八年级上册数学知识框架（人教版 2024 版）

第十三章 三角形　三角形是初中几何研究得最透的图形。这一章先给它定名与分类，再研究三条特殊线段与它们的交点，最后给出两条最常用的结论 —— 内角和等于一百八十度，外角等于与它不相邻的两个内角之和。

13.1 三角形的概念　三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。　按边分类：分为不等边三角形与等腰三角形，等腰三角形中三边都相等的是等边三角形。　按角分类：分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形。分类的依据是最大的那个角。　三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。判断时只需比较较短两边之和与最长边。　三角形的稳定性：三边确定后形状与大小就确定了。这是它在工程中被广泛使用的原因。

13.2 与三角形有关的线段　中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线交于一点，该点是三角形的重心。　角平分线：从顶点出发平分内角、交于对边的线段。它是线段而不是射线。　高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。　高的位置：锐角三角形三条高都在内部；直角三角形有两条就是直角边；钝角三角形有两条落在外部。　中线与面积：一条中线把三角形分成面积相等的两部分，因为两部分等底同高。

13.3 三角形的内角与外角　内角和定理：三角形三个内角的和等于一百八十度。证明的关键是作一条平行线。　外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。　外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，也大于其中任何一个。　多边形的内角和：n 边形的内角和等于 n 减二再乘一百八十度，由分割成三角形得到。　多边形的外角和：任意多边形的外角和都等于三百六十度，与边数无关。　(n − 2) × 180°（n 边形的内角和）　适用：n 为不小于 3 的整数。由从一个顶点出发的对角线分割成 n − 2 个三角形得到　外角和 = 360°（多边形的外角和）　适用：每个顶点取一个外角。与边数无关，这是它最特别的一点

实践 确定轻质薄板的重心位置　三角形的重心：三条中线的交点。它把每条中线分成二比一的两段。　悬挂法：把薄板悬挂两次，两条铅垂线的交点就是重心。它不依赖薄板的形状。　从模型到实物：先在三角形薄板上验证两种方法结果一致，再推广到不规则薄板。

第十四章 全等三角形　证明两条线段相等或两个角相等，最常用的办法是把它们放进两个全等三角形里。这一章给出四条判定：边边边、边角边、角边角、角角边，直角三角形另加一条斜边直角边。角角角与边边角不能作为判定，这是本章最容易出错的地方。

14.1 全等三角形及其性质　全等形：能够完全重合的两个图形。全等的两个三角形叫作全等三角形。　对应顶点、对应边与对应角：重合时互相重合的顶点、边与角。书写全等式时对应顶点必须写在对应的位置上。　全等的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。这是使用全等的目的。　找对应元素：对着相等的角的边是对应边，对着相等的边的角是对应角。

14.2 三角形全等的判定　边边边：三边分别相等的两个三角形全等。它也是三角形具有稳定性的依据。　边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。夹角二字不能少。　角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。　角角边：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。由角边角与内角和推出。　斜边直角边：斜边与一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。它只对直角三角形成立。　两条不成立的：角角角与边边角都不能判定全等，前者只能得到形状相同。

14.3 角的平分线　角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。距离指的是垂线段的长度。　角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。它是性质的逆命题。　尺规作角平分线：以顶点为圆心画弧交两边，再分别以两交点为圆心画弧交于一点，连接顶点与该点。　常用辅助线：见到角平分线，常从线上的点向两边作垂线段，把性质用出来。

第十五章 轴对称　把图形沿一条直线折叠能够重合，就是轴对称。这一章由折叠出发，得到垂直平分线的性质与判定；随后研究最重要的一类轴对称图形 —— 等腰三角形，它的三线合一是后续证明中使用频率最高的结论之一。

15.1 图形的轴对称　轴对称：两个图形沿一条直线折叠能够重合，称这两个图形关于这条直线对称。说的是两个图形之间的关系。　轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合。说的是一个图形自身的性质。　对称轴：折叠所沿的那条直线。它垂直平分连接两个对应点的线段。　垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。　垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

15.2 画轴对称的图形　画法：找出各关键点的对称点再依次连接。对称点的求法是过该点作对称轴的垂线并延长同样长度。　关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。　关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。　记法：关于哪条轴对称，哪个坐标就不变。

15.3 等腰三角形　等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等。后者常简述为等边对等角。　三线合一：顶角平分线、底边上的中线与底边上的高互相重合。它只对等腰三角形成立。　等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为等角对等边。　等边三角形：三边都相等的三角形。它的三个内角都是六十度。　等边三角形的判定：三个角都相等，或有一个角是六十度的等腰三角形。　含三十度角的直角三角形：三十度角所对的直角边等于斜边的一半。

实践 最短路径问题　基本依据：两点之间线段最短。全部作法都是把折线化直。　作对称点：把一个点关于直线作对称点，折线的长度不变，却变成了可以拉直的形状。　两点在直线同侧：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求。

第十六章 整式的乘法　七年级学了整式的加减，这一章补上乘法。先立三条幂的运算性质，再由分配律推出单项式与多项式相乘的法则，最后把两个最常用的乘法结果单独提出来作为公式 —— 平方差与完全平方，它们在后面的因式分解中要反过来用。

16.1 幂的运算　同底数幂相乘：底数不变，指数相加。它由乘方的意义直接得到。　幂的乘方：底数不变，指数相乘。注意与同底数幂相乘区分。　积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。　逆用：三条性质都可以反过来使用，是简算与化简的常用手段。　aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ（同底数幂的乘法）　适用：m、n 为正整数，底数相同。底数不同时不能直接合并　(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ（幂的乘方）　适用：m、n 为正整数。指数相乘而不是相加　(ab)ⁿ = aⁿbⁿ（积的乘方）　适用：n 为正整数。每一个因式都要乘方，系数也不例外

16.2 整式的乘法　单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里出现的字母连同它的指数照抄。　单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。依据是分配律。　多项式乘多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个的每一项，再把所得的积相加。　面积模型：把乘法写成长方形面积，展开式的每一项对应一小块，漏项一眼可见。

16.3 乘法公式　平方差公式：两数和与这两数差的积等于它们的平方差。使用的关键是找出相同项与相反项。　完全平方公式：两数和或差的平方等于它们的平方和加上或减去两数积的二倍。中间那一项最常被漏掉。　几何解释：两个公式都能用面积的拼补说明，中间项对应两块长方形。　配凑：式子不直接符合公式时，通过添项或整体代换凑出公式的形式。　(a + b)(a − b) = a² − b²（平方差公式）　适用：两个因式中必须有一项完全相同、另一项互为相反数　(a ± b)² = a² ± 2ab + b²（完全平方公式）　适用：对任意实数成立。中间项的符号与括号内的符号一致

第十七章 因式分解　整式乘法把几个式子乘成一个多项式，因式分解则把一个多项式写回几个整式的积。方向相反，工具却是同一套：提公因式来自分配律，公式法来自两个乘法公式。分解到每个因式都不能再分为止。

17.1 用提公因式法分解因式　因式分解：把一个多项式化成几个整式的积。它与整式乘法互为逆过程。　公因式：各项都含有的因式。系数取最大公约数，字母取各项都含有的、指数最低的那些。　提公因式：把公因式提到括号外，括号内是各项除以公因式所得的商。　括号内的 1：某一项恰好就是公因式时，括号内该位置留下的是 1 而不是空白。

17.2 用公式法分解因式　平方差公式的逆用：两个数的平方差等于这两个数的和与差的积。两项且异号是它的特征。　完全平方公式的逆用：首尾两项是平方且同号、中间项是它们积的二倍时可用。　一般步骤：先提公因式，再考虑公式法，最后检查每个因式能否继续分解。　分解到底：每个因式都不能再分解为止。含平方差的因式常常还能再分一次。

第十八章 分式　把整式换成分式，式的范围又扩了一次。这一章的每一条都可以在分数那里找到原型：基本性质对应约分与通分，乘除对应分数的乘除，加减需要先通分。唯一多出来的是分式方程的检验 —— 去分母可能带来使原方程无意义的增根。

18.1 分式及其基本性质　分式：分母中含有字母的式子。分母不含字母的是整式。　有意义的条件：分母不等于零。这一条常常构成字母的取值限制。　值为零的条件：分子为零且分母不为零。两个条件缺一不可。　基本性质：分子与分母同乘或同除以一个不为零的整式，分式的值不变。　约分：把分子分母的公因式约去。约的必须是因式，不能是项。

18.2 分式的乘法与除法　乘法法则：分子相乘作分子，分母相乘作分母。　除法法则：除以一个分式等于乘它的倒数。　先分解再约分：把分子分母都分解因式后再约分，比乘开后再约省力得多。　结果要最简：分子分母没有公因式的分式叫最简分式，运算结果必须化到最简。

18.3 分式的加法与减法　同分母相加减：分母不变，分子相加减。分子是多项式时要加括号。　异分母相加减：先通分化为同分母，再按同分母的法则计算。　最简公分母：各分母分解因式后，取所有因式的最高次幂的积。　减法中的括号：减去一个多项式分子时要加括号，去括号时每一项都变号。

18.4 整数指数幂　零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于一。底数不能为零。　负整数指数幂：一个不为零的数的负 n 次幂等于它的 n 次幂的倒数。　性质的扩充：幂的三条运算性质在整数指数范围内仍然成立。　科学记数法表示小数：绝对值小于一的数写成 a 乘十的负 n 次幂，n 由第一个非零数字前面零的个数决定。　a⁻ⁿ = 1/aⁿ（负整数指数幂）　适用：a ≠ 0，n 为正整数。底数为零时无意义　a⁰ = 1（零指数幂）　适用：a ≠ 0。零的零次幂没有意义

18.5 分式方程　分式方程：分母中含未知数的方程。它与整式方程的差别就在这一点上。　解法：两边同乘最简公分母化为整式方程，解出后必须检验。　增根：使最简公分母为零的根。它是去分母这一步带来的，必须舍去。　检验的方法：把解代入最简公分母，不为零则是原方程的解，为零则是增根。　含参问题：由方程有增根反求参数时，先由公分母为零求出增根，再代入整式方程。