综合与实践

二年级下册 用图画讲数量关系　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　这是本册第二个综合与实践活动。把一道实际问题拆成条件、问题、算式与答案四格画出来，等于用图把解题过程走了一遍；讲给别人听时，缺了哪一格立刻显现。

活动 用连环画讲数学故事　确定情境：先说明原来有多少。　表现变化：分清增加、减少或合并。　图与算式：图画中的数量要和算式对应。　核对故事：结果回到情境中检验。

常见题型 原来与变化　原有 $6$ 只鸟，飞来 $3$ 只，现在（　　）只。　再飞走 $2$ 只，剩（　　）只。

常见题型 算式　“原有8个，拿走3个”应列______。　“4个与5个合起来”应列______。

常见题型 图画　画变化过程时，增加和减少要区分吗？______　结果应回到什么地方检验？______

拓展提高 倒推　原来有一些苹果，添 $4$ 个后共 $10$ 个，原来（　　）个。　拿走 $3$ 个后剩 $5$ 个，原来（　　）个。

拓展提高 连续变化　$7$ 人上车后又下车 $2$ 人，净增加（　　）人。　先增加 $3$ 再减少 $3$，数量与原来比（　　）。

拓展提高 避免重复　原来一幅图和后来一幅图中的同一批物品，可以不加区分地相加吗？______　每一幅图最好标明什么？______

三年级上册 数字编码与唯一性　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　这个活动讲的是编码：用数字表示信息，靠的是给每一段数字规定含义。邮政编码分段表示省、市与投递局，身份证号分段表示地区、出生日期与顺序，学号也可以按年级、班级、序号自己编。位数固定与分段有序是编码能被读懂的前提。

活动 数字编码与学号编制　编码含义：每一段有约定的意义。　固定位数：不足位数时按规则补零。　唯一性：同一范围内每个对象对应不同编码。　信息与隐私：示例用虚构编码，不暴露个人信息。

常见题型 读编码　规则为年级1位、班级2位、序号2位，10307 表示（　　）年级（　　）班（　　）号。　编码中03应保留前面的0吗？______

常见题型 编编码　按同样规则，2年级5班12号写作______。　5年级7班3号写作______。

常见题型 意义　两个学号相加能代表两人的人数吗？______　同一范围内不同学生可共用完全相同学号吗？______

拓展提高 容量　两位序号限定01至99，每班最多可编（　　）个序号。　若要容纳100名学生，至少应怎样修改？______

拓展提高 辨析　10307 与1307在固定五位规则下可以随意互换吗？______　两个不同班级都用07作班内序号，完整编码能区分吗？______

拓展提高 使用　设计新编码前应先明确什么？______　演示编码时使用真实身份证号合适吗？______

四年级上册 由小样本估计大数量　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　大数在纸面上只是一串数字，量感要靠推算建立。先量出一百张纸的厚度，再一步步放大到一亿张，得到的高度会远远超出直觉。这个活动同时练了两件事：选取合适的样本，以及按倍数逐级推算。

活动 1 亿张纸有多高　选择样本：用同种材料多张一起测。　单位量：总厚度除以张数。　放大推算：单张厚度乘总张数。　误差说明：估计值受纸张和压紧程度影响。

常见题型 取样　100张同种纸厚10毫米，单张平均厚（　　）毫米。　1000张约厚（　　）毫米。

常见题型 推算　按单张0.1毫米估计，1万张约厚（　　）米。　1亿张约厚（　　）米。

常见题型 换算　10000米等于（　　）千米。　这种推算结果应称作精确值还是估计值？______

拓展提高 误差　若单张实际厚0.11毫米，1亿张约厚（　　）千米。　与按0.1毫米估计的结果相差（　　）千米。

拓展提高 方法　为什么多张一起量比只量一张方便？______　取样纸很薄、推广纸很厚，推算可靠吗？______

拓展提高 复核　换算毫米到米应除以（　　）。　报告中除结果外还应交代什么？______

四年级上册 第五单元 莫比乌斯带的观察实验　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。

阅读 神奇的默比乌斯带　制作条件：纸条扭转半圈，再接合两端。　单侧性：沿表面画线可到达原纸条两面。　一条边界：沿边追踪可走遍整条边。　剪开实验：沿中线剪开后仍连成一条长环。

常见题型 制作　莫比乌斯带接合前，纸条需扭转（　　）圈。　普通圆环直接粘合，是否需要扭半圈？______

常见题型 观察　莫比乌斯带沿边追踪，有（　　）条边界。　普通纸环有（　　）条边界。

常见题型 实验　沿莫比乌斯带中线剪开，会直接变成两个分离圆环吗？______　判断结果应实际追踪还是只凭平面图猜？______

拓展提高 对比　普通纸环沿中线剪开，会成为（　　）条分离纸环。　莫比乌斯带沿中线剪开，仍连成（　　）条长环。

拓展提高 控制条件　剪线偏离中线，能直接套用中线剪法的结果吗？______　比较两次实验，应保持什么制作条件一致？______

拓展提高 解释　沿带画线回到起点前能经过原纸条两面，体现什么性质？______　一张平面照片中的交叉处，必定表示纸带粘在一起吗？______

四年级下册 用数据比较午餐方案　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　这个活动用数据去评价一件真实的事。先弄清标准：热量不低于多少、脂肪不高于多少；再把几种搭配逐一对照标准，判断是否合格；最后用统计图把大家的选择呈现出来。判断的依据必须是数据，而不是口味。

活动 用数据评价一份午餐　给定标准：先读题目规定的比较范围。　逐项核对：同指标、同单位才能比较。　组合方案：合计各食物对应的指标。　合理表达：结论限于题设，不代替健康建议。

常见题型 模拟午餐数据　两道菜的题设能量为200和150单位，合计（　　）单位。　再配100单位主食，合计（　　）单位。

常见题型 筛选　题设要求总量400至500单位，450单位是否满足？______　550单位是否满足？______

常见题型 口径　能量单位和质量单位可直接相加吗？______　题目中的模拟标准能直接当个人饮食建议吗？______

拓展提高 组合比较　方案甲总量450、方案乙480，差为（　　）。　在400至500的题设范围内，两者都合格吗？______

拓展提高 多指标　方案还要求指标B至少20单位，甲为18、乙为22，满足此项的是______。　只比较总能量能确认全部条件都满足吗？______

拓展提高 表达　报告比较结果前需写清数据的什么？______　两个不同指标都较好，能否不说明权重就直接相加排名？______

四年级下册 第九单元 鸡兔同笼　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　鸡兔同笼是一类经典问题，解法有三种：列表法从少到多逐个试，假设法先当作全是一种再按差额调整，画图法把脚一只只添上去。三种方法的共同点是先固定一个条件，再用另一个条件去校正。

第1节 鸡兔同笼　列表法：按一种数量变化，有序列出。　全是鸡：假设每只都只有两只脚。　多出的脚：每换成一只兔，多两只脚。　代回检验：头数和脚数都要满足。

常见题型 假设法　鸡兔共10只、脚28只，假设全是鸡，有（　　）只脚。　多出的8只脚对应（　　）只兔。

常见题型 求解　上题鸡有（　　）只。　检验脚数的算式为______。

常见题型 模型　每把一只鸡换成兔，头数不变，脚数增加（　　）。　只满足脚数、不满足头数的答案正确吗？______

拓展提高 新情境　鸡兔共15只、脚40只，兔有（　　）只。　鸡有（　　）只。

拓展提高 可行性　鸡兔共8只，脚数最少（　　），最多（　　）。　共8只却有25只脚，题设可行吗？______

拓展提高 推广　自行车和三轮车共10辆、轮子24个，三轮车有（　　）辆。　此时每次替换增加的轮子数是（　　）。

五年级上册 密铺与图案设计　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　密铺的条件藏在角里：拼在同一个顶点处的几个角，度数之和必须正好是 360 度。三角形与四边形都能单独密铺，正五边形不能。设计密铺图案时，平移、旋转与轴对称正是把一块图形铺开的三种手段。

活动 密铺与图案设计　密铺：不重叠、不留空隙地铺满平面。　顶点角度：相遇的角合计为 360°。　常见密铺：正三角形、正方形、正六边形。　一般三角形：可先拼成平行四边形再平移。

常见题型 顶点角度　4个正方形的角合计（　　）度。　6个正三角形的角合计（　　）度。

常见题型 判断　正六边形内角120度，顶点处可拼（　　）个。　密铺允许图形之间重叠吗？______

常见题型 构造　两个全等三角形可拼成（　　）形再平移密铺。　只铺出一小块无空隙，还应检查什么？______

拓展提高 正五边形　正五边形内角为（　　）度。　若只用正五边形边对边拼，每顶点能由整数个角凑成360度吗？______

拓展提高 混合图案　两个正三角形的角和两个正六边形的角合计（　　）度。　角和正确就无需检查边长匹配与排列了吗？______

拓展提高 面积　用边长2厘米正方形铺满8厘米×6厘米长方形，需（　　）块。　铺前应统一哪一类条件？______

五年级下册 表面涂色与分类计数　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　这个活动用一个立体模型练归纳。把棱长 n 的正方体表面涂色后切成小正方体，三面涂色的总在 8 个顶点上，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没涂色的藏在里面。四类的个数都能用 n 写成式子。

活动 表面涂色的正方体　角上的块：三面涂色，共8块。　棱中间的块：两面涂色，共 12(n-2) 块。　面中间的块：一面涂色，共 6(n-2)^2 块。　内部的块：没有涂色，共 (n-2)^3 块。

常见题型 每棱分3份　大正方体六面涂色后等分为27块，三面涂色有（　　）块。　两面涂色有（　　）块。

常见题型 其余类别　一面涂色有（　　）块。　没有涂色有（　　）块。

常见题型 检验　四类块数相加为（　　）。　只位于一条棱中间的小块有几个涂色面？______

拓展提高 每棱分4份　共（　　）块，其中三面涂色（　　）块。　两面涂色（　　）块，一面涂色（　　）块。

拓展提高 内部　没有涂色的块数为（　　）。　每棱分2份时，没有涂色的块数为（　　）。

拓展提高 适用范围　每棱不切分即n=1时，唯一一块有（　　）个涂色面。　能把n=1直接代入四类计数公式吗？______

五年级下册 通知方案与倍增　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　这个活动讲优化。逐个通知要 15 分钟，而让已经接到通知的人也参与通知，人数每分钟翻一番，只要 4 分钟。画出树状图之后规律一目了然：第 n 分钟结束时，知道消息的人数是 2 的 n 次方。

活动 通知的最优方案　逐个通知：只有一人通知时，每轮增加一人。　共同通知：每位已知者每轮通知一名新成员。　倍增上限：满足条件时已知人数每轮翻倍。　检查约束：不能重复通知，且有足够未通知者。

常见题型 倍增　初始1人知情，每人每分钟通知1名新成员，1分钟后最多（　　）人知情。　3分钟后最多（　　）人知情。

常见题型 新增人数　3分钟内新增知情人数最多为（　　）。　若只有最初一人逐个通知，3分钟后共（　　）人知情。

常见题型 条件　刚在本分钟收到消息的人，要到什么时候才参与转告？______　重复通知同一个人，会影响最快方案吗？______

拓展提高 求时间　教师最初知情，要通知15名学生，至少（　　）分钟。　通知16名学生，至少（　　）分钟。

拓展提高 上限　5分钟后最多共（　　）人知情。　其中新通知的人最多（　　）人。

拓展提高 辨析　总共只有10个人时，第5分钟一定有32个人知情吗？______　若每人同时可打两通电话，还能直接套每轮翻倍吗？______

五年级下册 第八单元 找次品与最坏情况　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　找次品讲的是优化。用天平称，每称一次把待测的一堆分成三份，能把范围缩小到原来的三分之一。因此分成尽量均匀的三份最省次数：9 个分成 3、3、3 只需 2 次，分成 4、4、1 反而可能要 3 次。

第1节 找次品　题设条件：已知仅一件次品且偏轻。　三种结果：左轻、右轻或平衡。　尽量三分：两组等量上秤，余组留外。　最坏情况：每一步都考虑剩余最多的分支。

常见题型 题设：唯一偏轻次品　3件物品中称1件对1件，若平衡，次品在______。　若左盘较轻，次品在______。

常见题型 次数　9件中保证找到唯一偏轻次品，至少称（　　）次。　第一次可分成每组（　　）件的三组。

常见题型 策略　每次天平有（　　）种可能结果。　应只考虑最顺利情况来保证次数吗？______

拓展提高 容量　3次称量最多区分（　　）个候选。　10件中保证找到唯一偏轻次品，至少（　　）次。

拓展提高 分组　8件可分为3、3、2三组，先称哪两组？______　若平衡，剩下的2件只需再称（　　）次。

拓展提高 条件　若不知道次品偏轻还是偏重，还能无条件套3的幂公式吗？______　每次两盘件数不同、正常件同重，会妨碍直接判断吗？______

六年级上册 跑道与起跑线　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　这个活动把本册的圆与分数用到运动场上。相邻两条跑道的长度差，正是两个半圆周长之差，与直道的长短无关。活动的完整过程是：确定要研究的问题、收集数据、用算式与图表分析、把结论讲给同学听。

活动 跑道与起跑线　跑道组成：两条直道与两个半圆弯道。　弯道半径：外道弯道半径较大。　一圈差值：两半圆合成一圆，差为 2π d。　起跑补偿：补偿所跑弯道的额外长度。

常见题型 理想跑道　两条直道长度相同，内外道一圈差主要来自______。　两个半圆弯道合起来相当于（　　）个整圆。

常见题型 周长差　测量线半径差1米，一圈长度差为______米。　取π=3.14，约差（　　）米。

常见题型 起跑线　想跑同样一圈总距离，外道起点应向前还是向后移？______　补偿距离应等于______。

拓展提高 多道比较　第1道与第3道测量线半径差2米，一圈差为______米。　如果只跑一个半圆弯道，差为______米。

拓展提高 模型　理想模型中，相邻道测量线差0.8米，一圈差为______米。　直道长度是否影响这两道的一圈差？______

拓展提高 实际使用　未给实际测量线和比赛规则，能把模型数值直接作正式比赛标线吗？______　若不再分道跑完整圈，还能直接用整圈补偿吗？______

六年级上册 取样测量与节水估计　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　这个活动以节水为主题，走的是一条完整的数据链：先测出一分钟的滴水量，再按倍数推算到一天、一年，最后用百分数说明它在家庭用水中占的比例。推算的每一步都要写清依据，结论才站得住。

活动 滴水中的数学　取样测量：同一漏水条件下多测几次。　速率：水量除以经过时间。　逐级换算：分钟、小时、天依次换算。　改进比较：以前后同等条件比较减少量。

常见题型 取样　5分钟收集漏水100毫升，每分钟约（　　）毫升。　按同样速率，1小时约漏（　　）毫升。

常见题型 换算　1200毫升等于（　　）升。　一天24小时约漏（　　）升。

常见题型 比较　维修后每分钟5毫升，比原来每分钟减少（　　）毫升。　推算需要漏水速率近似保持什么状态？______

拓展提高 比例　每分钟从20毫升减到5毫升，减少了原来的（　　）%。　减少后1天仍约漏（　　）升。

拓展提高 多次测量　三次各1分钟测得18、20、22毫升，平均每分钟（　　）毫升。　按该均值，30天约漏（　　）升。

拓展提高 数据边界　水压显著变化后，还能不加说明地沿用旧速率吗？______　估计报告应同时写出测量时间和什么条件？______

六年级下册 百分数方案的同口径比较　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　这个活动把利率用到一件真实的事上。存期不同利率也不同，要比较几种存法的收益，必须把它们放到同一个时间长度上算。算完之后还要说清依据，而不是只报一个数字。

活动 比较几种存法　统一条件：相同本金、期限才能直接比较。　简单利息：题设下利息等于本金乘利率乘时间。　到期转存：是否把利息计入新本金需看约定。　说明假设：题设利率不代表实际产品利率。

常见题型 虚构题设：本金1000元，年利率2%，不计税费　按单利计算，一年利息为（　　）元。　两年利息为（　　）元。

常见题型 转存　一年后把本息全部转存，新本金为（　　）元。　若第二年年利率仍为2%，第二年利息为（　　）元。

常见题型 比较条件　本金不同，能只比较所得利息判断哪种利率高吗？______　题设利率是不是实际产品报价？______

拓展提高 同期限比较　1000元按年利率2%逐年本息转存两年，末期金额为（　　）元。　与两年单利相比，多（　　）元。

拓展提高 不同方案　另一方案两年单利年利率2.1%，末期金额为（　　）元。　在这些题设下哪种末期金额更大？______

拓展提高 假设变化　第二年利率改变，还能沿用前一年的利率吗？______　比较结论应注明哪些条件？______

六年级下册 齿轮传动与行进距离　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　这个活动用比与圆的周长解释一件熟悉的事。前齿轮转一圈带动后齿轮转的圈数，等于两个齿轮的齿数之比；后轮转的圈数乘车轮的周长，就是蹬一圈走的距离。变速车换挡，改变的正是这个比。

活动 蹬一圈走多远　链条传动：前后齿轮通过的齿数相同。　转数比：后轮转数为前齿数除以后齿数。　行进距离：车轮转数乘车轮周长。　模型条件：假设传动接合、滚动不打滑。

常见题型 齿数与圈数　前齿轮48齿、后齿轮16齿，踏板一圈，后轮转（　　）圈。　车轮周长2米时，前进（　　）米。

常见题型 连续运动　按相同条件蹬10圈，后轮转（　　）圈。　前进（　　）米。

常见题型 条件　题设计算假定车轮与地面是否打滑？______　通过前后齿轮的链条齿数是否相同？______

拓展提高 变速　前齿轮仍48齿，后齿轮改24齿，踏板一圈后轮转（　　）圈。　车轮周长2米时，前进（　　）米。

拓展提高 用直径求距离　车轮直径0.6米，周长为______米。　前后齿数比3:1，蹬一圈前进______米。

拓展提高 辨析　蹬一圈前进更远，就一定更省力吗？______　后齿轮与车轮未接合时，能直接由踏板转数推后轮转数吗？______

六年级下册 第五单元 鸽巢原理　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。　鸽巢原理说的是一件几乎显然却很有用的事：物体数多于抽屉数时，总有一个抽屉里不止一个。求「至少有几个」要从最不利的分法入手 —— 先尽量平均地分下去，剩下的那些无论放到哪里都会造成重复。

第1节 鸽巢问题　基本原理：物体比抽屉多，至少一屉不少于2个。　尽量平均：先看最分散的安排。　一般形式：N 个放 m 屉，至少一屉有 lceil N/mrceil 个。　保证与可能：保证发生需考虑最不利情况。

常见题型 抽屉分配　5支笔放4个笔筒，总有一个至少（　　）支。　10个球放3个盒，总有一个至少（　　）个。

常见题型 整除　12个球放3个盒，总有一个至少（　　）个。　整除时还需要把商加1吗？______

常见题型 保证同色　红、蓝球均足够多，至少摸（　　）个保证有2个同色。　“可能同色”与“保证同色”要求一样吗？______

拓展提高 推广　25名学生按生日月份分类，总有一个月份至少（　　）人。　7个数除以6，总有两个数的余数（　　）。

拓展提高 最坏情况　3种颜色球每种至少3个，至少摸（　　）个保证3个同色。　上题最坏情况下先每种摸2个，共（　　）个仍未保证。

拓展提高 条件　若总共只有红1个蓝1个，能抽3个保证同色吗？______　某盒实际放了6个，能证明任何分法都至少有盒放6个吗？______

七年级上册 第六章 场地设计与测量校核　提出问题、选择方法、计算或实验，并说明检验与适用条件。

实践 设计学校田径运动会比赛场地　明确约束：先列场地长宽、通道等条件。　比例绘图：所有长度用同一比例尺。　作直角：可用三角尺或检验3、4、5关系。　方案核验：检查尺寸、面积与安全预留条件。

常见题型 比例尺　实际长60米、宽40米的场地，用1:1000绘图，长（　　）厘米、宽（　　）厘米。　实际面积为（　　）平方米。

常见题型 作直角　边长3、4、5构成三角形，最长边所对角为（　　）度。　只凭眼睛判断场地直角，精确吗？______

常见题型 通道　题设沿内侧四周留宽2米通道，可用区域长（　　）米、宽（　　）米。　上述通道宽度能当作所有场地建设标准吗？______

拓展提高 可用面积　原60米×40米场地，内部四周留2米通道，可用面积为（　　）平方米。　通道面积为（　　）平方米。

拓展提高 换比例尺　同一场地改用1:500绘图，图上长（　　）厘米。　图上面积相对1:1000的图变成（　　）倍。

拓展提高 检验　图上画得下但实际通道不够，方案能直接采用吗？______　提交设计应同时标注哪些信息？______