函数

八年级下册 第二十二章 变量与函数　引入变量与函数：一个量随另一个量的确定而唯一确定，可用解析式、列表与图象表示。　此前研究的都是一个一个的数，这一章开始研究两个量之间的对应。给定一个自变量的值，因变量就有唯一确定的值 —— 这就是函数。把这种对应画到坐标系里，就成了图象，代数与几何由此接上。

22.1 变量与函数　变量与常量：变化的量是变量，不变的量是常量。　函数：每个 x 都有唯一的 y 与之对应。　不是函数的对应：一个 x 对应两个 y，就不是函数。　自变量的取值范围：使式子有意义，并符合实际意义。　函数值：x 取定一个值时，y 对应的值。

22.2 函数的图象　函数的图象：以 (x,y) 为坐标的点组成的图形。　列表：取几个 x，算出对应的 y。　描点、连线：描出各点，用平滑曲线顺次连接。　三种表示方法：解析式法、列表法与图象法。　从图象读信息：图象上升，y 随 x 增大而增大。

常见题型 指出下列问题中的变量与常量。　汽车以每时 $60$ 千米的速度行驶，路程 $s$ 与时间 $t$：变量是（　　），常量是（　　）。　圆的面积 $S$ 与半径 $r$ 满足 $S=\pi r^2$：变量是（　　），常量是（　　）。

常见题型 判断 $y$ 是不是 $x$ 的函数。是的画 √，不是的画 ×。　$y=3x-1$（　　）　$y^2=x$（　　）　$y=|x|$（　　）　$|y|=x$（　　）

常见题型 求下列函数中自变量 $x$ 的取值范围。　$y=2x+5$：______　$y=\frac{3}{x-2}$：______　$y=\sqrt{x+4}$：______　$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$：______

常见题型 求函数值与对应的自变量。　函数 $y=2x-3$，当 $x=4$ 时，$y=$ ______；当 $y=7$ 时，$x=$ ______。　函数 $y=\frac{12}{x}$，当 $x=-3$ 时，$y=$ ______。

常见题型 写出函数解析式，并写出自变量的取值范围。　用 $20$ 米长的篱笆围成长方形，一边长 $x$ 米，面积为 $S$ 平方米：______。　每支笔 $3$ 元，买 $n$ 支笔共花 $y$ 元：______。

常见题型 看图填空。小明从家出发骑车去图书馆，途中休息了一会儿，他离家的距离 $s$（千米）与时间 $t$（分）的关系如图所示。　图书馆离家（　　）千米，路上一共用了（　　）分。　中途休息了（　　）分，休息前平均每分骑行（　　）千米。　休息后比休息前骑得（　　）。（填「快」或「慢」）

常见题型 画函数 $y=\frac{6}{x}$（$x>0$）的图象时，先列表。　$x=1$ 时 $y=$ ______，$x=2$ 时 $y=$ ______，$x=3$ 时 $y=$ ______，$x=6$ 时 $y=$ ______。

拓展提高 等腰三角形的周长为 $20$ 厘米，底边长为 $y$ 厘米，腰长为 $x$ 厘米。　$y$ 与 $x$ 的函数解析式是 ______。　自变量 $x$ 的取值范围是 ______。

拓展提高 看图填空。某日气温 $T$（${}^{\circ}\mathrm{C}$）随时间 $t$（时）变化的图象如图所示。　这一天的最高气温是（　　）${}^{\circ}\mathrm{C}$，出现在（　　）时。　这一天的最低气温是（　　）${}^{\circ}\mathrm{C}$，一天的温差是（　　）${}^{\circ}\mathrm{C}$。　气温上升的时段是从（　　）时到（　　）时。

拓展提高 看图选一选，填序号。　四个图象中，表示 $y$ 是 $x$ 的函数的有（　　）。　不是函数图象的那两个，存在竖直的直线与它有（　　）个交点。

拓展提高 写出函数解析式。　水池中有水 $50$ 立方米，每时放出 $5$ 立方米，剩余水量 $Q$（立方米）与放水时间 $t$（时）：______，$t$ 的取值范围是 ______。　面积为 $24$ 的长方形，一边长 $y$ 与相邻一边长 $x$：______。

拓展提高 由函数值求自变量与参数。　对于函数 $y=x^2-2x$，当 $x=-1$ 时，$y=$ ______；当 $y=0$ 时，$x=$ ______。　若函数 $y=\frac{x+a}{x-1}$ 在 $x=2$ 时的函数值为 $5$，则 $a=$ ______。

拓展提高 弹簧的长度 $y$（厘米）随所挂物体的质量 $x$（千克）变化：$x=0$ 时 $y=12$，$x=1$ 时 $y=12.5$，$x=2$ 时 $y=13$（在弹性限度内）。　$y$ 与 $x$ 的函数解析式是 ______。　挂 $5$ 千克的物体时，弹簧长 ______ 厘米。　弹簧长 $16$ 厘米时，所挂物体是 ______ 千克。

八年级下册 第二十三章 一次函数　第一种具体的函数：正比例函数与一次函数的图象是直线，并与方程、不等式相联系。　一次函数是初中研究的第一类具体函数。它的图象是一条直线，k 决定倾斜的方向与陡缓，b 决定与纵轴的交点。把方程与不等式放到这条直线上看，交点就是方程的解，直线在某一侧就是不等式的解集。

23.1 正比例函数　正比例函数：形如 y=kx（k≠ 0）的函数。　图象过原点：x=0 时 y=0，图象是过原点的直线。　两点画图：描出 (0,0) 与 (1,k)，过两点画直线。　k 的符号：k>0 过一、三象限，k<0 过二、四象限。　|k| 与陡缓：|k| 越大，直线越陡。

23.2 一次函数　一次函数：形如 y=kx+b（k≠ 0）的函数。　由正比例函数平移：y=kx 上下平移 |b| 个单位得到。　b 的意义：直线与 y 轴交于点 (0,b)。　增减性：k>0 时上升，k<0 时下降。　经过的象限：k、b 的符号决定经过哪些象限。　待定系数法：代入两点，解方程组求 k、b。

23.3 一次函数与方程、不等式　与一元一次方程：kx+b=0 的解是直线与 x 轴交点的横坐标。　与一元一次不等式：kx+b>0 对应直线在 x 轴上方的部分。　与二元一次方程组：两直线交点的坐标是方程组的解。　比较两个函数值：以交点为界，两侧的大小关系相反。

常见题型 一次函数与正比例函数的识别。　下列函数中，是一次函数的有（　　），其中是正比例函数的有（　　）。① $y=-3x$　② $y=2x+1$　③ $y=\frac{2}{x}$　④ $y=x^2+1$　⑤ $y=\frac{x}{2}$　若 $y=(m-2)x+m^2-4$ 是正比例函数，则 $m=$ ______。　若 $y=(k+1)x^{|k|}+3$ 是一次函数，则 $k=$ ______。

常见题型 填空（正比例函数）。　正比例函数 $y=-2x$ 的图象经过第（　　）象限，$y$ 随 $x$ 的增大而（　　）。　正比例函数 $y=kx$ 的图象经过点 $(2,6)$，则 $k=$ ______。　若 $y=(m-1)x$ 中 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是 ______。

常见题型 填空（一次函数）。　直线 $y=3x-2$ 与 $y$ 轴的交点是 ______，与 $x$ 轴的交点是 ______。　把直线 $y=-2x$ 向上平移 $3$ 个单位，得到直线 ______。　一次函数 $y=-x+2$ 的图象不经过第（　　）象限。

常见题型 用待定系数法求一次函数的解析式。　图象经过点 $(1,3)$ 和 $(-1,-1)$：______。　图象经过点 $(0,4)$，且与直线 $y=2x$ 平行：______。　图象与 $x$ 轴交于点 $(2,0)$，与 $y$ 轴交于点 $(0,-6)$：______。

常见题型 看图判断 $k$、$b$ 的符号，在括号里填「$>$」或「$<$」。直线的解析式都是 $y=kx+b$。　直线 ①：$k$（　　）$0$，$b$（　　）$0$。　直线 ②：$k$（　　）$0$，$b$（　　）$0$。　直线 ③：$k$（　　）$0$，$b$（　　）$0$。

常见题型 看图填空。直线 $y=kx+b$ 如图所示。　方程 $kx+b=0$ 的解是 ______。　不等式 $kx+b>0$ 的解集是 ______。　$k=$ ______，$b=$ ______；当 $x=2$ 时，$y=$ ______。

常见题型 某种通话套餐：每月基本费 $20$ 元，另按每分 $0.1$ 元收取通话费。　月费用 $y$（元）与通话时间 $x$（分）的函数解析式是 ______。　某月通话 $150$ 分，月费用是 ______ 元。　某月费用 $56$ 元，这个月通话了 ______ 分。

拓展提高 看图填空。直线 $l_1$：$y=x+1$ 与直线 $l_2$：$y=-2x+4$ 相交于点 $P$。　方程组 $\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}$ 的解是 ______。　当 $x$ ______ 时，$x+1>-2x+4$。　两条直线与 $x$ 轴围成的三角形的面积是 ______。

拓展提高 由 $k$、$b$ 的符号确定图象的位置。　若 $kb<0$，且 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则直线 $y=kx+b$ 经过第（　　）象限。　若一次函数 $y=(2m-1)x+m-3$ 的图象不经过第二象限，则 $m$ 的取值范围是 ______。　直线 $y=kx+b$ 经过第一、三、四象限，则直线 $y=bx+k$ 经过第（　　）象限。

拓展提高 方案选择。甲、乙两家复印店：甲店每页 $0.2$ 元；乙店先收会员费 $10$ 元，此后每页 $0.1$ 元。设复印 $x$ 页。　甲店费用 $y_1=$ ______，乙店费用 $y_2=$ ______。　复印（　　）页时，两店费用相同。　复印 $150$ 页，选（　　）店更省钱。

拓展提高 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形。　直线 $y=2x-4$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ______。　直线 $y=kx+3$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $6$，则 $k=$ ______。

拓展提高 看图填空。一辆汽车的油箱有油 $50$ 升，剩余油量 $Q$（升）与行驶路程 $s$（千米）的关系如图所示。　$Q$ 与 $s$ 的函数解析式是 ______。　每行驶 $100$ 千米耗油 ______ 升。　油箱剩油 $10$ 升时，汽车已行驶 ______ 千米。

拓展提高 直线的对称与平移。　直线 $y=2x+3$ 关于 $x$ 轴对称的直线是 ______。　直线 $y=2x+3$ 关于 $y$ 轴对称的直线是 ______。　点 $A(a,5)$ 在直线 $y=2x+3$ 上，则 $a=$ ______。

拓展提高 用图象解不等式。　一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过点 $(3,0)$，且 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则不等式 $kx+b>0$ 的解集是 ______。　直线 $y=-x+m$ 与 $y=3x+4$ 交点的横坐标为 $-1$，则 $m=$ ______，关于 $x$ 的不等式 $-x+m>3x+4$ 的解集是 ______。

九年级上册 第二十六章 二次函数　图象由直线变为抛物线：开口方向、对称轴与顶点，以及与一元二次方程的联系。　一次函数的图象是直线，二次函数的图象是抛物线。这一章围绕三件事展开：由解析式读出开口、顶点与对称轴；由抛物线与横轴的交点回看一元二次方程；用顶点求实际问题中的最值。

26.1 二次函数的图象和性质　二次函数：y=ax^2+bx+c（a≠ 0）。　开口方向：a>0 开口向上，a<0 开口向下。　开口大小：|a| 越大，开口越小。　顶点式：y=a(x-h)^2+k，顶点为 (h,k)。　对称轴：一般式的对称轴是直线 x=-b/2a。　增减性：以对称轴为界，两侧增减相反。

26.2 二次函数与一元二次方程　交点与根：与 x 轴交点的横坐标就是方程的根。　交点个数：Delta 决定抛物线与 x 轴的交点个数。　与 y 轴的交点：抛物线与 y 轴交于点 (0,c)。　由图象解不等式：y>0 取图象在 x 轴上方的部分。　近似解：由图象估计方程根的近似值。

26.3 实际问题与二次函数　建模两步：先列出二次函数，再求顶点。　利润问题：总利润 = 单件利润 × 销量。　自变量的范围：顶点不在范围内时，最值在端点处。　面积最值：周长一定的矩形，正方形面积最大。　抛物线形问题：拱桥、喷泉：先建坐标系，再设解析式。

常见题型 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。　$y=2(x-3)^2+1$：开口向（　　），对称轴是直线 ______，顶点坐标是 ______。　$y=-(x+1)^2-2$：开口向（　　），对称轴是直线 ______，顶点坐标是 ______。　$y=x^2-4x+5$：开口向（　　），对称轴是直线 ______，顶点坐标是 ______。　$y=-2x^2+4x$：开口向（　　），对称轴是直线 ______，顶点坐标是 ______。

常见题型 抛物线的平移。　把抛物线 $y=3x^2$ 向右平移 $2$ 个单位、再向上平移 $1$ 个单位，得到的抛物线是 ______。　抛物线 $y=(x+1)^2-3$ 可由 $y=x^2$ 先向（　　）平移 $1$ 个单位、再向（　　）平移 $3$ 个单位得到。　把抛物线 $y=-x^2+2$ 向下平移 $5$ 个单位，得到的抛物线是 ______。

常见题型 对于二次函数 $y=(x-1)^2+3$，填空。　当 $x>$ ______ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。　函数有最（　　）值，这个值是 ______。　点 $A(-1,y_1)$、$B(2,y_2)$ 在它的图象上，则 $y_1$（　　）$y_2$。

常见题型 抛物线与坐标轴的交点。　抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴的交点坐标是 ______，与 $y$ 轴的交点坐标是 ______。　抛物线 $y=x^2+2x+1$ 与 $x$ 轴有（　　）个交点，$y=x^2+x+1$ 与 $x$ 轴有（　　）个交点。

常见题型 如图是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象，它经过 $(-1,0)$、$(0,3)$、$(3,0)$ 三点。　$a$（　　）$0$，$c$（　　）$0$。　对称轴是直线 ______，顶点坐标是 ______。　方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解是 ______。　当 $y>0$ 时，$x$ 的取值范围是 ______。

常见题型 求二次函数的解析式。　抛物线的顶点是 $(2,-1)$，且经过点 $(0,3)$，它的解析式是 ______。　抛物线经过 $(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,-3)$ 三点，它的解析式是 ______。

常见题型 某商品进价 $30$ 元，售价 $40$ 元时每天售出 $100$ 件，售价每涨 $1$ 元，每天少售出 $5$ 件。设每件涨价 $x$ 元，每天的利润为 $y$ 元。　$y$ 与 $x$ 的函数关系式是 ______。　每件涨价 ______ 元时，每天的利润最大，最大利润是 ______ 元。

常见题型 如图，用长 $20$ m 的篱笆围成一面靠墙的矩形菜园（墙足够长），设垂直于墙的一边长 $x$ m，菜园面积为 $S\ \text{m}^2$。　$S$ 与 $x$ 的函数关系式是 ______，自变量的取值范围是 ______。　当 $x=$ ______ 时，菜园面积最大，最大面积是 ______ $\text{m}^2$。

拓展提高 如图是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象，对称轴是直线 $x=1$，与 $x$ 轴交于 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$。在括号里填「$>$」「$<$」或「$=$」。　$a$（　　）$0$，$b$（　　）$0$，$c$（　　）$0$。　$b^2-4ac$（　　）$0$。　$a+b+c$（　　）$0$，$a-b+c$（　　）$0$。　$2a+b$（　　）$0$。

拓展提高 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过点 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$。　$b=$ ______，$c=$ ______，对称轴是直线 ______。　点 $(4,m)$ 在抛物线上，则 $m=$ ______，它关于对称轴的对称点是 ______。

拓展提高 二次函数 $y=x^2-4x+3$ 在给定范围内的最值。　当 $0\le x\le 3$ 时，最大值是 ______，最小值是 ______。　当 $3\le x\le 5$ 时，最大值是 ______，最小值是 ______。

拓展提高 抛物线与直线、与坐标轴的交点。　抛物线 $y=x^2-2x+m$ 与 $x$ 轴有两个交点，则 $m$ 的取值范围是 ______；只有一个交点，则 $m=$ ______。　抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与直线 $y=x+1$ 的交点坐标是 ______。

拓展提高 如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面 $2$ m 时，水面宽 $4$ m。以拱顶为原点建立平面直角坐标系。　抛物线的解析式是 ______。　水面下降 $1$ m 后，水面宽 ______ m。

拓展提高 某商品每件成本 $40$ 元，售价为 $x$ 元（$50\le x\le 70$）时，每天的销量为 $(-10x+800)$ 件。设每天的利润为 $y$ 元。　$y$ 与 $x$ 的函数关系式是 ______。　售价定为 ______ 元时，每天的利润最大，最大利润是 ______ 元。　若规定售价不超过 $55$ 元，则售价定为 ______ 元时利润最大，最大利润是 ______ 元。

拓展提高 抛物线的平移与对称。　把抛物线 $y=x^2+bx+c$ 向右平移 $2$ 个单位、再向下平移 $3$ 个单位，得到 $y=x^2-2x+1$，则 $b=$ ______，$c=$ ______。　抛物线 $y=2x^2-4x+1$ 关于 $x$ 轴对称的抛物线是 ______。

九年级上册 第二十七章 反比例函数　图象是双曲线的函数：比例系数的符号决定图象所在的象限与增减性。　新版把反比例函数移到二次函数之后，正是为了两类函数可以对着看。它的图象是双曲线，分居两个象限；k 的正负决定在哪两个象限，而图象上任一点与两坐标轴围成的矩形面积恒等于 k 的绝对值 —— 这是它最常被考查的一条性质。

27.1 反比例函数的图象和性质　反比例函数：y=k/x（k≠ 0），x≠ 0。　图象的位置：k>0 在一、三象限，k<0 在二、四象限。　增减性：增减性只在每一支上成立。　不与坐标轴相交：两支无限接近坐标轴，但永不相交。　k 的几何意义：矩形面积为 |k|，三角形为 |k|/2。　对称性：图象关于原点成中心对称。

27.2 实际问题与反比例函数　反比例关系：两个量的乘积一定，它们成反比例。　常见情境：路程一定时，速度与时间成反比例。　只取一支：实际问题中常只取第一象限的一支。　由一点定 k：已知图象上一点，k=xy。

常见题型 下列函数中，是反比例函数的画 √，不是的画 ×。　$y=\frac{2}{x}$（　　）　$y=\frac{x}{2}$（　　）　$xy=-3$（　　）　$y=\frac{1}{x+1}$（　　）　$y=3x^{-1}$（　　）

常见题型 反比例函数的图象经过点 $(2,-3)$。　它的解析式是 ______。　图象位于第（　　）、第（　　）象限。　当 $x=-1$ 时，$y=$ ______。

常见题型 对于反比例函数 $y=\frac{4}{x}$，填空。　图象位于第（　　）、第（　　）象限。　在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而（　　）。　点 $(1,y_1)$、$(2,y_2)$ 在图象上，则 $y_1$（　　）$y_2$。

常见题型 由图象的位置与增减性求字母的范围。　反比例函数 $y=\frac{k-1}{x}$ 的图象在第二、四象限，则 $k$ 的取值范围是 ______。　反比例函数 $y=\frac{m+2}{x}$ 在每个象限内 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $m$ 的取值范围是 ______。

常见题型 如图，点 $P$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上，$PA\perp x$ 轴于点 $A$，$\triangle POA$ 的面积是 $3$。　$|k|=$ ______，$k=$ ______。　这个反比例函数的解析式是 ______。

常见题型 某蓄水池的排水管每小时排水 $8\ \text{m}^3$，$6$ h 可将满池水全部排空。　蓄水池的容积是 ______ $\text{m}^3$。　若每小时排水 $x\ \text{m}^3$，排空所需时间为 $y$ h，则 $y$ 与 $x$ 的函数关系式是 ______。　要在 $5$ h 内排空，每小时至少排水 ______ $\text{m}^3$。

常见题型 用撬棍撬石头，阻力为 $1200$ N，阻力臂为 $0.5$ m，动力 $F$（N）与动力臂 $l$（m）满足 $Fl=600$。　动力臂为 $1.5$ m 时，动力 $F=$ ______ N。　要使动力不超过 $300$ N，动力臂至少要 ______ m。

拓展提高 点 $A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$、$C(3,y_3)$ 都在反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象上。　$y_1=$ ______，$y_2=$ ______，$y_3=$ ______。　用「$<$」连接：______ $<$ ______ $<$ ______。

拓展提高 如图，一次函数 $y=x+1$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象交于点 $A(1,m)$ 和点 $B$。　$m=$ ______，$k=$ ______。　点 $B$ 的坐标是 ______。　当 $x+1>\frac{k}{x}$ 时，$x$ 的取值范围是 ______。　$\triangle AOB$ 的面积是 ______。

拓展提高 如图，点 $A$ 在 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上，点 $B$ 在 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上（都在第一象限），$AB\parallel x$ 轴，点 $C$、$D$ 在 $x$ 轴上，四边形 $ABCD$ 是矩形。　矩形 $ABCD$ 的面积是 ______。　若把 $y=\frac{1}{x}$ 换成 $y=\frac{2}{x}$，其余条件不变，矩形的面积是 ______。

拓展提高 为了预防流感，某学校用药熏消毒。药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 $y$（mg）与时间 $x$（min）成正比例；药物燃尽后，$y$ 与 $x$ 成反比例。已知药物 $8$ min 燃尽，此时含药量为 $6$ mg。　药物燃烧时，$y$ 与 $x$ 的函数关系式是 ______。　药物燃尽后，$y$ 与 $x$ 的函数关系式是 ______。　含药量降到 $1.6$ mg 以下时学生方可进入教室，从开始消毒至少经过 ______ min 后才能进入。

拓展提高 判断下列两个量是否成反比例，成反比例的画 √，不成的画 ×。　面积为 $10$ 的三角形，底 $a$ 与这条底上的高 $h$（　　）　路程一定时，速度与时间（　　）　正方形的面积与边长（　　）　圆的周长与半径（　　）

拓展提高 正比例函数与反比例函数的交点。　正比例函数 $y=2x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的一个交点是 $(1,2)$，则 $k=$ ______，另一个交点是 ______。　直线 $y=ax$ 与 $y=\frac{8}{x}$ 的图象交于 $A$、$B$ 两点，$A(2,4)$，则点 $B$ 的坐标是 ______。

必修第一册 第三章 函数的概念与性质　用集合与对应重新定义函数，研究单调性、最值与奇偶性，并认识幂函数。　初中的函数定义依赖「变化」这一直觉，遇到分段给出的对应就说不清楚。这一章改用集合与对应重新定义：给定两个非空数集与一个对应关系，每个输入恰有一个输出，定义域与值域由此成为函数的一部分。随后研究单调性、最值与奇偶性，认识第一类具体的函数 —— 幂函数，并用一次、二次、分段与幂函数解决实际问题。

3.1 函数的概念及其表示　函数的定义：非空数集 A 中每个 x 对应唯一的 y。　定义域：使解析式有意义的 x 的全体。　区间：方括号含端点，圆括号不含端点。　同一个函数：定义域与对应关系都相同。　分段函数：不同区间用不同解析式，仍是一个函数。　三种表示法：解析法、列表法、图象法。

3.2 函数的基本性质　单调递增：任取 x_1<x_2，都有 f(x_1)<f(x_2)。　单调递减：任取 x_1<x_2，都有 f(x_1)>f(x_2)。　单调区间：几个区间之间用逗号隔开，不用并集。　最大值：所有函数值都不超过它，且能取到。　奇函数：f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称。　偶函数：f(-x)=f(x)，图象关于 y 轴对称。

3.3 幂函数　幂函数：y=x^α：底数是自变量，指数是常数。　公共点：都过点 (1,1)；α>0 时还过原点。　第一象限的走势：α>0 递增，α<0 递减。　奇偶性：y=x^3 是奇函数，y=x^2 是偶函数。　比较大小：x>1 时指数大的大，0<x<1 时相反。

3.4 函数的应用（一）　一次函数模型：均匀变化的量，如按件计价。　二次函数模型：先增后减的量，用顶点求最大值。　分段函数模型：按区间计费，如阶梯水价。　幂函数模型：面积与边长这类 y=x^α 型关系。　建模的步骤：设变量、列式、定定义域、求解检验。

常见题型 求下列函数的定义域（用区间表示）。　$f(x)=\sqrt{x+2}+\frac{1}{x-1}$ 的定义域是 ______。　$f(x)=\frac{\sqrt{3-x}}{x}$ 的定义域是 ______。　$f(x)=(x-2)^0+\sqrt{x}$ 的定义域是 ______。

常见题型 已知 $f(x)=\begin{cases}x+1, & x\le 0\\ x^2, & x>0\end{cases}$，填空。　$f(-2)=$ ______，$f(3)=$ ______。　$f(f(-2))=$ ______。　若 $f(a)=4$，则 $a=$ ______。

常见题型 下列各组中的两个函数是不是同一个函数？在括号里填「是」或「不是」。　$f(x)=x$ 与 $g(x)=\frac{x^2}{x}$（　　）　$f(x)=|x|$ 与 $g(x)=\sqrt{x^2}$（　　）　$f(x)=x^2$ 与 $g(t)=t^2$（　　）　$f(x)=\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-1}$ 与 $g(x)=\sqrt{x^2-1}$（　　）

常见题型 判断下列函数的奇偶性，在括号里填「奇函数」「偶函数」或「非奇非偶函数」。　$f(x)=x^3+x$（　　）　$f(x)=x^4-2x^2$（　　）　$f(x)=x^2+x$（　　）　$f(x)=\frac{1}{x}$（　　）　$f(x)=\sqrt{x}$（　　）

常见题型 已知 $f(x)=x^2-4x+3$。　单调递减区间是 ______，单调递增区间是 ______。　在 $[0,3]$ 上的最大值是 ______，最小值是 ______。　在 $[3,5]$ 上的最大值是 ______。

常见题型 幂函数。　若幂函数 $f(x)=x^\alpha$ 的图象过点 $(2,\sqrt{2})$，则 $\alpha=$ ______，$f(9)=$ ______。　比较大小：$1.5^3$（　　）$1.5^2$，$0.5^3$（　　）$0.5^2$。（填「$>$」或「$<$」）　若 $f(x)=(m^2-m-1)x^m$ 是幂函数，且在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $m=$ ______。

常见题型 函数 $y=f(x)$ 的图象由三条线段组成，如图。　定义域是 ______，值域是 ______。　单调递增区间是 ______。　最大值是 ______，取得最大值时 $x=$ ______。　方程 $f(x)=1$ 有（　　）个实数解。

拓展提高 抽象函数与含参的定义域。　若 $f(x)$ 的定义域为 $[0,2]$，则 $f(2x-1)$ 的定义域为 ______。　若 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-1,1]$，则 $f(x)$ 的定义域为 ______。　若函数 $y=\sqrt{ax^2+ax+1}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，则 $a$ 的取值范围是 ______。

拓展提高 求函数的解析式。　若 $f(x+1)=x^2+2x$，则 $f(x)=$ ______。　若 $f(x)$ 是一次函数，且 $f(f(x))=4x+3$，则 $f(x)=$ ______。　若 $2f(x)+f(-x)=3x$，则 $f(x)=$ ______。

拓展提高 由奇偶性求值与参数。　已知 $f(x)$ 是奇函数，当 $x>0$ 时 $f(x)=x^2-2x$，则 $f(-1)=$ ______，当 $x<0$ 时 $f(x)=$ ______。　若 $f(x)=ax^2+bx+3a+b$ 是定义在 $[a-1,2a]$ 上的偶函数，则 $a=$ ______，$b=$ ______。　若 $f(x)=(x+a)(x-4)$ 是偶函数，则 $a=$ ______。

拓展提高 单调性的应用。　若 $f(x)=x^2+2(a-1)x+2$ 在 $(-\infty,4]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是 ______。　已知 $f(x)$ 是定义在 $[-1,1]$ 上的增函数，且 $f(x-1)<f(1-3x)$，则 $x$ 的取值范围是 ______。　已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，则 $f(-2)$，$f(1)$，$f(-3)$ 从小到大排列为 ______ $<$ ______ $<$ ______。

拓展提高 某市出租车计费：$3$ 千米以内（含 $3$ 千米）收费 $10$ 元，超过 $3$ 千米的部分每千米收费 $2$ 元（按实际里程计）。　行驶 $5$ 千米应付车费 ______ 元。　车费 $y$（元）与里程 $x$（千米）的关系：当 $0<x\le3$ 时 $y=$ ______，当 $x>3$ 时 $y=$ ______。　付车费 $26$ 元，行驶了 ______ 千米。

拓展提高 某商品进价每件 $40$ 元，售价 $50$ 元时每天可卖出 $500$ 件；售价每提高 $1$ 元，日销量减少 $10$ 件。设售价为 $x$ 元（$x\ge50$）。　日销量为 ______ 件（用含 $x$ 的式子表示）。　日利润 $y=$ ______（用含 $x$ 的式子表示）。　售价定为 ______ 元时日利润最大，最大日利润为 ______ 元。

拓展提高 已知 $f(x)$ 是定义在 $[-3,3]$ 上的奇函数，它在 $[0,3]$ 上的图象如图。　补全 $f(x)$ 在 $[-3,0]$ 上的图象，$f(-1)=$ ______。　不等式 $f(x)>0$ 的解集是 ______。　$f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的最大值是 ______，最小值是 ______。

必修第一册 第四章 指数函数与对数函数　指数由整数推广到实数并引入对数，研究指数函数与对数函数，用于建立函数模型。　这一章按「先把运算补齐，再研究函数」的顺序推进两次：指数由整数扩充到实数之后才有指数函数，对数作为求指数的运算引入之后才有对数函数。两个函数互为反函数，图象关于直线 $y=x$ 对称。最后比较不同函数增长的差异，用零点与二分法求方程的近似解，并用函数模型解决实际问题。

4.1 指数　n 次方根：若 x^n=a，x 叫 a 的 n 次方根。　根式的性质：sqrt[n]a^n：n 奇为 a，n 偶为 |a|。　分数指数幂：a^m/n=sqrt[n]a^m，规定 a>0。　负分数指数幂：a^-m/n=1/a^fracmn，0 没有负指数幂。　无理数指数幂：用有理数指数幂逼近，如 2^√(2)。　运算性质：指数扩到实数，三条运算性质不变。

4.2 指数函数　指数函数：y=a^x，a>0 且 a≠1，系数为 1。　定点：图象都过点 (0,1)。　a>1：在 mathbfR 上单调递增。　0<a<1：在 mathbfR 上单调递减。　值域：(0,+infty)，图象在 x 轴上方。　底数与图象：第一象限里底数越大，图象越高。

4.3 对数　对数：a^x=N，则 x=log_a N。　真数为正：零和负数没有对数。　两个特殊值：log_a 1=0，log_a a=1。　常用对数与自然对数：lg N=log_10N，ln N=log_e N。　运算性质：积的对数等于对数的和。　换底公式：log_a b=log_c b/log_c a。

4.4 对数函数　对数函数：y=log_a x，定义域 (0,+infty)。　定点：图象都过点 (1,0)。　单调性：a>1 递增，0<a<1 递减。　反函数：y=a^x 与 y=log_a x 关于 y=x 对称。　增长的差异：指数增长越来越快，对数增长越来越慢。　比较大小：同底看单调性，异底找中间值 1。

4.5 函数的应用（二）　函数的零点：使 f(x)=0 的实数 x，是数不是点。　三者等价：零点、方程的根、交点的横坐标。　零点存在定理：图象连续且 f(a)f(b)<0，则有零点。　二分法：取中点，留两端异号的一半。　指数增长模型：增长率不变：y=N(1+p)^x。　指数衰减模型：每过一个半衰期剩下一半。

建模 建立函数模型解决实际问题　建模的步骤：观察数据、选模型、求解、检验。　散点图：先画散点图，看出变化的趋势。　选择模型：按增长方式选一次、指数或对数模型。　检验与修正：偏差过大就回到选模型这一步。

常见题型 化简或求值。　$\sqrt[3]{(-2)^3}=$ ______，$\sqrt[4]{(-2)^4}=$ ______。　$8^{\frac{2}{3}}=$ ______，$16^{-\frac{3}{4}}=$ ______。　$a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{3}}\div a^{\frac{1}{6}}=$ ______（$a>0$）。　$(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}}+(\sqrt{2}-1)^0=$ ______。

常见题型 指数式与对数式互化。　$2^5=32$ 写成对数式：______。　$\log_3\frac{1}{9}=-2$ 写成指数式：______。　若 $\log_x 16=4$，则 $x=$ ______；若 $\log_2 x=-3$，则 $x=$ ______。

常见题型 计算。　$\lg 2+\lg 5=$ ______　$\log_2 24-\log_2 3=$ ______　$\log_3 27+\ln e^2=$ ______　$\log_2 3\cdot\log_3 8=$ ______　$2^{\log_2 5}+\log_5 1=$ ______

常见题型 求下列函数的定义域（用区间表示）。　$y=\log_2(x-1)$ 的定义域是 ______。　$y=\sqrt{2^x-4}$ 的定义域是 ______。　$y=\frac{1}{\lg x}$ 的定义域是 ______。　$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)+\sqrt{x}$ 的定义域是 ______。

常见题型 比较大小，在括号里填「$>$」或「$<$」。　$1.7^{2.5}$（　　）$1.7^3$　$0.8^{-0.1}$（　　）$0.8^{-0.2}$　$\log_2 3.4$（　　）$\log_2 8.5$　$\log_{0.3}1.8$（　　）$\log_{0.3}2.7$　$\log_2 3$（　　）$\log_3 2$

常见题型 图象与性质。　函数 $y=a^{x-1}+2$（$a>0$ 且 $a\ne1$）的图象恒过定点 ______。　函数 $y=\log_a(x+2)-1$（$a>0$ 且 $a\ne1$）的图象恒过定点 ______。　若 $y=(2a-1)^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是 ______。　函数 $y=2^x$ 与 $y=\log_2 x$ 的图象关于直线 ______ 对称。

常见题型 如图，曲线 ①②③④ 分别是 $y=a^x$，$y=b^x$，$y=c^x$，$y=d^x$ 的图象。　$a$，$b$，$c$，$d$ 与 $1$ 从小到大排列为 ______ $<$ ______ $<1<$ ______ $<$ ______。

常见题型 函数的零点。　函数 $f(x)=x^2-2x-3$ 的零点是 ______。　函数 $f(x)=2^x+x-4$ 的零点所在的区间是（　　）。（填序号：① $(0,1)$　② $(1,2)$　③ $(2,3)$）　用二分法求 $f(x)=\ln x+2x-6$ 的零点，已知 $f(2)<0$，$f(3)>0$，$f(2.5)<0$，下一步应计算 $x=$ ______ 处的函数值。

拓展提高 解指数方程与指数不等式。　方程 $4^x-2^{x+1}-8=0$ 的解是 $x=$ ______。　不等式 $2^{x^2-2x}<8$ 的解集是 ______。　不等式 $(\frac{1}{3})^{2x-1}>\frac{1}{27}$ 的解集是 ______。

拓展提高 解对数方程与对数不等式。　方程 $\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3$ 的解是 $x=$ ______。　不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>-1$ 的解集是 ______。　方程 $(\lg x)^2-\lg x-2=0$ 的解是 $x=$ ______。

拓展提高 对数运算。　若 $2^a=5^b=10$，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$ ______。　若 $\lg 2=m$，$\lg 3=n$，则 $\log_2 12=$ ______（用 $m$，$n$ 表示）。　$(\log_4 3+\log_8 3)(\log_3 2+\log_9 2)=$ ______。

拓展提高 复合函数的性质。　函数 $f(x)=\log_2(x^2-2x-3)$ 的单调递增区间是 ______。　函数 $y=(\frac{1}{2})^{x^2-2x}$ 的值域是 ______。　若 $f(x)=\log_a x$ 在 $[2,4]$ 上的最大值比最小值大 $1$，则 $a=$ ______。

拓展提高 比较大小，按从小到大的顺序填写。　$a=2^{0.3}$，$b=0.3^2$，$c=\log_2 0.3$，则 ______ $<$ ______ $<$ ______。　$a=\log_3 2$，$b=\ln 2$，$c=5^{-\frac{1}{2}}$，则 ______ $<$ ______ $<$ ______。

拓展提高 用二分法求方程 $x^3+x-3=0$ 在区间 $(1,2)$ 内的近似解，已知 $f(1)=-1<0$，$f(2)=7>0$，其中 $f(x)=x^3+x-3$。　第一次取中点 $1.5$，$f(1.5)$ ______ $0$（填「$>$」或「$<$」），零点所在区间变为 ______。　第二次取中点 ______，算得函数值为正，零点所在区间变为 ______。　第三次取中点 $1.125$，$f(1.125)<0$，零点所在区间变为 ______，此时区间长度为 ______。

拓展提高 函数模型的应用。　某地区现有人口 $100$ 万，年增长率为 $1\%$，$x$ 年后人口 $y$（万）与 $x$ 的函数关系是 $y=$ ______。　在上题中，已知 $\lg 2\approx0.3010$，$\lg 1.01\approx0.0043$，人口增加到原来的 $2$ 倍大约需要 ______ 年。　某种放射性物质每经过 $1$ 年剩余量为原来的一半，经过 ______ 年剩余量为原来的 $\frac{1}{16}$。

拓展提高 如图是函数 $y=\log_a(x+b)$ 的图象，它经过点 $(-1,0)$ 与 $(0,1)$。　$b=$ ______，$a=$ ______。　函数的定义域是 ______。　当 $y>1$ 时，$x$ 的取值范围是 ______。

选择性必修第二册 第四章 数列　定义在正整数集上的函数：等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和，以及数学归纳法。　数列是按次序排列的一列数，也是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，图象是一串孤立的点。本章研究两类最规整的数列：相邻两项之差为定值的等差数列与相邻两项之比为定值的等比数列，它们的通项与前 $n$ 项和都有公式；最后给出证明与正整数有关命题的数学归纳法。

4.1 数列的概念　数列：按确定次序排列的一列数，次序不同即不同。　项：第 n 个数叫第 n 项，记作 a_n。　数列与函数：自变量取正整数的函数，图象是散点。　通项公式：把 a_n 直接写成 n 的式子。　递推公式：由前项推后项，还须给出首项。　前 n 项和：n≥ 2 时 a_n=S_n-S_n-1。

4.2 等差数列　等差数列：后项减前项恒为同一常数 d。　通项公式：关于 n 是一次式，点在一条直线上。　等差中项：a,b,c 成等差时 2b=a+c。　下标性质：m+n=p+q 时 a_m+a_n=a_p+a_q。　前 n 项和：倒序相加：首末两项之和乘项数的一半。　和的最值：S_n 是 n 的二次式，可求最值。

4.3 等比数列　等比数列：后项比前项恒为同一常数 q。　不含零项：a_1≠ 0 且 q≠ 0，各项都不为 0。　通项公式：a_n=a_1q^n-1，关于 n 是指数型。　等比中项：G^2=ab，a 与 b 必须同号。　前 n 项和：乘公比后错位相减，中间项全部抵消。　公比为 1：q=1 时 S_n=na_1，须单独讨论。

选学 数学归纳法　数学归纳法：证明与正整数 n 有关的命题。　归纳奠基：验证 n 取第一个值时命题成立。　归纳递推：由 n=k 成立推出 n=k+1 成立。　两步缺一不可：缺奠基无起点，缺递推只验有限项。

常见题型 数列的项与通项。　数列 $a_n=n^2-n$ 的第 $5$ 项是 ______，$30$ 是它的第 ______ 项。　数列 $1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\dots$ 的一个通项公式是 $a_n=$ ______。　已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，则 $a_4=$ ______。

常见题型 由前 $n$ 项和求通项。　若 $S_n=n^2+2n$，则 $a_1=$ ______，$a_n=$ ______。　若 $S_n=n^2+1$，则 $a_n=$ ______。

常见题型 等差数列。　等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=3$，$d=2$，则 $a_{10}=$ ______。　等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_3=7$，$a_7=19$，则 $d=$ ______，$a_1=$ ______。　等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_2+a_8=16$，则 $a_5=$ ______。　$1+3+5+\dots+99=$ ______。

常见题型 等差数列的前 $n$ 项和。　等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=20$，$d=-3$，则 $S_{10}=$ ______。　等差数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=25$，$d=-2$，前 ______ 项和最大，最大值为 ______。

常见题型 等比数列。　等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=2$，$q=3$，则 $a_4=$ ______。　等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_2=6$，$a_5=48$，则 $q=$ ______，$a_1=$ ______。　$4$ 与 $9$ 的等比中项是 ______。　各项为正的等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_3a_7=36$，则 $a_5=$ ______。

常见题型 等比数列的前 $n$ 项和。　$1+2+4+\dots+2^9=$ ______。　等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=1$，$q=\frac{1}{2}$，则 $S_4=$ ______。　等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=5$，$q=1$，则 $S_6=$ ______。

常见题型 看图填空。图中的四个点表示数列 $\{a_n\}$ 的前 $4$ 项。　这个数列的首项是 ______，公差是 ______。　通项公式 $a_n=$ ______，这些点都在直线 ______ 上。　$a_{20}=$ ______。

拓展提高 由递推公式求通项。　已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，则 $a_n=$ ______。　已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，则 $\{a_n+1\}$ 是公比为 ______ 的等比数列，$a_n=$ ______。　已知 $a_1=2$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，则 $\{\frac{1}{a_n}\}$ 是公差为 ______ 的等差数列，$a_n=$ ______。

拓展提高 裂项相消求和。　$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\dots+\frac{1}{99\times 100}=$ ______。　若 $a_n=\frac{1}{n(n+2)}$，则前 $n$ 项和 $S_n=$ ______。

拓展提高 错位相减求和。　$1\times 2+2\times 2^2+3\times 2^3+\dots+n\times 2^n=$ ______。　$\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\dots+\frac{n}{2^n}=$ ______。

拓展提高 等差与等比的综合。　等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d\ne 0$，$a_1=1$，且 $a_1,a_3,a_9$ 成等比数列，则 $d=$ ______，$a_n=$ ______。　等比数列 $\{a_n\}$ 中 $S_3=7$，$S_6=63$，则 $q=$ ______，$a_1=$ ______。　等差数列 $\{a_n\}$ 中 $S_{10}=100$，$S_{20}=400$，则 $S_{30}=$ ______。

拓展提高 如图，一个球从 $100$ 米高处自由落下，每次着地后弹回原高度的一半再落下。　第 $2$ 次着地时，球共经过 ______ 米。　第 $5$ 次着地时，球共经过 ______ 米。　第 $n$ 次着地后弹起的高度是 ______ 米。

拓展提高 用数学归纳法证明 $1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$（$n$ 为正整数）。　第一步：验证 $n=$ ______ 时等式成立。　第二步：假设 $n=k$ 时等式成立，即 ______，要证明 $n=k+1$ 时 ______ 成立。　由 $n=k$ 到 $n=k+1$，等式左边增加的一项是 ______。

拓展提高 判断。对的画 √，错的画 ×。　数列 $1,2,3$ 与数列 $3,2,1$ 是同一个数列。（　　）　常数列一定是等差数列，也一定是等比数列。（　　）　若 $b^2=ac$，则 $a,b,c$ 一定成等比数列。（　　）　等差数列的前 $n$ 项和可能是关于 $n$ 的一次函数。（　　）

选择性必修第二册 第五章 导数及其应用　以瞬时变化率定义导数，用导数研究函数的单调性、极值与最值。　必修阶段研究函数性质靠观察图象，遇到不熟悉的函数便无从下手。导数给出了一个可以计算的判据：它是曲线在一点处的切线斜率，也是瞬时变化率。有了它，单调性、极值与最值都由符号与零点决定。

5.1 导数的概念及其意义　平均变化率：Delta y/Delta x，即割线的斜率。　瞬时变化率：Delta xto 0 时平均变化率的极限。　导数：瞬时变化率记作 f'(x_0)。　几何意义：f'(x_0) 是该点处切线的斜率。　导函数：每个 x 对应一个导数值 f'(x)。　切线方程：切点与斜率写成点斜式。

5.2 导数的运算　基本初等函数的导数：常数、幂、三角、指数、对数八个公式。　和与差：逐项求导：(u± v)'=u'± v'。　积的导数：(uv)'=u'v+uv'，不是 u'v'。　商的导数：分子 u'v-uv'，分母 v^2。　复合函数的导数：外层对内层求导，再乘内层的导数。

5.3 导数在研究函数中的应用　单调性：f'(x)>0 递增，f'(x)<0 递减。　极值点：导数在该点两侧异号。　极大值与极小值：左正右负取极大，左负右正取极小。　导数为零不一定是极值：y=x^3 在 x=0 处导数为 0。　最值：比较极值与端点处的函数值。　含参讨论：按导数零点与区间的位置分类。

常见题型 平均变化率与瞬时变化率。　函数 $f(x)=x^2$ 从 $x=1$ 到 $x=3$ 的平均变化率是 ______。　物体的运动方程为 $s=t^2+1$（$s$ 的单位：米，$t$ 的单位：秒），$t=2$ 秒时的瞬时速度是 ______ 米/秒。　若 $f'(1)=3$，则 $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=$ ______。

常见题型 写出导数。　$(x^5)'=$ ______，$\left(\frac{1}{x}\right)'=$ ______。　$(\sqrt{x})'=$ ______，$(2^x)'=$ ______。　$(\ln x)'=$ ______，$(\cos x)'=$ ______。

常见题型 用运算法则求导数。　$(x^3+2x)'=$ ______。　$(x\ln x)'=$ ______。　$\left(\frac{\sin x}{x}\right)'=$ ______。　$(e^{2x})'=$ ______，$(\sin 3x)'=$ ______。

常见题型 求切线。　曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处切线的斜率是 ______，切线方程是 ______。　曲线 $y=e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程是 ______。　曲线 $y=x^3$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程是 ______。

常见题型 求单调区间。　$f(x)=x^3-3x$ 的单调递增区间是 ______，单调递减区间是 ______。　$f(x)=x-\ln x$ 的单调递减区间是 ______。

常见题型 求极值与最值。　$f(x)=x^3-3x$ 的极大值是 ______，极小值是 ______。　$f(x)=x^3-3x$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值是 ______，最小值是 ______。　$f(x)=xe^x$ 的极小值点是 $x=$ ______。

常见题型 看图填空。图中是函数 $f(x)$ 的导函数 $y=f'(x)$ 的图象。　$f(x)$ 的单调递减区间是 ______。　$f(x)$ 的极大值点是 $x=$ ______，极小值点是 $x=$ ______。　$f'(0)$ ______ $0$（填「$>$」或「$<$」）。

拓展提高 与切线有关的问题。　过原点作曲线 $y=e^x$ 的切线，切点坐标是 ______，切线方程是 ______。　若直线 $y=2x+b$ 与曲线 $y=\ln x$ 相切，则 $b=$ ______。

拓展提高 由单调性求参数的取值范围。　若 $f(x)=x^3-ax$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是 ______。　若 $f(x)=\ln x-ax$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是 ______。

拓展提高 由极值求参数。　若 $f(x)=x^3+ax^2+bx$ 在 $x=1$ 处取得极值 $-2$，则 $a=$ ______，$b=$ ______。　若 $f(x)=x^3-3x+m$ 的极大值为 $5$，则 $m=$ ______，极小值为 ______。

拓展提高 用导数研究方程的根。　方程 $x^3-3x+m=0$ 有三个不同的实数根，则 $m$ 的取值范围是 ______。　函数 $f(x)=x^3-3x^2+4$ 的零点个数是 ______。

拓展提高 如图，在边长为 $60$ 厘米的正方形铁皮四角各截去一个边长为 $x$ 厘米的小正方形，折成一个无盖的盒子。　盒子的容积 $V(x)=$ ______（$0<x<30$）。　当 $x=$ ______ 时容积最大，最大容积是 ______ 立方厘米。

拓展提高 用导数证明不等式。　设 $f(x)=e^x-x-1$，则 $f'(x)=$ ______，$f(x)$ 的最小值是 ______，由此 $e^x$ ______ $x+1$（填「$\ge$」或「$\le$」）。　设 $g(x)=\ln x-x+1$，则 $g(x)$ 的最大值是 ______，由此 $\ln x$ ______ $x-1$（填「$\ge$」或「$\le$」）。

拓展提高 判断。对的画 √，错的画 ×。　若 $f'(x_0)=0$，则 $x_0$ 一定是 $f(x)$ 的极值点。（　　）　函数的极大值一定大于它的极小值。（　　）　若 $f(x)$ 在某区间上单调递增，则在该区间上恒有 $f'(x)>0$。（　　）　$\left(\sin\frac{\pi}{3}\right)'=\cos\frac{\pi}{3}$。（　　）