加减。

第2节 图形与几何　表面积：六个面的总面积，单位是平方单位。　体积：所占空间的大小，单位是立方单位。　容积：从里面量出的体积。　两条进率：面积单位相邻是 100，体积单位相邻是 1000。