圆

九年级上册 第二十九章 圆的性质与弧长面积　研究弦、弧、圆心角与圆周角，计算弧长、扇形和圆锥侧面。　圆是初中最后一个、也是结论最多的图形。这一章处理圆内部的性质：垂径定理把弦与直径连起来，圆周角定理把角与弧连起来。两条定理各有一串推论，多数几何题都是从它们出发的。

29.1 圆的有关性质　弦与弧：弦的两端都在圆上。　垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及对应两弧。　垂径定理的逆用：平分非直径弦的直径垂直于弦。　半弦与弦心距：r^2=d^2+(L/2)^2。　弧、弦与圆心角：同圆或等圆，等弦对等劣弧、等圆心角。　圆周角定理：同弧圆周角是圆心角的一半。　直径所对的角：直径所对的圆周角是直角。　圆内接四边形：对角互补。　三点定圆：不共线的三点确定一个圆。

29.2 弧长和扇形面积　弧长：l=nπ r/180，n 为角度数。　扇形面积：S=nπ r^2/360=lr/2。　扇形的周长：弧长加两条半径。　圆锥侧面展开：扇形半径是母线长。　圆锥的侧面积：S_侧=π rl，l 为母线长。

常见题型 垂径定理。半径 $5$，圆心到弦的距离为 $3$。　半弦长为（　　），弦长为（　　）。　图中 OM 与 AB 的关系是______。

常见题型 圆周角。　一条弧所对圆心角为 $100^\circ$，同弧圆周角为（　　）度。　直径 AB 所对圆周角 ACB 为（　　）度。

常见题型 内接四边形。　一个内角为 $112^\circ$，它的对角为（　　）度。　一组对角的和为（　　）度。

常见题型 扇形。半径 $6$，圆心角 $120^\circ$。　弧长为______。　面积为______，周长为______。

常见题型 圆锥。底面半径 $3$、母线长 $5$。　侧面积为______，全面积为______。　侧面展开扇形圆心角为（　　）度。

拓展提高 弦心距。半径 $13$，弦长 $24$。　弦心距为（　　）。　同圆中弦越长，弦心距越（　　）。

拓展提高 同弦不同侧。A、B、C、D 在同一圆上，C、D 分居弦 AB 两侧。　若 $\angle ACB=65^\circ$，则 $\angle ADB=$（　　）度。　若 C、D 在弦 AB 同侧，两个圆周角（　　）。

拓展提高 由弧求扇形。弧长 $8\pi$，半径 $12$。　圆心角为（　　）度。　扇形面积为______。

拓展提高 圆锥反求。侧面展开扇形半径为 $10$，圆心角为 $216^\circ$。　圆锥底面半径为（　　）。　圆锥的高为（　　）。

拓展提高 证明。AB 是直径，C 在圆上且不同于 A、B，$AC=6$、$BC=8$。　由直径所对圆周角可知______。　半径为（　　）。

九年级上册 第三十章 点、直线与圆的位置关系　用距离判断位置关系，证明切线，认识内切圆与外接圆。

30.1 点和圆、直线和圆的位置关系　点与圆：比较点到圆心的距离与半径。　直线与圆：比较圆心到直线的距离与半径。　切线的判定：过半径外端，且垂直于半径。　切线的性质：切线垂直于过切点的半径。　切线长定理：同一外点引出的两条切线长相等。　切线夹角的平分线：外点与圆心的连线平分切线夹角。　三角形的外接圆：外心是三边垂直平分线的交点。　三角形的内切圆：内心是三条角平分线的交点。

常见题型 点与圆。半径为 $5$。　OP 分别为 $3$、$5$、$7$ 时，P 分别在圆______。　圆上各点到圆心的距离都为（　　）。

常见题型 直线与圆。半径 $4$，圆心到直线距离为 d。　$d=3$ 时，两者（　　）；$d=4$ 时，两者（　　）。　$d=6$ 时，两者（　　）。

常见题型 两条切线。PA、PB 切圆于 A、B。　若 $PA=6$，则 $PB=$（　　）。　$OA$ 与 $PA$（　　）。

常见题型 圆心。　三角形三边垂直平分线交于（　　）。　三角形内心到三边的距离（　　）。

拓展提高 切线长。OP 为 $13$，半径为 $5$，PA 为切线段。　$PA=$（　　）。　依据是切点处半径与切线垂直，再用______。

拓展提高 切线夹角。PA、PB 切圆于 A、B，$\angle APB=50^\circ$。　四边形 OAPB 中，$\angle AOB=$（　　）度。　$OP$ 与 $PA$ 的夹角为（　　）度。

拓展提高 证明切线。A 在圆 O 上，$OA=3$、$AP=4$、$OP=5$。　由边长关系得______。　因此 PA 是切线，理由是______。

拓展提高 内切圆。直角三角形两直角边为 $6$、$8$，斜边为 $10$。　面积为（　　），半周长为（　　）。　内切圆半径为（　　）。

选择性必修第一册 第二章 圆的方程与位置关系　由几何条件求圆方程，用距离与方程处理弦、切线和两圆。

2.4 圆的方程　标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，r>0。　一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。　成圆条件：D^2+E^2-4F>0。　配方：由一般式求圆心和半径。　待定系数法：代入三个不共线点的坐标。　以 AB 为直径：圆心是中点，半径是半段长。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系　直线与圆：用圆心到直线距离 d 比较 r。　弦长：L=2√(r^2-d^2)，d<r。　两圆的位置：比较圆心距与半径和、半径差。　两圆重合：圆心相同且半径相等时重合。　公共弦所在直线：相交两圆的方程相减。　切线方程：切点在圆上，半径垂直切线。

常见题型 读圆心与半径。　$(x-2)^2+(y+1)^2=9$ 的圆心是______，半径是（　　）。　$x^2+y^2-4x+6y-12=0$ 的圆心是______，半径是（　　）。

常见题型 判断是否为圆。　$x^2+y^2+2x-4y+5=0$ 表示______。　$x^2+y^2+2x-4y+6=0$ 在实数范围内表示______。

常见题型 直线与圆。$x^2+y^2=25$。　直线 $y=3$ 截得的弦长为（　　）。　直线 $y=5$ 与圆（　　），$y=6$ 与圆（　　）。

常见题型 两圆。半径分别为 $5$ 与 $2$。　圆心距为 $7$ 时（　　），为 $3$ 时（　　）。　圆心距为 $4$ 时（　　）。

常见题型 切线。圆 $x^2+y^2=25$，切点为 $(3,4)$。　切线方程为______。　原点到该直线的距离为（　　）。

拓展提高 以两点为直径端点。$A(0,0)$、$B(4,2)$。　圆心为______，半径平方为（　　）。　圆的方程为______。

拓展提高 求圆。经过 $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,6)$。　圆心为______。　一般方程为______。

拓展提高 参数问题。直线 $y=x+k$ 与圆 $x^2+y^2=8$ 相切。　$|k|=$（　　）。　$k=$______。

拓展提高 公共弦。两圆 $x^2+y^2=25$、$(x-6)^2+y^2=25$。　公共弦所在直线为______。　公共弦长为（　　）。

拓展提高 最值。点 P 在圆 $(x-3)^2+y^2=4$ 上。　P 到原点的最小距离为（　　），最大距离为（　　）。　两同心圆的半径相等时，两圆（　　）。