振动与波

选择性必修第一册 第二章 机械振动　由声源的振动走向一般的振动：用弹簧振子与单摆建立简谐运动的模型，用振幅、周期与相位描述它，用回复力与能量解释它，再讨论阻尼振动、受迫振动与共振。　前面研究的运动，或沿直线、曲线一直向前，或绕圆周转动。这一章研究另一类：在某一位置附近往复。简谐运动的回复力与位移成正比、方向相反，位移随时间按正弦规律变化。

第1节 简谐运动　机械振动：物体在一个位置附近的往复运动。　弹簧振子：弹簧质量与阻力都忽略的理想模型。　位移：从平衡位置指向振子所在的位置。　振动图像：表示位移随时间变化，不是轨迹。　简谐运动：位移随时间按正弦规律变化的振动。

第2节 简谐运动的描述　振幅：离开平衡位置的最大距离，用 A 表示。　全振动：运动状态重复一次的完整过程。　周期和频率：完成一次全振动的时间 T，f=1/T。　周期与振幅无关：周期由振动系统本身决定。　相位：ω t+φ 表示振动所处的状态。

第3节 简谐运动的回复力和能量　回复力：总指向平衡位置的力。　回复力的特点：F=-kx，与位移成正比、方向相反。　加速度：最大位移处最大，平衡位置为零。　能量的转化：动能与势能相互转化，总和不变。　振幅与能量：振幅越大，机械能越大。

第4节 单摆　单摆：线不可伸长，线的质量与球径可忽略。　单摆的回复力：重力沿切线方向的分力 mgsinθ。　摆角很小：摆角很小时，单摆做简谐运动。　周期公式：T=2π√(l/g)，惠更斯确定。　与什么无关：周期与摆球质量、振幅无关。　摆钟：走慢了，就把摆长调短。

第5节 实验：用单摆测量重力加速度　实验原理：测出 l 与 T，g=4π^2l/T^2。　摆线与摆球：线细而不易伸长，球小而质量大。　悬挂方式：悬点固定，摆动时摆长不变。　摆长的测量：摆线长加上摆球的半径。　周期的测量：从平衡位置计时，测多次全振动。　图像法：T^2-l 图像的斜率为 4π^2/g。

第6节 受迫振动 共振　固有频率：不受外力时的振动频率，由系统决定。　阻尼振动：振幅随时间逐渐减小的振动。　受迫振动：稳定后的频率等于驱动力的频率。　共振：驱动力频率等于固有频率，振幅最大。　共振曲线：峰所对的频率就是固有频率 f_0。　共振的利用与防止：转速计利用共振，桥梁要防止共振。

常见题型 振动图像。图中是某质点做简谐运动的振动图像。　振幅为 ______ $\text{cm}$，周期为 ______ $\text{s}$，频率为 ______ $\text{Hz}$。　$t=1\ \text{s}$ 时质点位于（　　）（填「正向最大位移处」「平衡位置」或「负向最大位移处」），速度为 ______。　$t=2\ \text{s}$ 时质点位于（　　），速度方向沿 $x$ 轴（　　）（填「正」或「负」）方向。　第 $2\ \text{s}$ 末的位移为 ______ $\text{cm}$，前 $2\ \text{s}$ 内通过的路程为 ______ $\text{cm}$。

常见题型 全振动与路程。某弹簧振子完成 $10$ 次全振动需要 $2\ \text{s}$，在这 $2\ \text{s}$ 内通过的路程是 $80\ \text{cm}$。　振子的周期为 ______ $\text{s}$，频率为 ______ $\text{Hz}$。　振子的振幅为 ______ $\text{cm}$。　$10\ \text{s}$ 内振子通过的路程为 ______ $\text{m}$。

常见题型 位移表达式。弹簧振子的平衡位置为 $O$ 点，在 $B$、$C$ 两点之间做简谐运动，$B$、$C$ 相距 $20\ \text{cm}$。小球经过 $B$ 点时开始计时，经过 $0.5\ \text{s}$ 首次到达 $C$ 点。　振幅为 ______ $\text{m}$，周期为 ______ $\text{s}$。　以 $O$ 为原点、$OB$ 方向为正方向，小球的位移随时间变化的关系式为 $x=$ ______ $\text{m}$。　$5\ \text{s}$ 内小球通过的路程为 ______ $\text{m}$，$5\ \text{s}$ 末的位移为 ______ $\text{m}$。

常见题型 回复力、速度与能量。如图，弹簧振子在 $M'$、$M$ 之间做简谐运动，$O$ 为平衡位置。　振子从 $M$ 向 $O$ 运动的过程中，回复力（　　），加速度（　　），速度（　　）（填「增大」或「减小」）。　振子经过 $O$ 点时，（　　）最大，（　　）为零（填「动能」或「弹性势能」）。　振子在 $M$ 点时，回复力的方向（　　）（填「向左」或「向右」）。

常见题型 单摆的周期（$g$ 取 $9.8\ \text{m/s}^2$）。周期是 $2\ \text{s}$ 的单摆叫作秒摆。　秒摆的摆长约为 ______ $\text{m}$（保留两位有效数字）。　把它拿到月球上（$g_{\text{月}}=1.6\ \text{m/s}^2$），周期约为 ______ $\text{s}$，做 $50$ 次全振动约用 ______ $\text{s}$（保留两位有效数字）。　一个单摆所在处的自由落体加速度变为原来的 $\frac{1}{2}$，它的周期变为原来的 ______ 倍。

常见题型 用单摆测量重力加速度。　摆线要选细些、伸缩性小些的，并且适当长一些。（　　）（填「正确」或「错误」，下同）　为了使摆的周期大一些、便于测量，开始时拉开摆球，使摆角较大。（　　）　用刻度尺测出摆线的长度，这就是单摆的摆长。（　　）　从摆球经过平衡位置开始计时，记下 $50$ 次全振动所用的时间 $t$，则周期 $T=\frac{t}{50}$。（　　）　某同学测得摆线长 $97.50\ \text{cm}$、摆球直径 $2.00\ \text{cm}$，$50$ 次全振动用时 $100.0\ \text{s}$，则摆长为 ______ $\text{m}$，$g=$ ______ $\text{m/s}^2$（$\pi^2$ 取 $9.86$）。

常见题型 受迫振动与共振。图中是一个单摆的共振曲线。　此单摆的固有频率为 ______ $\text{Hz}$，固有周期为 ______ $\text{s}$。　它的摆长约为 ______ $\text{m}$（$g$ 取 $\pi^2\ \text{m/s}^2$）。　若摆长增大，共振曲线的峰将向（　　）移动（填「左」或「右」）。　驱动力的频率为 $0.3\ \text{Hz}$ 时，摆球稳定后振动的频率为 ______ $\text{Hz}$。

拓展提高 周期的多解。小球在平衡位置 $O$ 附近做简谐运动，从 $O$ 点开始计时，经过 $3\ \text{s}$ 小球第一次经过 $M$ 点，再继续运动，又经过 $2\ \text{s}$ 第二次经过 $M$ 点。　若小球从 $O$ 出发时向着 $M$ 运动，周期为 ______ $\text{s}$。　若小球从 $O$ 出发时背离 $M$ 运动，周期为 ______ $\text{s}$。

拓展提高 振幅、频率与相位差。有两个简谐运动：$x_1=3a\sin\left(8\pi bt+\frac{\pi}{4}\right)$ 和 $x_2=9a\sin\left(8\pi bt+\frac{\pi}{2}\right)$。　它们的振幅之比 $A_1:A_2=$ ______。　它们的频率都是 ______。　它们的相位差为 ______，（　　）的相位超前（填「$x_1$」或「$x_2$」）。

拓展提高 由加速度确定平衡位置。做简谐运动的物体经过 $A$ 点时，加速度的大小是 $2\ \text{m/s}^2$，方向指向 $B$ 点；经过 $B$ 点时，加速度的大小是 $3\ \text{m/s}^2$，方向指向 $A$ 点。$A$、$B$ 之间的距离是 $10\ \text{cm}$。　平衡位置在 $A$、$B$ 之间，离 $A$ 点 ______ $\text{cm}$，离 $B$ 点 ______ $\text{cm}$。

拓展提高 两个单摆的振动图像。图中是甲、乙两个单摆的振动图像，以向右为位移的正方向。　甲、乙的周期之比为 ______，摆长之比为 ______。　从 $t=0$ 起，乙第一次到达右方最大位移时，甲位于（　　），向（　　）运动（填「左」或「右」）。

拓展提高 摆钟与星球。　一座摆钟走得慢了，要把它调准，应把摆长调（　　）（填「长」或「短」）。　把在山脚下走时准确的摆钟搬到山顶上，它会走得（　　）（填「快」或「慢」）。　一个单摆在质量为 $m_1$、半径为 $R_1$ 的星球上周期为 $T_1$，在质量为 $m_2$、半径为 $R_2$ 的星球上周期为 $T_2$，则 $T_1:T_2=$ ______。

拓展提高 补充能量（$g$ 取 $10\ \text{m/s}^2$）。一个单摆完成 $10$ 次全振动的时间是 $40\ \text{s}$，摆球的质量为 $0.2\ \text{kg}$，它振动到最大位移时距最低点的高度为 $1.5\ \text{cm}$，完成 $10$ 次全振动回到最大位移时，距最低点的高度变为 $1.2\ \text{cm}$。每完成 $10$ 次全振动给它补充一次能量，使摆球回到原来的高度。　单摆的周期为 ______ $\text{s}$。　每次应补充的能量为 ______ $\text{J}$。　$200\ \text{s}$ 内总共应补充 ______ $\text{J}$。

拓展提高 共振筛。把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力。图中是该共振筛的共振曲线。增大电压可使偏心轮转速提高，增加筛子质量可增大筛子的固有周期。现在偏心轮的转速是 $54\ \text{r/min}$。　驱动力的频率为 ______ $\text{Hz}$，筛子的固有频率为 ______ $\text{Hz}$。　为了使筛子的振幅增大，可以（　　）电压，或者（　　）筛子的质量（填「增大」或「减小」）。

选择性必修第一册 第三章 机械波　由一个质点的振动走向振动的传播：介质中各质点依次带动形成机械波，用波长、频率与波速描述它，再讨论波的反射、折射、衍射、干涉与多普勒效应。　上一章研究一个质点在平衡位置附近的振动，这一章研究振动在介质中的传播。波传播的是振动这种运动形式，同时传递能量与信息，介质中的质点并不随波迁移。描述波要用波的图像，它与振动图像的区别在横轴。

第1节 波的形成　机械波：机械振动在介质中传播，形成机械波。　横波：质点振动方向与传播方向垂直。　纵波：质点振动方向与传播方向在同一直线上。　声波：发声体在空气中产生的声波是纵波。　质点不随波迁移：质点只在平衡位置附近振动。

第2节 波的描述　波的图像：各质点在同一时刻的位移。　波长：相位总相同的相邻两质点间的距离。　周期和频率：等于波源振动的周期和频率。　波速：v=lambda/T=flambda，由介质决定。　波形图与振动图像：一张「照相式」，一张「录像式」。　质点振动方向的判断：画出稍后的波形，看质点向哪边走。

第3节 波的反射、折射和衍射　波的反射：反射角等于入射角。　波的折射：进入另一种介质时传播方向改变。　波的衍射：波绕过障碍物继续传播。　明显衍射的条件：尺寸跟波长相差不多或更小。　闻其声而不见其人：声波波长跟一般障碍物相当。

第4节 波的干涉　波的叠加：重叠区的位移等于各列波位移的矢量和。　保持各自的运动特征：相遇后各自的波长、频率不变。　波的干涉：加强区与减弱区的位置稳定。　干涉的条件：频率相同、相位差恒定、振动方向相同。　加强点与减弱点：峰峰相遇加强，峰谷相遇减弱。　主动降噪：发出相位相反的声波抵消噪声。

第5节 多普勒效应　多普勒效应：相对运动时接收到的频率发生变化。　相互接近：相互接近时，接收到的频率增大。　相互远离：相互远离时，接收到的频率减小。　波源的频率不变：变化的是观察者接收到的频率。　多普勒测速：由反射波频率的变化测出车速。　彩超：由反射波频率的变化测出血流速度。

常见题型 绳波的形成。如图，绳上质点 $1$ 在外力作用下沿竖直方向做简谐运动，带动其余质点依次振动。$t=0$ 时质点 $1$ 开始向上运动，$t=\frac{T}{4}$ 时质点 $1$ 到达最上方，质点 $5$ 恰好开始振动。　质点 $5$ 开始振动时的运动方向（　　）（填「向上」或「向下」）。　这列波的波长等于相邻两质点间距的 ______ 倍；质点 $1$ 与质点（　　）的振动步调始终相同。　$t=\frac{T}{2}$ 时，质点 $5$ 位于（　　）（填「最上方」「平衡位置」或「最下方」），振动刚好传到质点（　　）。　质点 $5$（　　）（填「会」或「不会」）随波向右移动。

常见题型 波的图像。图中是一列沿 $x$ 轴正方向传播的简谐横波在某时刻的波形，波速为 $2\ \text{m/s}$。　振幅为 ______ $\text{cm}$，波长为 ______ $\text{m}$。　周期为 ______ $\text{s}$，频率为 ______ $\text{Hz}$。　此时刻 $x=2\ \text{m}$ 处的质点沿 $y$ 轴（　　）（填「正」或「负」）方向运动，$x=1\ \text{m}$ 处的质点速度为 ______。　再经过 $0.5\ \text{s}$，$x=2\ \text{m}$ 处的质点位于（　　）（填「正向最大位移处」「平衡位置」或「负向最大位移处」）。

常见题型 波速计算（0 ℃ 时空气中的声速为 $332\ \text{m/s}$，水中的声速为 $1450\ \text{m/s}$）。　在空气中波长为 $1\ \text{m}$ 的声波传入水中，在水中的频率为 ______ $\text{Hz}$，波长约为 ______ $\text{m}$（保留三位有效数字）。　湖面上 $A$、$B$ 两船相距 $20\ \text{m}$，水波沿 $AB$ 方向传播，每条船每分钟上下浮动 $20$ 次。当 $A$ 船位于波峰时，$B$ 船在波谷，两船之间还有一个波峰。水波的频率为 ______ $\text{Hz}$，波长为 ______ $\text{m}$，波速约为 ______ $\text{m/s}$（保留两位有效数字）。　1827 年首次测定声音在水中的传播速度：两船相距 $14\ \text{km}$，一船上的人看到另一船上火把发光后 $10\ \text{s}$，听到水下的钟声。水中的声速约为 ______ $\text{m/s}$。

常见题型 由两时刻的波形求波速。图中实线是一列正弦波在某时刻的波形，经过 $0.5\ \text{s}$ 后的波形如虚线所示，该波的周期大于 $0.5\ \text{s}$。　这列波的波长为 ______ $\text{cm}$。　若波向左传播，$0.5\ \text{s}$ 内传播的距离为 ______ $\text{cm}$，波速为 ______ $\text{m/s}$，周期为 ______ $\text{s}$。　若波向右传播，$0.5\ \text{s}$ 内传播的距离为 ______ $\text{cm}$，波速为 ______ $\text{m/s}$，周期约为 ______ $\text{s}$。

常见题型 波的衍射。如图，挡板 $M$ 固定，挡板 $N$ 可以上下移动。水波通过 $M$、$N$ 之间的空隙后，挡板后面的 $P$ 点没有振动起来。　要使 $P$ 点振动起来，可以把 $N$ 板向（　　）移动，使空隙变（　　）。　也可以使波源的振动频率（　　），使水波的波长变（　　）。　操场上的喇叭播放音乐，走到教学楼后面，（　　）（填「高音」或「低音」）减弱得更明显，因为它的波长较（　　）。　声波容易绕过一般的障碍物，是因为它的波长跟一般障碍物的尺寸（　　）（填「相差不多」或「小得多」）。

常见题型 波的干涉。图中是两列频率相同、振幅均为 $A$ 的横波在某时刻相遇的情况，实线表示波峰，虚线表示波谷。　$M$ 点是振动（　　）的点，$N$ 点是振动（　　）的点（填「加强」或「减弱」）。　$M$ 点的振幅为 ______，$N$ 点的振幅为 ______。　经过半个周期，$M$ 处是波（　　）与波（　　）相遇。　$M$ 点（　　）（填「是」或「不是」）始终处在最大位移处。

常见题型 多普勒效应。　火车上的声源发出频率一定的乐音。下列情况中，观察者听到的音调比两者都静止时低的是（　　）。A．观察者静止，火车向他驶来　B．观察者静止，火车离他驶去　C．火车静止，观察者乘汽车向着火车运动　D．火车静止，观察者乘汽车远离火车运动　急救车从身边疾驰而过时，鸣笛的音调由（　　）变（　　）。　波源静止、观察者向波源运动时，观察者接收到的频率（　　），波源的振动频率（　　）（填「变大」「变小」或「不变」）。　交通警察向行进中的车辆发射频率已知的（　　）波，测出反射波频率的变化，就能知道车速。

拓展提高 判断质点的振动。图中是一列简谐横波在某时刻的波形，$K$、$L$、$M$ 是介质中的三个质点，$L$ 位于波谷。　若波沿 $x$ 轴正方向传播，此时 $K$ 向（　　）运动，$M$ 向（　　）运动（填「上」或「下」）。　若波沿 $x$ 轴正方向传播，$K$、$L$、$M$ 中最先回到平衡位置的是（　　）。　若波沿 $x$ 轴负方向传播，$K$、$L$、$M$ 中最先回到平衡位置的是（　　）。　此时 $L$ 的速度为 ______，加速度方向向（　　）。

拓展提高 一列简谐横波在 $t=0$ 时的波形如图，介质中 $x=2\ \text{m}$ 处的质点 $P$ 沿 $y$ 轴方向做简谐运动，表达式为 $y=10\sin(5\pi t)$（$y$ 的单位是 $\text{cm}$）。　这列波的波长为 ______ $\text{m}$，振幅为 ______ $\text{cm}$。　周期为 ______ $\text{s}$，波速为 ______ $\text{m/s}$。　这列波沿 $x$ 轴（　　）（填「正」或「负」）方向传播。

拓展提高 波源 $S$ 发出一列简谐横波，$S$ 的振动图像如图。在波的传播方向上有 $A$、$B$ 两点，它们到 $S$ 的距离分别为 $45\ \text{m}$ 和 $55\ \text{m}$，测得 $A$、$B$ 两点开始振动的时间间隔为 $1.0\ \text{s}$。　波速为 ______ $\text{m/s}$，周期为 ______ $\text{s}$，波长为 ______ $\text{m}$。　$A$、$B$ 两点的振动步调（　　）（填「相同」或「相反」）。　当 $B$ 点离开平衡位置的位移为 $6\ \text{cm}$ 时，$A$ 点的位移为 ______ $\text{cm}$。

拓展提高 多解问题。图中实线是一列正弦波在某时刻的波形，经过 $0.5\ \text{s}$ 后的波形如虚线所示，周期与 $0.5\ \text{s}$ 的大小关系未知。　若波向左传播，波速的可能值为 ______ $\text{m/s}$（$n=0,1,2,\dots$）。　若波向右传播，波速的可能值为 ______ $\text{m/s}$（$n=0,1,2,\dots$）。　若波速为 $0.84\ \text{m/s}$，这列波向（　　）传播。　若波速为 $1.08\ \text{m/s}$，这列波向（　　）传播。

拓展提高 干涉的计算。波源 $S_1$ 和 $S_2$ 振动方向相同、频率均为 $4\ \text{Hz}$、初始相位相同，分别置于均匀介质中的 $A$、$B$ 两点，$AB=1.2\ \text{m}$，两波源产生的简谐横波沿直线 $AB$ 相向传播，波速为 $4\ \text{m/s}$。　波长为 ______ $\text{m}$。　$A$、$B$ 间合振动振幅最小的点到 $A$ 点的距离为 ______ $\text{m}$ 和 ______ $\text{m}$。　$AB$ 的中点是振动（　　）的点（填「加强」或「减弱」）。

拓展提高 声音的干涉。$50\ \text{m}$ 直跑道的两端，安装了由同一信号发生器带动的两个相同的扬声器，连续发出波长为 $5\ \text{m}$ 的声波。一位同学从跑道的中点出发，向某一端缓慢行进 $10\ \text{m}$。　在跑道中点，他听到的声音（　　）（填「最强」或「最弱」）。　离中点 $1.25\ \text{m}$ 处，他到两个扬声器的距离之差为 ______ $\text{m}$，听到的声音（　　）。　行进 $10\ \text{m}$ 的过程中，他听到声音由强变弱的次数为 ______。

拓展提高 两列波的相遇。两列简谐横波分别沿 $x$ 轴正方向和负方向传播，两波源分别位于 $x=-0.2\ \text{m}$ 和 $x=1.2\ \text{m}$ 处，两列波的波速均为 $0.4\ \text{m/s}$，波源的振幅均为 $2\ \text{cm}$。图为 $t=0$ 时两列波的图像，此刻平衡位置在 $x=0.2\ \text{m}$ 和 $x=0.8\ \text{m}$ 的 $P$、$Q$ 两质点刚开始振动，质点 $M$ 的平衡位置处于 $x=0.5\ \text{m}$ 处。　两列波的波长为 ______ $\text{m}$，周期为 ______ $\text{s}$。　两列波在 $t=$ ______ $\text{s}$ 时相遇于 $M$ 点。　质点 $M$ 是振动（　　）的点，振幅为 ______ $\text{cm}$。　从 $t=0$ 到 $t=1.5\ \text{s}$，质点 $M$ 运动的路程为 ______ $\text{cm}$。