概率

九年级下册 第三十四章 概率初步与列举法　从可能性比较到等可能计数，再研究条件概率、分布与数字特征。　这是义务教育阶段唯一系统讲概率的一章。先把事件按会不会发生分成三类，再给随机事件的可能性一个数；随后用列表与树状图把全部结果不重不漏地列出来；最后说明当理论概率算不出时，怎样用大量重复试验的频率去估计它。

34.1 随机事件与概率　必然与不可能：概率分别为 1 与 0。　随机事件：在指定试验条件下可能发生。　古典概型：样本点有限且等可能。　计数求概率：P(A)=m/n。　对立事件：P(bar A)=1-P(A)。

34.2 用列举法求概率　列表法：两步结果用行列组合列举。　树状图：按试验步骤逐层展开。　有序结果：先后次序可能区分样本点。　抽后是否放回：会改变后一步的可选结果。

34.3 用频率估计概率　频率：发生次数除以试验次数。　概率估计：用大量重复试验的频率估计。　随机波动：频率不必单调接近概率。　独立试验：过去结果不改变下一次概率。

常见题型 骰子　掷公平六面骰子，出现偶数的概率为______。　出现 $7$ 点的概率为（　　）。

常见题型 摸球　袋中 $3$ 红 $2$ 蓝，球等质且随机摸一球，摸红球概率为______。　摸非红球概率为______。

常见题型 两次抛币　独立抛公平硬币两次，等可能有序结果共（　　）个。　恰好一次正面的概率为______。

常见题型 频率　试验 $200$ 次成功 $48$ 次，频率为（　　）。　这个频率一定就是理论概率吗？______

拓展提高 两枚骰子　两枚公平骰子独立掷出，点数和为 $7$ 的有序结果有（　　）个。　对应概率为______。

拓展提高 不放回　$3$ 红 $2$ 蓝球中不放回随机摸两球，两球都红的概率为______。　一红一蓝的概率为______。

拓展提高 放回　上题改成每次放回后重新混匀，两球都红的概率为______。　至少一次蓝球的概率为______。

拓展提高 辨析　两骰点数和 $2$ 至 $12$ 共11种，因此每种概率 $1/11$，对吗？______　公平硬币独立抛掷，连续三次正面后，下一次正面概率为______。

必修第二册 第十章 事件、独立性与随机模拟　从可能性比较到等可能计数，再研究条件概率、分布与数字特征。　概率给随机现象一个度量。这一章先用样本空间把一次随机试验的全部结果列清楚，再定义事件的运算与概率；随后讨论两个事件互不影响的情形；最后回到试验，说明频率为什么可以用来估计概率。

10.1 随机事件与概率　样本空间：全部可能结果的集合。　交事件：A 与 B 同时发生。　并事件：A、B 至少一个发生。　互斥：不能同时发生。　对立：互斥且合起来覆盖样本空间。　加法公式：P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)。

10.2 事件的相互独立性　事件独立：P(Acap B)=P(A)P(B)。　独立重复：条件相同，各次互不影响。　互斥与独立：概率均非零的互斥事件不独立。　多事件独立：需检验各子组，非只两两独立。　抽取模型：放回后重新混匀才可建独立模型。

10.3 频率与概率　模拟规则：随机数与结果的映射需匹配概率。　重复试验：保持条件与记录方法一致。　估计误差：样本有限，估计仍会波动。　频率非概率：频率由试验决定，概率由模型决定。

常见题型 事件　掷骰子“1点”与“2点”互斥吗？______　这两事件互为对立吗？______

常见题型 加法公式　$P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A\cap B)=0.2$，则 $P(A\cup B)=$（　　）。　$P(\bar A)=$（　　）。

常见题型 独立　独立事件概率为 $0.4,0.5$，同时发生概率为（　　）。　至少一个发生的概率为（　　）。

常见题型 模拟　等可能数字0至9，规定0、1、2成功，成功概率为（　　）。　模拟 $1000$ 次成功 $312$ 次，成功频率为（　　）。

拓展提高 互斥辨析　两个概率均为 $1/3$ 的互斥事件，同时发生概率为（　　）。　它们相互独立吗？______

拓展提高 重复试验　独立成功率 $0.8$ 的试验重复两次，至少成功一次概率为（　　）。　恰好成功一次的概率为（　　）。

拓展提高 模型条件　放回球后按固定规则挑球，就必然构成独立随机抽样吗？______　多个事件两两独立就必然相互独立吗？______

拓展提高 频率波动　重复次数增加，频率一定每次更接近概率吗？______　模拟规则把4个数字设为成功，却想模拟成功率0.3，规则正确吗？______

选择性必修第三册 第六章 计数原理与二项式定理　从可能性比较到等可能计数，再研究条件概率、分布与数字特征。　古典概型要数样本点，样本点一多就数不清。这一章给出两条最基本的计数原理 —— 分类相加与分步相乘，再由它们导出排列与组合的公式。二项式定理则是组合数的一次直接应用。

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理　分类相加：各类方法都能独立完成任务。　分步相乘：完成任务须依次完成各步。　不重不漏：分类间无交叉且覆盖全部。　混合使用：先理清任务，再分类或分步。

6.2 排列与组合　排列：选出元素后还要考虑次序。　组合：只选择元素，不计次序。　先选后排：A_n^m=C_n^m m!。　组合对称：C_n^m=C_n^n-m。　相邻与不相邻：相邻可捆绑，不相邻可插空。　特殊元素：有限制的元素或位置优先处理。

6.3 二项式定理　二项式定理：(a+b)^n 按组合数展开。　通项：第 r+1 项含 a^n-rb^r。　二项式系数：指组合数 C_n^r。　项的系数：还包括底数中的数值因子。　系数和：合理赋值求和。

常见题型 分类与分步　去同一地点可选 $3$ 条公交路线或 $2$ 条地铁路线，共（　　）种单程选择。　$3$ 件上衣搭 $2$ 条裤子，共（　　）种搭配。

常见题型 排列与组合　$5$ 人选 $2$ 人任不同职务，有（　　）种。　$5$ 人选 $2$ 人组成无职务小组，有（　　）种。

常见题型 组合性质　$C_6^2=$（　　），$C_6^4=$（　　）。　$0!=$（　　）。

常见题型 二项式　$(a+b)^4$ 展开共有（　　）项。　二项式系数之和为（　　）。

拓展提高 限制排列　由0、1、2、3组成无重复数字的三位数，共（　　）个。　四名不同同学排一列，甲乙相邻，共（　　）种。

拓展提高 插空　五名不同同学排一列，甲乙不相邻，共（　　）种。　上题也可用总数减去相邻数，列式为______。

拓展提高 项的系数　$(1+2x)^4$ 中 $x^2$ 的系数为（　　）。　该展开式的各项系数和为（　　）。

拓展提高 常数项　$(x+1/x)^4$ 中常数项为（　　）。　第 $r+1$ 项对应二项式系数是______。

选择性必修第三册 第七章 条件概率与随机变量分布　从可能性比较到等可能计数，再研究条件概率、分布与数字特征。　必修阶段研究的是单个事件的概率。这一章把试验结果映射成数值，于是全部结果的概率可以排成一张分布列，再用期望与方差把这张表压成两个数。二项分布、超几何分布与正态分布是三种最常见的模型。

7.1 条件概率与全概率公式　条件概率：P(Bmid A)=P(Acap B)/P(A)。　乘法公式：P(Acap B)=P(A)P(Bmid A)。　全概率公式：按互斥且完备的情形加权。　独立的等价式：P(A)>0 时，P(Bmid A)=P(B)。

7.2 离散型随机变量及其分布列　随机变量：给每个试验结果对应一个实数。　离散取值：全部取值可以逐一列举。　分布列：列出每个值及对应概率。　检验分布列：概率非负，全部概率和为1。

7.3 离散型随机变量的数字特征　期望：E(X)=sum x_ip_i。　方差：D(X)=sum(x_i-E(X))^2p_i。　标准差：sigma=√(D(X))。　线性期望：E(aX+b)=aE(X)+b。　线性方差：D(aX+b)=a^2D(X)。

7.4 二项分布与超几何分布　伯努利试验：每次只有成功和失败两个结果。　二项分布：固定次数、独立重复、成功率相同。　二项分布均值：E(X)=np，D(X)=np(1-p)。　超几何分布：有限总体中等可能不放回抽样。　抽样范围：成功次数须满足取值上下限。

7.5 正态分布　正态曲线：关于 x=mu 对称，全部面积为1。　位置参数：mu 决定对称轴。　尺度参数：sigma>0，越大曲线越宽。　区间概率：对应曲线下的区域面积。　常用范围：一、二、三倍标准差内约68%、95%、99.7%。　连续型变量：单点概率为0，不是曲线高度。

常见题型 条件概率　$P(A)=0.5,P(A\cap B)=0.2$，则 $P(B\mid A)=$（　　）。　当 $P(A)=0$ 时能直接用比值公式吗？______

常见题型 分布列　X 取0、1、2，概率为 $1/4,1/2,1/4$，期望为（　　）。　方差为______。

常见题型 二项分布　$X\sim B(4,1/2)$，$P(X=2)=$______。　期望为（　　），方差为（　　）。

常见题型 正态分布　$X\sim N(10,4)$，标准差为（　　）。　$P(X>10)=$______。

拓展提高 全概率　甲、乙来源各占 $0.6,0.4$，题设不合格率分别为 $0.02,0.05$，随机一件不合格概率为（　　）。　已知抽到不合格品，来自乙的概率为______。

拓展提高 超几何　$5$ 件中 $2$ 件为目标类，不放回随机抽 $2$ 件，恰好一件目标类的概率为______。　目标类件数的期望为（　　）。

拓展提高 线性变换　$E(X)=2,D(X)=3$，则 $E(2X+1)=$（　　）。　$D(2X+1)=$（　　）。

拓展提高 正态对称　给定 $P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=0.6827$，则 $P(\mu<X<\mu+\sigma)=$（　　）。　连续正态变量恰好等于均值的概率为（　　）。