八年级下册数学知识框架（人教版 2024 版）

第十九章 二次根式　七下认识了平方根，这一章把带根号的式子当作研究对象。三条性质里最要紧的是根号下平方等于绝对值 —— 它是全章一切化简的出发点。乘除与加减两节的做法与整式类似：乘除靠性质合并，加减靠化成最简后合并同类项。

19.1 二次根式及其性质　二次根式：形如根号下 a 的式子，其中 a 大于或等于零。被开方数非负是它有意义的条件。　非负性：二次根式本身的值也非负。被开方数与整个根式都非负，这一点常用来求字母的值。　根式的平方：根号下 a 再平方等于 a，前提是 a 非负。　平方的根式：根号下 a 的平方等于 a 的绝对值。a 为负数时结果是它的相反数。　最简二次根式：被开方数不含分母、也不含能开得尽方的因数或因式。运算结果都要化到这一步。　√(a²) = |a|（平方的根式）　适用：对一切实数 a 成立。a 为负数时结果等于 −a　(√a)² = a（根式的平方）　适用：a ≥ 0。a 为负数时左边没有意义

19.2 二次根式的乘法与除法　乘法法则：两个非负数的算术平方根之积等于它们乘积的算术平方根。两个根号可以合成一个。　除法法则：被开方数相除等于两根式相除，前提是除数为正。　化简的方向：把被开方数中能开方的因数开出来，是化最简的标准做法。　分母有理化：分母含根号时，分子分母同乘一个式子把分母化为有理数。　√a · √b = √(ab)（二次根式的乘法）　适用：a ≥ 0 且 b ≥ 0。两个负数时该式不成立　√a/√b = √(a/b)（二次根式的除法）　适用：a ≥ 0 且 b > 0

19.3 二次根式的加法与减法　同类二次根式：化成最简后被开方数相同的二次根式。只有它们才能合并。　合并的做法：根号外的系数相加减，根号内的部分不变。与合并同类项完全一致。　运算顺序：先把每一个根式化为最简，再判断是否同类，最后合并。次序不能颠倒。　混合运算：整式中的运算律与乘法公式在二次根式的运算中同样适用。

第二十章 勾股定理　勾股定理把直角三角形的三边用一个等式连了起来，是几何里第一次出现的数量关系。它的逆定理反过来用边判断角，是判定直角三角形的常用工具。两者的已知与结论正好对调，用反是本章最常见的错。

20.1 勾股定理及其应用　勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。它只对直角三角形成立。　面积证法：用四个全等直角三角形拼成大正方形，中间留出小正方形，两种算法给出同一个面积。　求边长：已知两边求第三边时，先判断所求的是直角边还是斜边。　展开求最短：圆柱或长方体表面上的最短路径，把侧面展开成平面后用两点之间线段最短。　a² + b² = c²（勾股定理）　适用：直角三角形中，a、b 为两条直角边，c 为斜边。非直角三角形不成立

20.2 勾股定理的逆定理及其应用　逆定理：三角形两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形。　使用方法：先找出最长边，再检验另两边的平方和是否等于它的平方。　勾股数：满足该等式的三个正整数。常见的有 3、4、5 与 5、12、13 及它们的整数倍。　定理与逆定理：定理由角推边，逆定理由边推角，已知与结论正好对调。

第二十一章 四边形　四边形一章的主线是「加条件」：平行四边形加一个直角成为矩形，加一组邻边相等成为菱形，两个条件都加就是正方形。每加一次条件，性质就多一条，判定也多一条。理清这张关系图，全章的结论就不必死记。

21.1 多边形　多边形：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。　对角线：连接不相邻两个顶点的线段。n 边形共有 n 乘 n 减三再除以二条。　内角和：从一个顶点出发的对角线把 n 边形分成 n 减二个三角形，内角和随之得到。　外角和：任意多边形的外角和都是三百六十度，与边数无关。

21.2 平行四边形　定义：两组对边分别平行的四边形。定义本身也是一条判定。　性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分。三条性质是证明中最常调用的。　判定：两组对边分别平行或分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等。　三角形的中位线：连接两边中点的线段平行于第三边且等于它的一半。　常用辅助线：遇到中点常取另一边中点连成中位线，或延长中线到二倍构造平行四边形。

21.3 特殊的平行四边形　矩形：有一个角是直角的平行四边形。它的对角线相等。　菱形：有一组邻边相等的平行四边形。它的对角线互相垂直且平分每一组对角。　正方形：既是矩形又是菱形。它兼有两者的全部性质。　对角线的分工：矩形看相等，菱形看垂直，正方形两条都要。这是区分三者最快的一条线索。　面积公式：菱形的面积等于两条对角线之积的一半。

第二十二章 函数　此前研究的都是一个一个的数，这一章开始研究两个量之间的对应。给定一个自变量的值，因变量就有唯一确定的值 —— 这就是函数。把这种对应画到坐标系里，就成了图象，代数与几何由此接上。

22.1 变量与函数　变量与常量：在一个变化过程中数值发生变化的是变量，保持不变的是常量。　函数：两个变量中，给定一个的每一个值，另一个都有唯一确定的值与之对应。　自变量与因变量：先取值的那个是自变量，随之确定的是因变量。　取值范围：使解析式有意义、且符合实际意义的自变量取值。两个条件要同时满足。　函数值：自变量取某一个值时因变量对应的值。

22.2 函数的图象　函数图象：把自变量与函数值作为一对坐标，所有这样的点组成的图形。　画法三步：列表、描点、连线。取点要在取值范围内且分布均匀。　三种表示法：解析法、列表法与图象法。同一个函数可以用不同方式表示，各有所长。　从图象读信息：由横坐标读自变量、纵坐标读函数值；上升下降对应增大减小。

第二十三章 一次函数　一次函数是初中研究的第一类具体函数。它的图象是一条直线，k 决定倾斜的方向与陡缓，b 决定与纵轴的交点。把方程与不等式放到这条直线上看，交点就是方程的解，直线在某一侧就是不等式的解集。

23.1 正比例函数　正比例函数：形如 y 等于 kx 且 k 不为零的函数。它是一次函数中 b 为零的特例。　图象：经过原点的一条直线。画它只需再取一个点。　k 的作用：k 大于零时图象经过第一、三象限且 y 随 x 增大而增大；k 小于零时相反。　k 的绝对值：绝对值越大，直线越陡。

23.2 一次函数　一次函数：形如 y 等于 kx 加 b 且 k 不为零的函数。b 为零时退化为正比例函数。　k 的作用：决定直线的倾斜方向与陡缓，也就是函数的增减性。　b 的作用：决定直线与纵轴交点的位置。它是自变量为零时的函数值。　四种图象：k 与 b 的正负四种组合，对应直线经过的象限各不相同。　待定系数法：由两个点的坐标列出方程组，解出 k 与 b。

23.3 一次函数与方程、不等式　与一元一次方程：函数值为零时对应的自变量，就是相应方程的解，也是图象与横轴交点的横坐标。　与一元一次不等式：函数值大于零对应图象在横轴上方那一段的自变量取值范围。　与二元一次方程组：两条直线的交点坐标就是相应方程组的解。　数形结合：把代数问题放到图象上看，解与范围都成了可以指出来的位置。

第二十四章 数据的分析　七下解决了数据怎样收集与描述，这一章用几个数把一组数据概括出来：平均数、中位数与众数刻画集中的位置，方差刻画波动的大小。平均数相同时，方差往往才是作出判断的依据。

24.1 数据的集中趋势　算术平均数：各数据之和除以数据个数。它使用了全部数据，也因此最容易被极端值拉动。　加权平均数：各数据按权重加权后求和再除以权重之和。权可以是次数、比例或分值。　中位数：从小到大排列后处在中间位置的数。数据个数为偶数时取中间两个的平均数。　众数：一组数据中出现次数最多的数。它可以不止一个，也可能不存在。　三者的选用：有极端值时用中位数，关心最普遍的情形时用众数，其余多用平均数。

24.2 数据的波动程度　极差：最大值与最小值之差。它只用到两个数据，容易受极端值影响。　方差：各数据与平均数之差的平方的平均数。它使用了全部数据。　方差的意义：方差越小，数据越集中、波动越小、越稳定。　用样本估计总体：用样本方差估计总体方差，是实际中常用的做法。　s² = 1/nΣ(xᵢ − x̄)²（方差）　适用：n 为数据个数，x̄ 为这组数据的平均数。先求平均数再求方差