机械运动

必修第一册 第一章 质点、位移与加速度　描述由定性转为精确：质点与坐标系、位移与路程、平均速度与瞬时速度分开，新增描述速度变化快慢的加速度。　初中已经会算速度，高中为何从头再讲一遍？差别在于精确：路程不分方向、速度不分平均与瞬时。这一章把含混之处逐一拆开，代价是引入矢量与瞬时量 —— 它们是此后全部高中物理的通用语言。

第1节 质点 参考系　质点：用来代替物体的、有质量的点。　能否看作质点：看大小相对于所研究的问题能否忽略。　参考系：描述运动时选作标准的物体。　坐标系：原点加正方向，位置成为一个数。

第2节 时间 位移　时刻与时间间隔：时刻是轴上一点，时间间隔是一段。　位移：初位置指向末位置的有向线段。　路程：实际轨迹的长度，标量。　矢量与标量：矢量有方向，按平行四边形定则相加。

第3节 位置变化快慢的描述——速度　速度：v=Delta x/Delta t，矢量，方向与位移相同。　平均速度：某段时间内的位移与时间之比。　平均速率：路程与时间之比，标量。　瞬时速度：Delta t 足够小时的平均速度。　x-t 图像：斜率就是速度，图线不是轨迹。　往返一趟：平均速度为零，平均速率不为零。

第4节 速度变化快慢的描述——加速度　加速度：a=Delta v/Delta t，单位 textm/s^2。　方向：与 Delta v 同向，不是与 v 同向。　加速还是减速：a 与 v 同向加速，反向减速。　v-t 图像：斜率就是加速度，越陡越大。　速度大不等于加速度大：匀速飞行的飞机，加速度为零。　速度为零加速度不为零：上抛到最高点，a 仍是 g。

常见题型 质点与参考系。能看作质点的画 √，不能的画 ×。　研究乒乓球的旋转方式。（　　）　研究地球绕太阳公转一周的时间。（　　）　研究火车通过一座桥所用的时间。（　　）　研究从北京飞往上海的飞机的飞行时间。（　　）

常见题型 时刻与时间间隔。　「第 $3\ \text{s}$ 末」指的是（　　）（填「时刻」或「时间间隔」）。　「第 $3\ \text{s}$ 内」的时长为 ______ $\text{s}$，「前 $3\ \text{s}$」的时长为 ______ $\text{s}$。　「第 $2\ \text{s}$ 末」与「第 $3\ \text{s}$ 初」是（　　）（填「同一」或「不同」）时刻。

常见题型 位移与路程。　一人沿 $400\ \text{m}$ 的环形跑道跑了两圈，路程为 ______ $\text{m}$，位移大小为 ______ $\text{m}$。　一人向东走 $30\ \text{m}$，再向西走 $10\ \text{m}$，路程为 ______ $\text{m}$，位移大小为 ______ $\text{m}$、方向向（　　）。　一人向东走 $3\ \text{m}$，再向北走 $4\ \text{m}$，路程为 ______ $\text{m}$，位移大小为 ______ $\text{m}$。

常见题型 平均速度与平均速率。　一人沿 $400\ \text{m}$ 的环形跑道跑一圈用时 $100\ \text{s}$，平均速度为 ______ $\text{m/s}$，平均速率为 ______ $\text{m/s}$。　汽车向东行驶 $2\ \text{s}$ 前进 $30\ \text{m}$，接着向西行驶 $3\ \text{s}$ 后退 $10\ \text{m}$，这 $5\ \text{s}$ 内的平均速度大小为 ______ $\text{m/s}$，平均速率为 ______ $\text{m/s}$。

常见题型 $x$-$t$ 图像。图中是甲、乙两物体的位置—时间图像。　甲的速度为 ______ $\text{m/s}$，乙的速度为 ______ $\text{m/s}$。　乙的出发点在 $x=$ ______ $\text{m}$ 处，两者相遇的时刻是 $t=$ ______ $\text{s}$。　甲、乙的运动方向（　　）（填「相同」或「相反」）。

常见题型 加速度。　汽车起步后 $5\ \text{s}$ 内速度由 $0$ 增加到 $20\ \text{m/s}$，加速度为 ______ $\text{m/s}^2$。　汽车以 $20\ \text{m/s}$ 行驶，刹车后 $4\ \text{s}$ 停下，以初速度方向为正，加速度为 ______ $\text{m/s}^2$。　上题中汽车的加速度方向与速度方向（　　），汽车做（　　）运动（填「加速」或「减速」）。　小球以 $6\ \text{m/s}$ 的速度竖直向下撞到地面，反弹后以 $4\ \text{m/s}$ 竖直向上离开，碰撞用时 $0.2\ \text{s}$，取向上为正，碰撞过程的加速度为 ______ $\text{m/s}^2$。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　位移的大小可能大于路程。（　　）　加速度为负，物体一定在减速。（　　）　速度为零时，加速度一定为零。（　　）　速度变化量越大，加速度不一定越大。（　　）　$x$-$t$ 图像中的图线就是物体的运动轨迹。（　　）

拓展提高 位移与路程。如图，物体从 $A$ 出发，沿直线到 $B$ 再到 $C$。　$A$ 到 $C$ 的路程为 ______ $\text{m}$，位移大小为 ______ $\text{m}$。　若物体最后又回到 $A$，全程的路程为 ______ $\text{m}$，位移为 ______。

拓展提高 平均速度。　物体前一半位移的平均速度为 $4\ \text{m/s}$，后一半位移的平均速度为 $6\ \text{m/s}$，全程的平均速度为 ______ $\text{m/s}$。　物体前一半时间的平均速度为 $4\ \text{m/s}$，后一半时间的平均速度为 $6\ \text{m/s}$，全程的平均速度为 ______ $\text{m/s}$。　质点沿半径 $R=1\ \text{m}$ 的圆周由 $A$ 运动到直径另一端 $B$ 用时 $2\ \text{s}$（取 $\pi=3.14$），平均速度大小为 ______ $\text{m/s}$，平均速率为 ______ $\text{m/s}$。

拓展提高 $x$-$t$ 图像。图中是某物体的位置—时间图像。　$0\sim 2\ \text{s}$ 内物体的速度为 ______ $\text{m/s}$，$2\sim 4\ \text{s}$ 内物体处于（　　）状态。　$4\sim 6\ \text{s}$ 内物体的速度为 ______ $\text{m/s}$。　$0\sim 6\ \text{s}$ 内物体的路程为 ______ $\text{m}$，位移为 ______ $\text{m}$。

拓展提高 加速度的方向。　小球竖直上抛，$1\ \text{s}$ 后速度由向上 $10\ \text{m/s}$ 变为 $0$，再过 $1\ \text{s}$ 变为向下 $10\ \text{m/s}$。取向上为正，前 $1\ \text{s}$ 的加速度为 ______ $\text{m/s}^2$，后 $1\ \text{s}$ 的加速度为 ______ $\text{m/s}^2$。　上题中小球在最高点时速度为 ______，加速度为 ______ $\text{m/s}^2$。　火箭起飞时加速度约为 $30\ \text{m/s}^2$，子弹出膛时加速度可达 $5\times 10^{5}\ \text{m/s}^2$。加速度更大的是（　　），这说明（　　）（填「速度」或「速度变化」）更快。

拓展提高 $v$-$t$ 图像。图中是某物体的速度—时间图像。　$0\sim 4\ \text{s}$ 内加速度为 ______ $\text{m/s}^2$，$4\sim 6\ \text{s}$ 内加速度为 ______ $\text{m/s}^2$。　$6\sim 8\ \text{s}$ 内加速度为 ______ $\text{m/s}^2$，物体做（　　）运动（填「加速」或「减速」）。　$0\sim 8\ \text{s}$ 内物体的运动方向（　　）（填「改变过」或「没有改变过」）。

拓展提高 想一想。　物体做直线运动，速度由 $v$ 变为 $-v$ 的过程中，速度变化量的大小为 ______，加速度方向与初速度方向（　　）。　「加速度减小的加速运动」中，速度在（　　）（填「增大」或「减小」）。　两物体的 $x$-$t$ 图像相交，交点表示两物体（　　）。

必修第一册 第二章 匀变速直线运动　第一类可以定量计算的运动：由纸带与图像得出速度公式与位移公式，自由落体是初速度为零、加速度为 $g$ 的特例。　上一章建立了描述运动的量，这一章处理最简单也最重要的一类：加速度恒定的直线运动。四个公式加两个图像，是高中力学的计算底座 —— 斜面、传送带、带电粒子都用它。

第1节 实验：探究小车速度随时间变化的规律　打点计时器：每 0.02 texts 打一个点。　计数点：每 5 个点取一个，T=0.1 texts。　中间时刻速度：前后两段位移之和除以 2T。　逐差法：后三段之和减前三段之和，除以 9T^2。　操作顺序：先接通电源，后释放小车。　v-t 图像拟合：点大致在一条直线上，斜率是 a。

第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系　匀变速直线运动：沿直线、加速度恒定的运动。　速度公式：由加速度的定义式变形得到。　v-t 图像：倾斜直线，截距 v_0，斜率 a。　匀加速与匀减速：a 与 v 同向加速，反向减速。　正方向的规定：先定正方向，正负一律照此。

第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系　面积即位移：图线与时间轴围成的面积等于位移。　位移公式：x=v_0t+1/2at^2，由梯形面积推出。　速度位移关系：v^2-v_0^2=2ax，不含时间。　平均速度：bar v=v_0+v/2，等于中间时刻速度。　刹车问题：先求停止时刻，停后不再反向。　轴下方的面积：为负，表示这段在往回走。

第4节 自由落体运动　自由落体运动：初速度为零、只受重力的下落。　重力加速度：g 竖直向下，约 9.8 textm/s^2。　伽利略的方法：斜面「冲淡」重力，再外推到竖直。　竖直上抛运动：a=-g 的匀变速直线运动，整体处理。

常见题型 纸带处理。图中是打点计时器打出的一条纸带，相邻计数点间还有 $4$ 个点未画出，各段长度已标出（单位 cm）。　相邻计数点的时间间隔 $T=$ ______ $\text{s}$。　打 $B$ 点时小车的速度 $v_B=$ ______ $\text{m/s}$。　小车的加速度 $a=$ ______ $\text{m/s}^2$。

常见题型 速度与时间。　汽车以 $2\ \text{m/s}^2$ 的加速度从静止起步，$5\ \text{s}$ 末的速度为 ______ $\text{m/s}$。　汽车以 $20\ \text{m/s}$ 行驶，刹车的加速度大小为 $4\ \text{m/s}^2$，$3\ \text{s}$ 末的速度为 ______ $\text{m/s}$，停下需要 ______ $\text{s}$。　物体做匀加速直线运动，$2\ \text{s}$ 末速度为 $6\ \text{m/s}$，$4\ \text{s}$ 末速度为 $10\ \text{m/s}$，加速度为 ______ $\text{m/s}^2$，初速度为 ______ $\text{m/s}$。

常见题型 位移与时间。　汽车从静止以 $2\ \text{m/s}^2$ 匀加速，$5\ \text{s}$ 内的位移为 ______ $\text{m}$。　物体以 $4\ \text{m/s}$ 的初速度、$1\ \text{m/s}^2$ 的加速度做匀加速直线运动，$4\ \text{s}$ 内的位移为 ______ $\text{m}$，第 $4\ \text{s}$ 内的位移为 ______ $\text{m}$。　飞机着陆后以 $6\ \text{m/s}^2$ 的加速度匀减速滑行，着陆速度为 $60\ \text{m/s}$，滑行的距离为 ______ $\text{m}$。　汽车以 $10\ \text{m/s}$ 行驶，刹车加速度大小为 $5\ \text{m/s}^2$，刹车后 $3\ \text{s}$ 内的位移为 ______ $\text{m}$。

常见题型 $v$-$t$ 图像。图中是某物体的速度—时间图像。　$0\sim 2\ \text{s}$ 内的加速度为 ______ $\text{m/s}^2$，$2\sim 5\ \text{s}$ 内的加速度为 ______ $\text{m/s}^2$。　$0\sim 5\ \text{s}$ 内的位移为 ______ $\text{m}$。　$0\sim 5\ \text{s}$ 内的平均速度为 ______ $\text{m/s}$。

常见题型 自由落体（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。　小球从 $45\ \text{m}$ 高处自由落下，落地需要 ______ $\text{s}$，落地速度为 ______ $\text{m/s}$。　小球自由下落 $2\ \text{s}$，下落的高度为 ______ $\text{m}$，第 $2\ \text{s}$ 内下落的高度为 ______ $\text{m}$。　从井口释放一块石头，$2\ \text{s}$ 后听到落水声（不计声音传播时间），井深约 ______ $\text{m}$。　在真空中，硬币与羽毛从同一高度同时释放，（　　）先落地（填「硬币」「羽毛」或「同时」）。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　匀减速直线运动中，加速度一定为负值。（　　）　$v$-$t$ 图线在时间轴下方的面积表示位移为负。（　　）　自由落体运动中，物体越重下落得越快。（　　）　竖直上抛的物体到最高点时速度为零，加速度也为零。（　　）　匀变速直线运动中，中间时刻的速度等于全程的平均速度。（　　）

拓展提高 逐差法。图中纸带的六段位移依次为 $x_1=1.20\ \text{cm}$、$x_2=1.60\ \text{cm}$、$x_3=2.00\ \text{cm}$、$x_4=2.40\ \text{cm}$、$x_5=2.80\ \text{cm}$、$x_6=3.20\ \text{cm}$，$T=0.1\ \text{s}$。　相邻两段的位移差 $\Delta x=$ ______ $\text{cm}$。　用逐差法求得加速度 $a=$ ______ $\text{m/s}^2$。　打计数点 $3$ 时小车的速度为 ______ $\text{m/s}$。

拓展提高 刹车问题。汽车以 $20\ \text{m/s}$ 行驶，刹车的加速度大小为 $5\ \text{m/s}^2$。　汽车停下需要 ______ $\text{s}$，刹车距离为 ______ $\text{m}$。　刹车后 $2\ \text{s}$ 内的位移为 ______ $\text{m}$。　刹车后 $6\ \text{s}$ 内的位移为 ______ $\text{m}$。　停下前最后 $1\ \text{s}$ 内的位移为 ______ $\text{m}$。

拓展提高 追及问题。汽车从静止以 $2\ \text{m/s}^2$ 匀加速起步，同时一辆自行车以 $6\ \text{m/s}$ 从旁边匀速驶过。　两车相距最远时汽车的速度为 ______ $\text{m/s}$，此时 $t=$ ______ $\text{s}$。　两车之间的最大距离为 ______ $\text{m}$。　汽车追上自行车时 $t=$ ______ $\text{s}$，此时汽车的速度为 ______ $\text{m/s}$。

拓展提高 竖直上抛（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。小球以 $20\ \text{m/s}$ 竖直向上抛出。　小球上升的最大高度为 ______ $\text{m}$，上升用时 ______ $\text{s}$。　小球回到抛出点时的速度大小为 ______ $\text{m/s}$，往返共用 ______ $\text{s}$。　小球离抛出点 $15\ \text{m}$ 高处的时刻是 $t=$ ______ $\text{s}$ 与 $t=$ ______ $\text{s}$。

拓展提高 比例关系。物体从静止开始做匀加速直线运动。　前 $1\ \text{s}$、第 $2\ \text{s}$、第 $3\ \text{s}$ 内的位移之比为 ______。　若前 $2\ \text{s}$ 内的位移为 $4\ \text{m}$，则前 $4\ \text{s}$ 内的位移为 ______ $\text{m}$。　物体通过前一半位移与后一半位移所用时间之比为 ______。

拓展提高 两球先后下落（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。甲球自由释放 $1\ \text{s}$ 后，乙球从同一位置自由释放。　乙球释放时，甲球已下落 ______ $\text{m}$。　乙球释放 $1\ \text{s}$ 后，两球相距 ______ $\text{m}$。　两球在空中的距离随时间（　　）（填「增大」「减小」或「不变」）。

拓展提高 $v$-$t$ 图像。图中是甲、乙两物体从同一地点同时出发的速度—时间图像。　甲做（　　）运动，乙做（　　）运动。　$t=$ ______ $\text{s}$ 时两者速度相等，此时相距 ______ $\text{m}$。　乙追上甲的时刻 $t=$ ______ $\text{s}$。

必修第二册 第五章 抛体运动　由直线转入曲线：把运动分解到两个方向，平抛运动是水平匀速与竖直自由落体的合成，落地时间只由高度决定。　必修一处理的全是直线运动。这一章跨出的第一步是曲线：速度的方向在不断改变，而处理办法是把它拆成两个方向上的直线运动 —— 化曲为直。平抛运动是这套办法最干净的一个例子，水平方向匀速、竖直方向自由落体，两者互不干扰。

第1节 曲线运动　速度的方向：沿曲线在这一点的切线方向。　曲线运动的条件：合力与速度不在同一直线上。　轨迹的弯曲方向：夹在 v 与 F 之间，向 F 一侧弯。　一定是变速运动：方向改变，速度就改变了。

第2节 运动的合成与分解　合运动与分运动：分运动按平行四边形定则合成。　等时性与独立性：同时开始同时结束，互不干扰。　合运动的性质：看合初速度与合加速度共不共线。　渡河时间最短：船头垂直河岸，t=d/v_text船。　渡河位移最短：合速度垂直河岸，船头偏向上游。　船速小于水速：合速度无法垂直河岸，位移最短是 fracd,v_text水v_text船。

第3节 实验：探究平抛运动的特点　描迹法：逐点记下小球经过的位置，连成轨迹。　斜槽末端水平：否则初速度不水平，不是平抛。　同一位置静止释放：每次初速度相同，各点才属于同一条轨迹。　检验两个方向：水平等时等距，竖直 Delta y=gT^2。　由轨迹求 v_0：水平等间距取三点，先求 T 再求 v_0。

第4节 抛体运动的规律　平抛运动：水平抛出、只受重力，a=g。　两个方向的分解：水平匀速，竖直自由落体。　落地时间：t=√(2h/g)，只由高度决定。　速度与位移的方向：tanθ=2tanα，速度偏角更大。　斜抛运动：水平匀速加竖直上抛。　速度的反向延长线：过水平位移的中点。

常见题型 曲线运动。判断，对的画 √，错的画 ×。　曲线运动的速度方向时刻在变，它一定是变速运动。（　　）　合力方向与速度方向垂直时，物体做直线运动。（　　）　做曲线运动的物体，合力一定指向轨迹弯曲的内侧。（　　）　匀速圆周运动的加速度为零。（　　）

常见题型 小船渡河。河宽 $d=120\ \text{m}$，水流速度 $v_{\text{水}}=3\ \text{m/s}$，船在静水中的速度 $v_{\text{船}}=4\ \text{m/s}$。　船头垂直河岸时，渡河时间为 ______ $\text{s}$，船被冲向下游 ______ $\text{m}$。　此时船相对岸的速度大小为 ______ $\text{m/s}$，实际航程为 ______ $\text{m}$。　要使渡河位移最短，船头应偏向（　　）（填「上游」或「下游」），渡河时间为 ______ $\text{s}$。

常见题型 平抛运动（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。小球以 $10\ \text{m/s}$ 的初速度从 $20\ \text{m}$ 高处水平抛出。　小球在空中运动的时间为 ______ $\text{s}$。　小球落地点与抛出点的水平距离为 ______ $\text{m}$。　落地时竖直分速度为 ______ $\text{m/s}$，落地速度大小为 ______ $\text{m/s}$。　若初速度改为 $20\ \text{m/s}$，落地时间（　　）（填「变长」「变短」或「不变」），水平距离变为 ______ $\text{m}$。

常见题型 平抛的方向（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。小球以 $10\ \text{m/s}$ 水平抛出。　$1\ \text{s}$ 末速度方向与水平方向夹角的正切值为 ______。　$1\ \text{s}$ 末位移方向与水平方向夹角的正切值为 ______。　速度方向与水平方向成 $45^\circ$ 时，小球已运动 ______ $\text{s}$，下落的高度为 ______ $\text{m}$。

常见题型 描迹法求初速度（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。图中是平抛轨迹上的三个点，方格边长 $L=5\ \text{cm}$，$a$、$b$、$c$ 三点水平间距相等。　相邻两点的时间间隔 $T=$ ______ $\text{s}$。　小球的初速度 $v_0=$ ______ $\text{m/s}$。　小球经过 $b$ 点时的竖直分速度为 ______ $\text{m/s}$。

常见题型 运动的合成。　物体同时参与两个互相垂直的匀速直线运动，速度分别为 $3\ \text{m/s}$ 和 $4\ \text{m/s}$，合速度大小为 ______ $\text{m/s}$，合运动是（　　）（填「直线」或「曲线」）运动。　物体沿 $x$ 方向做匀速直线运动，同时沿 $y$ 方向从静止做匀加速直线运动，合运动是（　　）（填「直线」或「曲线」）运动。　平抛运动是（　　）（填「匀变速」或「非匀变速」）曲线运动。

拓展提高 落在斜面上的平抛（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。小球从倾角 $37^\circ$ 的斜面顶端以 $v_0=6\ \text{m/s}$ 水平抛出，落在斜面上（$\tan 37^\circ=0.75$）。　小球在空中的时间为 ______ $\text{s}$。　落点与抛出点的距离为 ______ $\text{m}$。　落到斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值为 ______。

拓展提高 小船渡河。河宽 $d=100\ \text{m}$，水流速度 $v_{\text{水}}=5\ \text{m/s}$，船在静水中的速度 $v_{\text{船}}=3\ \text{m/s}$。　这条船（　　）（填「能」或「不能」）到达正对岸。　渡河时间最短为 ______ $\text{s}$。　渡河位移最短为 ______ $\text{m}$。

拓展提高 网格法求抛出点（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。图中 $a$、$b$、$c$ 是平抛轨迹上的三个点，方格边长 $L=10\ \text{cm}$，$a$、$b$ 间竖直相差 $1$ 格，$b$、$c$ 间竖直相差 $2$ 格。　相邻两点的时间间隔 $T=$ ______ $\text{s}$。　小球的初速度 $v_0=$ ______ $\text{m/s}$。　$a$ 点（　　）（填「是」或「不是」）抛出点；抛出点在 $a$ 点上方 ______ $\text{cm}$ 处。

拓展提高 平抛与相遇（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。　甲球从 $h$ 高处水平抛出，乙球同时从同一高度自由释放，两球（　　）（填「同时」或「先后」）落地。　两球从同一高度以 $v_1=5\ \text{m/s}$ 和 $v_2=10\ \text{m/s}$ 水平抛出，落地时水平距离之比为 ______。　小球从 $5\ \text{m}$ 高处水平抛出，要落到水平距离 $6\ \text{m}$ 处，初速度应为 ______ $\text{m/s}$。

拓展提高 速度的分解。　用绳通过定滑轮拉船靠岸，人拉绳的速度为 $v$，绳与水面夹角为 $\theta$，船的速度为 ______（用 $v$、$\theta$ 表示）。　船靠岸的过程中 $\theta$ 增大，船的速度（　　）（填「增大」「减小」或「不变」）。

拓展提高 斜抛运动（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。小球以 $20\ \text{m/s}$、与水平方向成 $30^\circ$ 斜向上抛出。　初速度的水平分量为 ______ $\text{m/s}$，竖直分量为 ______ $\text{m/s}$。　小球上升到最高点用时 ______ $\text{s}$，最大高度为 ______ $\text{m}$。　最高点的速度大小为 ______ $\text{m/s}$，加速度大小为 ______ $\text{m/s}^2$。　落回抛出点的水平面时，水平射程为 ______ $\text{m}$。

必修第二册 第六章 圆周运动　速度方向不断改变的运动：线速度、角速度与周期互相换算，指向圆心的合力提供向心力，向心加速度 $a=\frac{v^2}{r}$。　平抛的加速度是恒定的，圆周运动的加速度方向却时刻在变 —— 它永远指向圆心。这一章的全部内容可以压成一句话：合力提供向心力。难点不在公式，而在于每一道题都要先判断「是哪些力在提供向心力」。

第1节 圆周运动　线速度：v=Delta s/Delta t，方向沿切线。　角速度：ω=Deltaθ/Delta t，单位 rad/s。　周期与转速：转一圈的时间 T，每秒转的圈数 n。　各量的关系：v=ω r=2π r/T。　同轴传动：角速度相同，v 与 r 成正比。　皮带与齿轮传动：线速度相同，ω 与 r 成反比。

第2节 向心力　向心力：指向圆心的合力，按效果命名。　由绳的拉力提供：绳拴小球在水平面内转。　由静摩擦力提供：汽车在水平路面转弯。　由万有引力提供：行星绕太阳、卫星绕地球。　受力图上不另画向心力：只画真实的力，不重复计算。　变速圆周运动：切向分力改变速率。

第3节 向心加速度　向心加速度：指向圆心，只改变速度的方向。　由 Delta v 推出：两点越近，Delta v 越接近指向圆心。　a=v^2/r：v 一定时，a 与 r 成反比。　a=ω^2 r：ω 一定时，a 与 r 成正比。　变加速运动：大小不变，方向时刻在变。

第4节 生活中的圆周运动　火车转弯：外轨略高，重力与支持力的合力提供向心力。　汽车过拱形桥：最高点 N=mg-mv^2/r，压力小于重力。　轻绳模型：最高点 v_min=√(gr)。　轻杆模型：杆能撑也能拉，最高点 v_min=0。　离心运动：向心力不足或消失，物体远离圆心。

常见题型 描述圆周运动的量。　钟表的秒针转一圈的周期为 ______ $\text{s}$，角速度为 ______ $\text{rad/s}$。　一个转速为 $600\ \text{r/min}$ 的转盘，周期为 ______ $\text{s}$，角速度为 ______ $\text{rad/s}$。　半径 $0.5\ \text{m}$ 的飞轮以 $4\ \text{rad/s}$ 匀速转动，边缘一点的线速度为 ______ $\text{m/s}$。　地球自转的周期为 $24\ \text{h}$，赤道上的物体与北京的物体，角速度（　　），线速度（　　）（填「相同」或「不同」）。

常见题型 传动问题。图中大轮半径 $r_A=2r_B$，$A$、$B$ 分别是两轮边缘上的点，$C$ 在大轮上、$r_C=\frac{1}{2}r_A$，皮带不打滑。　$v_A:v_B=$ ______，$\omega_A:\omega_B=$ ______。　$v_A:v_C=$ ______，$\omega_A:\omega_C=$ ______。　$a_A:a_B:a_C=$ ______。

常见题型 向心力与向心加速度。　质量 $0.5\ \text{kg}$ 的小球以 $2\ \text{m/s}$ 在半径 $0.5\ \text{m}$ 的圆周上匀速运动，向心力为 ______ $\text{N}$，向心加速度为 ______ $\text{m/s}^2$。　物体以 $\omega=2\ \text{rad/s}$ 在半径 $2\ \text{m}$ 的圆周上匀速运动，向心加速度为 ______ $\text{m/s}^2$。　绳拴着小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，向心力由（　　）提供；汽车在水平路面转弯，向心力由（　　）提供。　匀速圆周运动中，向心力（　　）（填「改变」或「不改变」）速度的大小。

常见题型 拱形桥与凹形桥（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。质量 $1000\ \text{kg}$ 的汽车以 $10\ \text{m/s}$ 通过半径 $40\ \text{m}$ 的桥。　通过拱形桥最高点时对桥的压力为 ______ $\text{N}$。　通过凹形桥最低点时对桥的压力为 ______ $\text{N}$。　汽车通过拱形桥最高点时恰好对桥没有压力，速度应为 ______ $\text{m/s}$。

常见题型 竖直面内的圆周运动（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。　长 $0.4\ \text{m}$ 的轻绳拴一小球在竖直面内做圆周运动，小球在最高点的速度至少为 ______ $\text{m/s}$。　若换成轻杆，小球在最高点的速度至少为 ______ $\text{m/s}$。　质量 $0.2\ \text{kg}$ 的小球用 $0.5\ \text{m}$ 的轻绳拴住，在最高点速度为 $5\ \text{m/s}$ 时，绳的拉力为 ______ $\text{N}$。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　匀速圆周运动是加速度不变的运动。（　　）　同一皮带上两轮边缘的角速度相同。（　　）　做圆周运动的物体，受力图上应再画一个向心力。（　　）　向心力不足时，物体逐渐远离圆心。（　　）　由 $a=\frac{v^2}{r}$ 可知，向心加速度总与半径成反比。（　　）

拓展提高 圆锥摆（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。长 $L=1\ \text{m}$ 的细绳拴一小球，绳与竖直方向成 $37^\circ$，小球在水平面内做匀速圆周运动（$\sin 37^\circ=0.6$，$\cos 37^\circ=0.8$）。　小球做圆周运动的半径为 ______ $\text{m}$。　向心力由（　　）提供，大小为 $mg\tan 37^\circ=$ ______ $mg$。　小球的线速度为 ______ $\text{m/s}$。

拓展提高 水平转盘（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。物块放在水平转盘上距轴 $0.5\ \text{m}$ 处随盘转动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，动摩擦因数 $\mu=0.2$。　物块的向心力由（　　）提供。　转盘角速度最大为 ______ $\text{rad/s}$，物块不会滑动。　若把物块移到距轴 $0.2\ \text{m}$ 处，允许的最大角速度（　　）（填「变大」「变小」或「不变」）。

拓展提高 汽车转弯（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。汽车在水平路面上转弯，弯道半径 $50\ \text{m}$，轮胎与路面间的最大静摩擦力为车重的 $0.5$ 倍。　汽车转弯的最大速度为 ______ $\text{m/s}$。　路面结冰使最大静摩擦力减半，转弯的最大速度变为 ______ $\text{m/s}$。　超过最大速度时汽车会（　　）（填「向内侧」或「向外侧」）滑动。

拓展提高 过山车（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。质量 $500\ \text{kg}$ 的车厢通过半径 $10\ \text{m}$ 的竖直圆轨道。　车厢在最高点不脱离轨道的最小速度为 ______ $\text{m/s}$。　车厢以 $15\ \text{m/s}$ 通过最高点时，轨道对车厢的压力为 ______ $\text{N}$。　车厢以 $20\ \text{m/s}$ 通过最低点时，轨道对车厢的支持力为 ______ $\text{N}$。

拓展提高 轻杆模型（取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。质量 $0.1\ \text{kg}$ 的小球固定在长 $0.5\ \text{m}$ 的轻杆一端，在竖直面内转动。　小球在最高点速度为 $1\ \text{m/s}$ 时，杆对球的作用力大小为 ______ $\text{N}$，方向向（　　）。　小球在最高点速度为 $3\ \text{m/s}$ 时，杆对球的作用力大小为 ______ $\text{N}$，方向向（　　）。　小球在最高点速度为 ______ $\text{m/s}$ 时，杆对球没有作用力。

拓展提高 想一想。　洗衣机脱水时水滴沿（　　）方向飞出（填「切线」或「半径」）。　同一物体在同一转盘上，离轴越远，所需向心力越（　　），越（　　）（填「容易」或「不容易」）被甩出。　火车按规定速度过弯时，内外轨对轮缘（　　）（填「有」或「没有」）挤压。

必修第二册 第七章 万有引力与宇宙航行　圆周运动用到天上：万有引力提供向心力，由此称出天体质量、推出第一宇宙速度与「高轨低速」，并给出牛顿力学的适用范围。　这一章把前面几章的规律用到天上。牛顿的贡献不在于发现了一个新的力，而在于指出：使苹果落地的力和使月亮绕地球运行的力，是同一种力。全章的解题主线只有两条 —— 万有引力提供向心力，以及地面附近万有引力约等于重力。

第1节 行星的运动　轨道定律：轨道是椭圆，太阳在一个焦点上。　面积定律：相等时间扫过相等面积，近日点快。　周期定律：a^3/T^2=k，k 只与中心天体有关。　圆轨道的简化：把轨道当作圆，a 就是半径 r。

第2节 万有引力定律　万有引力定律：F=Gm_1m_2/r^2，任何两个物体之间。　适用条件：两个质点；均匀球体取球心距。　引力常量：G=6.67× 10^-11 textN·textm^2/textkg^2。　月—地检验：月球的加速度约为 g 的 1/3600。

第3节 万有引力理论的成就　称量地球：mg=GMm/R^2，M=gR^2/G。　黄金代换：GM=gR^2，不给 G、M 时用它。　由环绕天体求中心天体质量：M=4π^2 r^3/GT^2，只能求中心天体。　计算天体密度：贴地卫星 rho=3π/GT^2。　预言未知天体：海王星先算出位置，再被观测到。

第4节 宇宙航行　第一宇宙速度：7.9 textkm/s，贴地环绕的速度。　两种推法：v=√(gR) 或 v=√(GM/R)。　第二、第三宇宙速度：11.2 textkm/s 脱离地球，16.7 textkm/s 脱离太阳系。　高轨低速：v=√(GM/r)，越高越慢、周期越长。　同步卫星：周期 24 texth，只能在赤道上空定点。

第5节 相对论时空观与牛顿力学的局限性　牛顿力学的适用范围：宏观、低速、弱引力场。　两条基本假设：相对性原理，光速不变原理。　时间与长度的相对性：运动的钟变慢，运动的尺变短。　质能方程：E=mc^2，质量与能量可以转化。

常见题型 开普勒定律。　行星绕太阳运行的轨道是（　　），太阳位于（　　）上。　行星在近日点的速度（　　）在远日点的速度（填「大于」或「小于」）。　两颗行星绕太阳运行，轨道半径之比为 $1:4$，周期之比为 ______。　开普勒第三定律中的 $k$ 由（　　）决定（填「中心天体」或「环绕天体」）。

常见题型 万有引力定律（$G=6.67\times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$）。　两个质量均为 $1\ \text{kg}$ 的质点相距 $1\ \text{m}$，引力大小为 ______ $\text{N}$。　两物体间的距离增大为原来的 $2$ 倍，引力变为原来的 ______。　两个均匀球体的半径均为 $R$，表面相距 $2R$，公式中的 $r$ 应取 ______。　地球质量约为月球的 $81$ 倍，地球对月球的引力（　　）月球对地球的引力（填「大于」「小于」或「等于」）。

常见题型 称量地球（取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$，$R=6.4\times 10^{6}\ \text{m}$，$G=6.67\times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$）。　地球的质量 $M=\frac{gR^2}{G}\approx$ ______ $\text{kg}$（保留两位有效数字）。　由 $GM=gR^2$ 可知，地面附近 $GM$ 的值为 ______ $\text{m}^3/\text{s}^2$（保留两位有效数字）。　某卫星绕地球做圆周运动的轨道半径为 $r$、周期为 $T$，则地球质量 $M=$ ______（用 $G$、$r$、$T$ 表示）。

常见题型 宇宙速度（取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$，$R=6.4\times 10^{6}\ \text{m}$）。　第一宇宙速度 $v_1=\sqrt{gR}\approx$ ______ $\text{km/s}$（保留两位有效数字）。　第一宇宙速度是卫星（　　）的环绕速度，也是（　　）的发射速度（填「最大」或「最小」）。　发射速度达到 $11.2\ \text{km/s}$ 时，物体将（　　）（填「绕地球运行」或「脱离地球」）。

常见题型 高轨低速。甲、乙两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径 $r_{\text{甲}}<r_{\text{乙}}$。　线速度 $v_{\text{甲}}$（　　）$v_{\text{乙}}$，周期 $T_{\text{甲}}$（　　）$T_{\text{乙}}$（填「大于」或「小于」）。　向心加速度 $a_{\text{甲}}$（　　）$a_{\text{乙}}$。　若 $r_{\text{乙}}=4r_{\text{甲}}$，则 $v_{\text{甲}}:v_{\text{乙}}=$ ______，$T_{\text{甲}}:T_{\text{乙}}=$ ______。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　同步卫星可以定点在北京正上方。（　　）　同步卫星的轨道高度是唯一的。（　　）　卫星轨道越高，运行速度越大。（　　）　牛顿力学在宏观、低速、弱引力场中高度精确。（　　）　真空中的光速与光源的运动状态无关。（　　）

拓展提高 贴地卫星求密度。某行星的近地卫星周期为 $T$，引力常量为 $G$。　该行星的密度 $\rho=$ ______（用 $G$、$T$ 表示）。　若该行星半径为 $R$，其质量 $M=$ ______（用 $G$、$T$、$R$ 表示）。　若卫星轨道半径为 $r$（$r>R$）、周期为 $T'$，密度 $\rho=$ ______（用 $G$、$T'$、$r$、$R$ 表示）。

拓展提高 另一颗星球。某星球的质量是地球的 $\frac{1}{10}$，半径是地球的 $\frac{1}{2}$。　该星球表面的重力加速度是地球表面的 ______ 倍。　该星球的第一宇宙速度是地球的 ______ 倍。　在地球上能跳 $1\ \text{m}$ 高的人，在该星球上能跳 ______ $\text{m}$ 高。

拓展提高 同步卫星（取 $g=10\ \text{m/s}^2$，$R=6.4\times 10^{6}\ \text{m}$，$T=24\ \text{h}$）。　同步卫星的轨道半径 $r=\sqrt[3]{\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}}\approx$ ______ $\times 10^{7}\ \text{m}$（保留两位有效数字）。　同步卫星离地面的高度约为地球半径的 ______ 倍（取整数）。　同步卫星的角速度与地面上物体的角速度（　　），线速度（　　）（填「相同」或「不同」）。

拓展提高 卫星变轨。卫星在近地圆轨道 $1$ 上运行，在 $P$ 点点火加速进入椭圆轨道 $2$，再在远地点 $Q$ 点火进入圆轨道 $3$。　卫星在轨道 $2$ 上经过 $P$ 点的速度（　　）在轨道 $1$ 上经过 $P$ 点的速度（填「大于」或「小于」）。　卫星在轨道 $3$ 上经过 $Q$ 点的速度（　　）在轨道 $2$ 上经过 $Q$ 点的速度。　卫星在轨道 $1$、$3$ 上的运行速度 $v_1$（　　）$v_3$，周期 $T_1$（　　）$T_3$。　卫星在轨道 $2$ 上经过 $P$ 点与在轨道 $1$ 上经过 $P$ 点的加速度（　　）（填「相同」或「不同」）。

拓展提高 月—地检验。地球半径为 $R$，月球轨道半径约为 $60R$，地面重力加速度为 $g$。　月球绕地球运行的向心加速度约为 ______（用 $g$ 表示）。　取 $R=6.4\times 10^{6}\ \text{m}$、$g=9.8\ \text{m/s}^2$，月球的周期约为 ______ 天（保留两位有效数字）。

拓展提高 想一想。　由 $M=\frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$（　　）（填「能」或「不能」）求出环绕天体的质量。　卡文迪什用扭秤测出的是（　　）（填「地球质量」或「引力常量」）。　牛顿力学（　　）（填「已被推翻」或「有适用范围」），相对论效应在日常速度下（　　）（填「明显」或「极其微小」）。