九年级上册数学知识框架（人教版 2024 版）

第二十五章 一元二次方程　把一元一次方程的次数提到二次，解法就不止一种。这一章给出四种：直接开平方、配方、公式与因式分解。四种之间不是并列的 —— 公式法由配方推出，对任何一元二次方程都适用，其余三种是遇到特定形式时更快的捷径。

25.1 一元二次方程的概念　一元二次方程：只含一个未知数、且未知数的最高次数是二的整式方程。　一般形式：ax² + bx + c = 0 且 a 不为零。二次项系数不为零是它成为二次方程的前提。　三个系数：a 是二次项系数、b 是一次项系数、c 是常数项。取值时要连同符号一起。　方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值。一元二次方程至多有两个实数根。

25.2 解一元二次方程　直接开平方法：形如某个式子的平方等于一个非负数时使用。开方后不要漏掉负的那一支。　配方法：把左边配成完全平方，右边化为常数，再开平方。它是公式法的来源。　公式法：把系数代入求根公式。它对任何一元二次方程都适用，前提是判别式非负。　因式分解法：把方程化为两个一次因式之积等于零，再令每个因式为零。　判别式：b² − 4ac。大于零时有两个不相等的实数根，等于零时有两个相等的实数根，小于零时没有实数根。　根与系数的关系：两根之和等于负的一次项系数除以二次项系数，两根之积等于常数项除以二次项系数。　x = -b ± √(b²-4ac)/2a（求根公式）　适用：a ≠ 0 且 b² − 4ac ≥ 0。判别式为负时没有实数根　x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a（根与系数的关系）　适用：a ≠ 0 且方程有实数根。不求根就能用它算两根的和与积

25.3 实际问题与一元二次方程　增长率问题：连续两次按同一增长率变化，末量等于初量乘以增长率加一的平方。　面积问题：常见于道路与边框，把面积关系写成方程。设未知数时注意宽度与位置。　传播问题：每轮按同样的倍数扩散，两轮后的总数含平方项。　解的取舍：求出的两个根中不符合实际的要舍去，如负数、超过总量的值。

第二十六章 二次函数　一次函数的图象是直线，二次函数的图象是抛物线。这一章围绕三件事展开：由解析式读出开口、顶点与对称轴；由抛物线与横轴的交点回看一元二次方程；用顶点求实际问题中的最值。

26.1 二次函数的图象和性质　二次函数：形如 y = ax² + bx + c 且 a 不为零的函数。它的图象是一条抛物线。　开口方向：a 大于零时开口向上、有最小值；a 小于零时开口向下、有最大值。　顶点式：y = a(x − h)² + k，顶点坐标为 (h, k)，对称轴是过顶点的竖直线。　一般式求顶点：对称轴为负的一次项系数除以二倍二次项系数，顶点的纵坐标由代入求得。　图象的平移：左加右减在括号内，上加下减在括号外。两处的方向相反，最容易记混。　增减性：以对称轴为界，两侧的增减方向相反。判断增减必须先看点在对称轴的哪一侧。　x = -b/2a（对称轴）　适用：针对一般式 y = ax² + bx + c，a ≠ 0　y = a(x − h)² + k（顶点式）　适用：a ≠ 0。顶点是 (h, k)，注意括号内是减号

26.2 二次函数与一元二次方程　交点与根：抛物线与横轴交点的横坐标，就是相应一元二次方程的实数根。　交点个数与判别式：判别式大于零有两个交点，等于零有一个，小于零没有交点。　由图象解不等式：函数值大于零对应图象在横轴上方那一段的自变量取值范围。　三个二次：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式由同一张图连在一起。

26.3 实际问题与二次函数　建模的两步：先把两个量之间的关系写成二次函数，再求顶点。　利润问题：利润等于单件利润乘销售量。降价则单件利润减少而销量增加，乘起来是二次的。　取值范围：自变量常有实际限制。顶点落在范围外时，最值在端点处取得。　面积与抛物线形状：拱桥与喷泉等实际情境可用抛物线刻画，先建系再求解析式。

第二十七章 反比例函数　新版把反比例函数移到二次函数之后，正是为了两类函数可以对着看。它的图象是双曲线，分居两个象限；k 的正负决定在哪两个象限，而图象上任一点与两坐标轴围成的矩形面积恒等于 k 的绝对值 —— 这是它最常被考查的一条性质。

27.1 反比例函数的图象和性质　反比例函数：形如 y 等于 k 除以 x 且 k 不为零的函数。自变量不能取零。　图象：双曲线，由两支组成。k 大于零时在第一、三象限，小于零时在第二、四象限。　增减性：在每一支上单调，但两支之间不能合并。这一条与一次函数很不一样。　k 的几何意义：图象上任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 k 的绝对值。　对称性：图象关于原点中心对称，也关于两条过原点的直线轴对称。　y = k/x（反比例函数）　适用：k ≠ 0 且 x ≠ 0。k 为零时不是函数关系　S = |k|（k 的几何意义）　适用：图象上任一点与两坐标轴围成的矩形面积。与点取在哪里无关

27.2 实际问题与反比例函数　反比例关系：两个量的乘积为定值时，它们成反比例。总量一定的分配问题多属此类。　常见情境：路程一定时速度与时间、面积一定时长与宽、压力一定时压强与受力面积。　取值范围：实际问题中自变量通常为正，图象只取第一象限的那一支。

第二十八章 旋转　平移、轴对称与旋转是图形运动的三种基本方式，共同点是都不改变图形的形状与大小。这一章补上最后一种：旋转由中心、方向与角度三件事决定；旋转一百八十度就是中心对称，它在坐标系中表现为两个坐标同时变号。

28.1 图形的旋转　旋转：把一个图形绕某一点转动一个角度。这一点叫旋转中心，转过的角叫旋转角。　三要素：旋转中心、旋转方向与旋转角。三者确定后旋转的结果就唯一确定。　旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角，图形的形状与大小不变。　作图步骤：找出关键点，分别绕中心按同一方向转过同一角度，再依次连接。

28.2 中心对称　中心对称：两个图形绕某一点旋转一百八十度后能够重合。说的是两个图形之间的关系。　中心对称图形：一个图形绕某一点旋转一百八十度后与自身重合。说的是一个图形自身的性质。　对称中心：它平分连接每一对对应点的线段。　关于原点对称：两个坐标同时变号。这是坐标系中最常用的一条。　与轴对称的区别：轴对称沿直线折叠，中心对称绕点旋转半周。平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形。

28.3 图案设计　三种运动的组合：平移、轴对称与旋转可以组合使用，由一个基本图形生成整幅图案。　分析已有图案：先找出基本图形，再判断它经过了哪几种运动。　共同点：三种运动都不改变图形的形状与大小，因此拼出的图案各部分全等。

第二十九章 圆　圆是初中最后一个、也是结论最多的图形。这一章处理圆内部的性质：垂径定理把弦与直径连起来，圆周角定理把角与弧连起来。两条定理各有一串推论，多数几何题都是从它们出发的。

29.1 圆的有关性质　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。　垂径定理的用法：半径、弦长的一半与弦心距构成直角三角形，用勾股定理即可求解。　弧弦圆心角：在同圆或等圆中，两条弧、两条弦与两个圆心角，只要有一组相等，其余两组也相等。　圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。　直径所对的圆周角：等于九十度。反过来，九十度的圆周角所对的弦是直径。　圆内接四边形：对角互补，且任一外角等于它的内对角。　r² = d² + (l/2)²（垂径定理的计算式）　适用：r 为半径、d 为弦心距、l 为弦长。三者构成直角三角形

29.2 弧长和扇形面积　弧长公式：圆心角的度数除以三百六十，再乘圆的周长。　扇形面积：圆心角的度数除以三百六十，再乘圆的面积。也可用弧长乘半径再除以二。　圆锥的侧面展开：展开后是一个扇形，扇形的半径是母线长，弧长等于底面圆的周长。　圆锥的侧面积：等于底面半径乘母线长再乘圆周率。　l = nπr/180（弧长公式）　适用：n 为圆心角的度数、r 为半径。用弧度时公式不同　S = nπr²/360（扇形面积）　适用：n 为圆心角的度数。也可写成弧长乘半径除以二

第三十章 直线与圆的位置关系　上一章研究圆内部的性质，这一章转向圆与外部的关系：点与圆、直线与圆各有几种位置，判据都是把一个距离与半径比大小。切线是其中最重要的一种，它的判定与性质构成本章的主体，正多边形与圆则是它的一个应用。

30.1 点和圆、直线和圆的位置关系　点与圆：点到圆心的距离与半径比较：小于在圆内，等于在圆上，大于在圆外。　直线与圆：圆心到直线的距离与半径比较：小于相交，等于相切，大于相离。　切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。　证明切线的两种作法：已知有公共点时连半径证垂直，未知有无公共点时作垂线证距离等于半径。　切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。　切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。　内切圆与外接圆：内切圆的圆心是三条角平分线的交点，外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点。

30.2 正多边形和圆　正多边形与圆：把圆等分之后依次连接各分点，得到这个圆的内接正多边形。　中心与半径：外接圆的圆心叫正多边形的中心，外接圆半径叫它的半径。　边心距：中心到一边的距离，也就是内切圆的半径。　中心角：每条边所对的中心角等于三百六十度除以边数。　面积：等于周长乘边心距再除以二，由分割成若干个等腰三角形得到。