四边形与多边形

三年级下册 第三单元 长方形与正方形的周长　研究边和角的特点，计算周长，比较拼接前后的周长。　这一单元从多边形讲到周长。周长是围成图形一周的长度，它沿边走而不管里面有多大。长方形与正方形的边有特定的关系，因此周长可以用一个式子算出来，不必逐条边相加。拼图游戏把周长与面积的差别摆到了眼前。

第1节 多边形　多边形：由线段首尾相接围成封闭图形。　长方形的特点：对边相等，四个角都是直角。　正方形的特点：四边相等，四角都是直角。　图形间的关系：正方形是特殊的长方形。

第2节 周长　周长：封闭图形一周的长度。　长方形周长：C=2(a+b)。　正方形周长：C=4a。　周长与面积：周长量边界，面积量内部。

拼图游戏　拼接：重合边变成内部的线。　面积不变：无重叠无空隙拼接，面积相加。　周长变化：周长减少两倍重合边长。　不同拼法：面积相同，周长可以不同。

常见题型 填空。　长方形的（　　）相等，四个角都是（　　）角。　正方形的四条边都（　　）。

常见题型 求周长。　长 $8$ 厘米、宽 $5$ 厘米的长方形，周长是（　　）厘米。　边长 $6$ 米的正方形，周长是（　　）米。

常见题型 反过来求边。　正方形周长 $36$ 厘米，边长是（　　）厘米。　长方形周长 $30$ 米、长 $9$ 米，宽是（　　）米。

常见题型 拼图。两个边长 $4$ 厘米的正方形按图拼接。　拼成的长方形长（　　）厘米、宽（　　）厘米。　拼成图形的周长是（　　）厘米。

拓展提高 周长不变。　长方形的长增加 $2$ 厘米，宽减少 $2$ 厘米，周长（　　）。　长方形的长、宽各增加 $2$ 厘米，周长增加（　　）厘米。

拓展提高 拼法比较。四个边长 $2$ 厘米的正方形。　排成一行，周长为（　　）厘米。　拼成一个大正方形，周长为（　　）厘米。

拓展提高 围栏。长 $10$ 米、宽 $6$ 米的长方形菜地。　若一条长边靠墙，其余三边围栏长（　　）米。　若一条宽边靠墙，其余三边围栏长（　　）米。

拓展提高 重合边。　两块图形原周长之和为 $40$ 厘米，沿长 $5$ 厘米的边完全拼接，新周长为（　　）厘米。　为什么要减去两倍重合边长？______

三年级下册 第四单元 长方形与正方形的面积　由数方格得到面积公式，练习反求边长、单位统一与面积变化。

第2节 长方形和正方形的面积　数方格：每行个数乘行数。　长方形面积：S=ab，长乘宽。　正方形面积：S=a^2，边长乘边长。　已知面积求边：一条边 = 面积 div 另一条边。　计算前统一单位：长、宽先换成相同长度单位。　边长扩大：长宽都乘 2，面积乘 4。

常见题型 计算面积。　长 $9$ 厘米、宽 $4$ 厘米，面积是（　　）平方厘米。　边长 $7$ 米的正方形，面积是（　　）平方米。

常见题型 看方格图。每格面积为 $1$ 平方厘米。　一行有（　　）格，共（　　）行。　面积为（　　）平方厘米。

常见题型 反求边长。　长方形面积 $42$ 平方米，长 $7$ 米，宽是（　　）米。　正方形面积 $64$ 平方厘米，边长是（　　）厘米。

常见题型 统一单位。　长 $2$ 米、宽 $30$ 厘米，面积为（　　）平方厘米。　该长方形周长为（　　）厘米。

拓展提高 面积与周长。　长 $8$、宽 $2$ 与长 $5$、宽 $5$ 的两个长方形，周长都为（　　）。　它们的面积分别为（　　）和（　　）。

拓展提高 边长变化。　正方形边长变为原来的 $3$ 倍，面积变为原来的（　　）倍。　长方形长乘 $2$、宽除以 $2$，面积（　　）。

拓展提高 铺地砖。　长 $6$ 米、宽 $4$ 米的房间，铺边长 $2$ 分米的方砖，不计损耗需（　　）块。　检查结果时应比较房间面积与______。

拓展提高 剪拼。　从长 $8$ 厘米、宽 $5$ 厘米的长方形中剪去最大的正方形，剩余面积是（　　）平方厘米。

四年级上册 第五单元 平行四边形与梯形　按平行的对边组数分类，认识底、高、等腰梯形与直角梯形。

第2节 平行四边形和梯形　平行四边形：两组对边分别平行。　梯形：只有一组对边平行。　等腰梯形：两腰相等的梯形。　直角梯形：有直角的梯形。　四边形的分类：长方形、正方形都是平行四边形。　底和高：高垂直于两条平行边。　易变形：边长固定，角仍可以改变。

常见题型 填空。　平行四边形有（　　）组对边平行，梯形只有（　　）组。　等腰梯形的两条（　　）相等。

常见题型 判断。　正方形也是平行四边形。（　　）　有一组对边平行的四边形一定是梯形。（　　）　平行四边形的斜边就是它的高。（　　）

常见题型 看图找高。底边为 AB。　图中的高是线段（　　）。　高与底所在直线的夹角为（　　）度。

常见题型 动手操作。　画一个梯形，标出上底、下底并画一条高。______

拓展提高 图形关系。　一个四边形既是长方形又四边相等，它是（　　）。　直角梯形中，有（　　）个直角。

拓展提高 变形。　将长方形框架推成斜的平行四边形，周长（　　）。　两组对边是否仍分别平行？______

拓展提高 高的位置。　同一组平行边之间，可以画（　　）条高。　这些高的长度（　　）。

拓展提高 剪一剪。　沿梯形的一条对角线剪开，得到两个什么图形？______　把平行四边形沿一条对角线剪开，两块形状、大小（　　）。

五年级上册 第六单元 多边形的面积　用割补与拼接推导平行四边形、梯形面积，计算组合图形面积。

第1节 平行四边形的面积　割补转化：沿高剪下，平移拼成长方形。　面积公式：S=ah。　底与高对应：所选的高必须垂直于底。　等底等高：等底等高的平行四边形面积相等。　反求底或高：h=Sdiv a，a=Sdiv h。

第3节 梯形的面积　拼成平行四边形：两块全同梯形拼成一个平行四边形。　梯形面积：S=(a+b)hdiv2。　两底之和：新图形的底是原来两底之和。　反求高：高 = 面积 ×2div 两底和。

第4节 组合图形的面积　分割法：分成已知图形，面积相加。　添补法：补成大图形，再减去补上的面积。　补齐长度：用整段减已知段，求缺少的边。　不重不漏：分割不重叠，添补要减回。

常见题型 求面积，单位均为厘米。　平行四边形底 $8$、高 $5$，面积为（　　）平方厘米。　梯形上底 $4$、下底 $8$、高 $3$，面积为（　　）平方厘米。

常见题型 反求。　平行四边形面积 $72$ 平方米、底 $12$ 米，高为（　　）米。　梯形面积 $45$ 平方米，两底和 $15$ 米，高为（　　）米。

常见题型 看图计算 L 形面积，长度单位为厘米。　大长方形面积为（　　）平方厘米。　缺角面积为（　　）平方厘米，L 形面积为（　　）平方厘米。

常见题型 判断。　平行四边形的面积等于相邻两边长度的积。（　　）　梯形面积算完两底和乘高后，还要除以 $2$。（　　）

拓展提高 面积变化。　平行四边形底不变，高变为原来的 $3$ 倍，面积变为原来的（　　）倍。　两个平行四边形面积相等，它们的底和高都相等吗？______

拓展提高 求未知底。　梯形面积 $60$ 平方厘米、高 $5$ 厘米、上底 $8$ 厘米，下底为（　　）厘米。　两底同时增加 $2$ 厘米，高仍为 $5$ 厘米，面积增加（　　）平方厘米。

拓展提高 等积转化。　三角形与平行四边形等底等高，三角形面积为 $18$，平行四边形面积为（　　）。　梯形两底和 $12$、高 $4$，与它等面积且高相同的平行四边形的底为（　　）。

拓展提高 边框。　外框长 $10$ 米、宽 $8$ 米，四周边框宽 $1$ 米，边框面积为（　　）平方米。　不能直接用外周长乘边框宽，是因为______。

八年级下册 第二十一章 多边形与特殊平行四边形　推导多边形角度与对角线公式，证明平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质与判定。　四边形一章的主线是「加条件」：平行四边形加一个直角成为矩形，加一组邻边相等成为菱形，两个条件都加就是正方形。每加一次条件，性质就多一条，判定也多一条。理清这张关系图，全章的结论就不必死记。

21.1 多边形　凸多边形：本节公式按凸多边形讨论。　对角线：连接不相邻两个顶点。　对角线条数：fracn(n-3)2，每条数了两遍。　内角和：分成 n-2 个三角形。　外角和：每个顶点取一个外角，和为 360°。　平面镶嵌：同一点周围的角合为 360°。

21.2 平行四边形　边与角的性质：对边相等，对角相等。　对角线性质：两条对角线互相平分。　用两组对边判定：两组对边分别平行或分别相等。　用一组对边判定：同一组对边平行且相等。　用对角线判定：对角线互相平分。　用两组对角判定：两组对角分别相等。　三角形中位线：平行于第三边，长度等于其一半。　判定中的条件：一组平行、另一组相等不够。

21.3 特殊的平行四边形　矩形：有一个直角的平行四边形。　矩形的判定：平行四边形加对角线相等。　菱形：邻边相等的平行四边形。　菱形的判定：平行四边形加对角线垂直。　正方形：矩形和菱形的性质兼有。　正方形的判定：矩形加邻边相等，或菱形加直角。　菱形面积：两条对角线的积除以 2。　直角三角形斜边中线：斜边上的中线等于斜边的一半。

常见题型 多边形。　八边形内角和为（　　）度，对角线共有（　　）条。　内角和为 $900^\circ$ 的凸多边形有（　　）条边。

常见题型 平行四边形。　一个内角为 $68^\circ$，相邻内角为（　　）度。　对角线 AC、BD 交于 O，若 $AC=12$、$BD=10$，则 $AO=$（　　）、$BO=$（　　）。

常见题型 特殊四边形。　矩形对角线长为 $10$，交点到各顶点的距离为（　　）。　菱形对角线长为 $6$ 和 $8$，面积为（　　）。

常见题型 中位线。D、E 是 AB、AC 的中点，$BC=12$。　$DE=$（　　），$DE$ 与 $BC$（　　）。　若 $AD=4$，则 $AB=$（　　）。

常见题型 判定。　对角线相等的四边形一定是矩形。（　　）　对角线互相平分且垂直的四边形是（　　）。

拓展提高 多边形计数。　一个凸多边形有 $35$ 条对角线，它有（　　）条边。　其内角和为（　　）度。

拓展提高 菱形计算。　菱形两条对角线长为 $6$ 和 $8$，边长为（　　）。　它的周长为（　　）。

拓展提高 中点四边形。依次连接任意四边形四边的中点。　得到的图形一定是（　　）。　原四边形的两条对角线互相垂直时，得到的是（　　）。　原四边形的两条对角线相等时，得到的是（　　）。

拓展提高 证明。ABCD 是平行四边形，E、F 分别为 AB、CD 的中点。　证明 AECF 是平行四边形：写出一组充分的边关系。______　若平行四边形 ABCD 的两条对角线相等且垂直，它是（　　）。

拓展提高 镶嵌。只用同样大小的一种正多边形。　正六边形每个内角 $120^\circ$，一个顶点处拼（　　）个可无缝覆盖。　正五边形每个内角 $108^\circ$，能这样镶嵌平面吗？______

九年级上册 第三十章 正多边形与圆　借助外接圆、边心距与三角形，计算正多边形的中心角、边长和面积。

30.2 正多边形和圆　正多边形：各边相等，各角也相等。　中心与半径：外接圆圆心和半径。　边心距：中心到一边的垂直距离。　中心角：每边所对中心角为 360°/n。　正多边形面积：S=frac12Cr，r 为边心距。　每个内角：每个内角为 (n-2)180°/n。　转化为直角三角形：R^2=r^2+(a/2)^2。

常见题型 中心角与内角。　正六边形每个中心角为（　　）度，内角为（　　）度。　正八边形每个中心角为（　　）度。

常见题型 半径与边心距。图中 O 为中心，OM 垂直于 AB。　线段 OA 叫（　　），OM 叫（　　）。　若 AB 长为 $6$，则 AM 长为（　　）。

常见题型 面积。　正四边形周长 $40$、边心距 $5$，面积为（　　）。　正六边形边长为 $4$，外接圆半径为（　　）。

常见题型 判断。　四条边相等的四边形一定是正四边形。（　　）　正多边形的外接圆与内切圆有相同圆心。（　　）

拓展提高 由角求边数。　正多边形每个外角为 $24^\circ$，边数为（　　）。　正多边形每个内角为 $150^\circ$，边数为（　　）。

拓展提高 正六边形。边长为 $6$。　外接圆半径为（　　），边心距为______。　面积为______。

拓展提高 正方形。外接圆半径为 $5$。　对角线长为（　　），面积为（　　）。　边长为______。

拓展提高 直角三角形关系。正六边形半径 $R=10$，半边长 $a/2=5$。　边心距为______。　周长为 $60$，面积为______。