九年级下册数学知识框架（人教版 2024 版）

第三十一章 相似　全等要求形状与大小都相同，相似只要求形状相同。把「相等」放宽成「成比例」之后，八上那一整套判定几乎都能照搬：三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等。性质则多出一条 —— 面积之比等于相似比的平方。

31.1 图形的相似　相似图形：形状相同的两个图形。大小可以不同，全等是它的特例。　相似比：相似多边形对应边的比。它有方向：甲比乙与乙比甲互为倒数。　相似多边形：对应角分别相等、对应边成比例的两个多边形。两个条件缺一不可。　平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。　比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。交叉相乘是解比例式的常用一步。

31.2 相似三角形的判定　预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似。　两角相等：两角分别相等的两个三角形相似。这是最常用的一条。　两边成比例且夹角相等：夹角二字不能少，与全等中的边角边一一对应。　三边成比例：三边对应成比例的两个三角形相似。　常见的图形：A 字型与 8 字型是最常出现的两种基本图形，见到平行线先找它们。

31.3 相似三角形的性质及应用　对应线段之比：对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于相似比。　周长之比：等于相似比。周长是一维的量，与边同阶。　面积之比：等于相似比的平方。面积是二维的量，故要平方。　测高与测距：利用影长或镜面反射构造相似三角形，把不可直接测量的长度算出来。　S₁/S₂ = k²（面积之比）　适用：两个相似三角形，k 为相似比。周长之比则等于 k

31.4 位似　位似图形：两个相似图形的对应点连线都经过同一点，且对应边互相平行。这一点叫位似中心。　位似比：对应点到位似中心的距离之比，也等于相似比。　坐标中的位似：以原点为位似中心时，对应点的坐标等于原坐标乘以位似比或它的相反数。　两种位置：位似中心在两个图形之间时，图形位于中心两侧，坐标要乘以负的位似比。

第三十二章 锐角三角函数　直角三角形里，一个锐角一旦确定，两边之比就随之确定 —— 这就是锐角三角函数。有了它，已知一边一角就能求出其余的边，测量高度与距离的问题因此有了通用的解法。

32.1 锐角三角函数　为什么只与角有关：锐角相等的两个直角三角形相似，对应边成比例，故比值只由角决定。　正弦：锐角的对边与斜边之比。取值在零到一之间。　余弦：锐角的邻边与斜边之比。取值同样在零到一之间。　正切：锐角的对边与邻边之比。它可以大于一。　特殊角：三十度、四十五度与六十度的三角函数值要记住，它们由特殊直角三角形直接得到。

32.2 解直角三角形及其应用　解直角三角形：已知两个元素（至少一条边）求其余元素。三边关系、锐角互余与三角函数是三件工具。　仰角与俯角：视线在水平线上方所成的角是仰角，下方是俯角。它们都从水平线量起。　坡度：铅直高度与水平宽度之比，等于坡角的正切值。　方位角：以正北或正南方向为始边，向东或向西旋转所成的角。　作高构造直角：非直角三角形的问题，先作高把它分成两个直角三角形。

第三十三章 投影与视图　这一章把立体图形与平面图形来回转换：投影解释影子是怎样形成的，三视图则规定了从三个方向看到的图形怎样摆放。由几何体画三视图与由三视图还原几何体，是两个方向的练习。

33.1 投影　平行投影：光线互相平行时形成的投影。太阳光下的影子属于此类。　中心投影：光线由一点发出时形成的投影。灯光下的影子属于此类。　两者的区别：同一时刻平行投影中各物体的影长与高成正比，中心投影中则不成正比。　正投影：光线垂直于投影面时的平行投影。三视图就是三个方向的正投影。

33.2 三视图　三视图：从正面、左面与上面三个方向作正投影，分别得到主视图、左视图与俯视图。　摆放规则：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等。　虚线：看不见的轮廓线画成虚线。漏画虚线是这一节最常见的失分点。　由三视图还原：由俯视图定底面形状与位置，再由主视图与左视图定各处的高。

第三十四章 概率初步　这是义务教育阶段唯一系统讲概率的一章。先把事件按会不会发生分成三类，再给随机事件的可能性一个数；随后用列表与树状图把全部结果不重不漏地列出来；最后说明当理论概率算不出时，怎样用大量重复试验的频率去估计它。

34.1 随机事件与概率　必然事件：在一定条件下必然发生的事件，概率为一。　不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，概率为零。　随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率在零与一之间。　概率的意义：刻画事件发生可能性大小的数。它是确定的，不随某一次试验改变。　等可能情形下的算法：事件包含的结果数除以全部结果数。前提是各结果等可能。

34.2 用列举法求概率　列举的要求：不重不漏地列出全部可能结果，并保证它们等可能。　列表法：适用于两步试验。行与列分别表示两步的结果，格子里是一个组合。　树状图：适用于两步或多步试验。逐层分叉，末端的每一条路径是一个结果。　有放回与不放回：不放回时第二步的结果数比第一步少一个，列表时要划掉对角线。　游戏是否公平：比较双方获胜的概率，相等才公平。

34.3 用频率估计概率　频率：事件发生的次数与试验总次数之比。它随试验而变化。　频率的稳定性：试验次数足够多时，频率在概率附近摆动。　用频率估计概率：无法用列举法算出时，用大量重复试验的频率作为概率的估计值。　适用的场合：结果不等可能、或结果数无法一一列举时。