数量关系

二年级下册 第二单元 数量间的乘除关系　引入「倍」：求一个数是另一个数的几倍、求一个数的几倍是多少，用乘法或除法表示。　倍是本册新增的一种比较方式。它不问相差多少，而问一个数里面有几个另一个数，因此求几倍用除法，求几倍是多少用乘法。三个量里知道两个便能求第三个，这条关系一直用到分数与比。

第1节 倍的认识　倍：6 里有 3 个 2，6 是 2 的 3 倍。　一份：先找出作一份的那个数。　几份就是几倍：另一个数里有几份，就是几倍。　倍与相差：比多少用减法，比几倍看有几份。

第2节 求一个数是另一个数的几倍　用除法：求几倍用除法：12div3=4。　谁作一份：「是谁的几倍」，「的」前面的数作一份。　倍数不带单位：求出的是倍数，后面不写单位。　线段图：一段表示一份，数一数有几段。

第3节 求一个数的几倍是多少　用乘法：求几倍是多少用乘法：3×4=12。　几个几：3 的 4 倍，就是 4 个 3。　画线段图：先画一份，再照着画出几份。　乘还是除：求几倍是多少用乘，求几倍用除。

第4节 连续两问的实际问题　中间量：第一问的得数是第二问的条件。　分两步算：先求出中间量，再求问题。　提问题：看已知的两个量，能求出什么。　补条件：从问题往回想，缺哪个量补哪个。

常见题型 看图填空。　把 $3$ 个 ○ 看作一份，△ 有这样的（　　）份。　△ 的个数是 ○ 的（　　）倍。

常见题型 填一填。　$18$ 是 $6$ 的（　　）倍。　$4$ 的 $5$ 倍是（　　）。　$35$ 是 $7$ 的（　　）倍。　$9$ 的 $3$ 倍是（　　）。

常见题型 比一比，填一填。　$15$ 比 $5$ 多（　　），$15$ 是 $5$ 的（　　）倍。　$24$ 比 $8$ 多（　　），$24$ 是 $8$ 的（　　）倍。　$8$ 的 $3$ 倍是（　　），比 $8$ 多 $3$ 的数是（　　）。

常见题型 看线段图填空。　黄花有（　　）朵。　黄花比红花多（　　）朵。

常见题型 解决问题。　小兰有 $5$ 本故事书，小明的故事书是小兰的 $4$ 倍，小明有（　　）本。　一只鹅重 $6$ 千克，一只鸡重 $2$ 千克，鹅的质量是鸡的（　　）倍。　一根绳子长 $28$ 米，是另一根绳子的 $4$ 倍，另一根绳子长（　　）米。

常见题型 合唱队有男生 $8$ 人，女生人数是男生的 $2$ 倍。　女生有（　　）人。　合唱队一共有（　　）人。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　$12$ 是 $4$ 的 $3$ 倍，也可以说 $12$ 比 $4$ 多 $3$。（　　）　求 $6$ 的 $3$ 倍是多少，用乘法计算。（　　）　「$20$ 是 $5$ 的几倍」，列式为 $5\div20$。（　　）

拓展提高 想一想，填一填。　△ 有 $4$ 个，○ 的个数是 △ 的 $3$ 倍，○ 有（　　）个，○ 比 △ 多（　　）个。　（　　）的 $6$ 倍是 $42$。　$5$ 的（　　）倍是 $45$。

拓展提高 小明有 $4$ 张卡片，小红的卡片是小明的 $2$ 倍，小刚的卡片是小红的 $3$ 倍。看图填空。　小红有（　　）张。　小刚有（　　）张。　小刚的卡片是小明的（　　）倍。

拓展提高 学校买来 $6$ 个足球，买来的篮球比足球多 $12$ 个。　篮球有（　　）个。　篮球的个数是足球的（　　）倍。

拓展提高 妈妈今年 $36$ 岁，是小亮年龄的 $4$ 倍。　小亮今年（　　）岁。　$3$ 年后，妈妈比小亮大（　　）岁。

拓展提高 书架有 $3$ 层，每层放 $9$ 本书，后来又放进 $5$ 本。　书架上原来有（　　）本书。　现在书架上一共有（　　）本书。

拓展提高 摆一摆，填一填。　第一行摆 $3$ 个 ○，第二行摆的个数是第一行的 $5$ 倍，第二行要摆（　　）个。　如果第二行只摆 $12$ 个，那么第二行是第一行的（　　）倍。

四年级上册 第四单元 加法模型和乘法模型　三组常见数量关系集中出现：总量与分量、单价数量与总价、速度时间与路程。　这是新版新增的单元。它把散在各处的数量关系收成两类：加法模型讲总量与分量，乘法模型讲三个量相乘相除的一族关系。单价乘数量得总价、速度乘时间得路程，形式完全相同，认出模型比逐条记住公式更有效。

第1节 总量和分量　加法模型：分量加分量等于总量。　求一个分量：总量减另一个分量。　几个分量：所有分量合起来才是总量。　先求分量：缺的分量先算出来，再求总量。

第2节 单价、数量和总价　单价：一件商品的价钱。　总价：单价乘数量等于总价。　求单价：总价除以数量。　求数量：总价除以单价。

第3节 速度、时间和路程　速度：每小时行的路程，要带时间单位。　路程：速度乘时间等于路程。　求时间：路程除以速度。　求速度：路程除以时间。　同一个乘法模型：速度相当于单价，时间相当于数量。

常见题型 填一填。　单价 $\times$ 数量 $=$（　　）　路程 $\div$ 时间 $=$（　　）　总价 $\div$ 单价 $=$（　　）　总量 $-$ 一个分量 $=$（　　）

常见题型 写出速度。　汽车 $3$ 小时行 $180$ 千米，速度是 ______。　小明 $5$ 分钟走 $350$ 米，速度是 ______。　飞机 $2$ 小时飞行 $1600$ 千米，速度是 ______。

常见题型 看线段图列式计算。　问号表示的量是多少？列式：______　问号部分比已知的那一段多（　　）。

常见题型 解决问题（单价、数量和总价）。　每支钢笔 $15$ 元，买 $8$ 支要多少元？列式：______　买 $6$ 个书包用了 $324$ 元，每个书包多少元？列式：______　妈妈有 $96$ 元，每千克葡萄 $12$ 元，能买几千克？列式：______

常见题型 解决问题（速度、时间和路程）。　一列动车每小时行 $250$ 千米，$4$ 小时行多少千米？列式：______　小红家到学校 $720$ 米，她每分钟走 $60$ 米，要走几分钟？列式：______　一辆货车 $6$ 小时行驶 $420$ 千米，它的速度是多少？列式：______

常见题型 解决问题（总量和分量）。　图书角有故事书 $86$ 本、科技书 $57$ 本，一共多少本？列式：______　果园有果树 $300$ 棵，其中苹果树 $168$ 棵，其余是梨树，梨树有多少棵？列式：______

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　速度 $\times$ 时间 $=$ 路程。（　　）　一辆车每小时行 $80$ 千米，速度写作 $80$ 千米。（　　）　单价不变，买的数量越多，总价越高。（　　）

拓展提高 解决问题（购物）。　足球每个 $65$ 元，排球每个 $38$ 元，买 $3$ 个足球和 $5$ 个排球，一共多少元？列式：______　用 $200$ 元买 $4$ 本词典，每本 $36$ 元，应找回多少元？列式：______

拓展提高 解决问题（行程）。　甲、乙两地相距 $360$ 千米，一辆汽车上午 $8$ 时从甲地出发，每小时行 $60$ 千米，到达乙地时是（　　）时。　小华骑车每分钟行 $240$ 米，从家到图书馆用了 $15$ 分钟；如果步行，每分钟走 $60$ 米，要走（　　）分钟。

拓展提高 看图解决问题。　买 $4$ 本笔记本和 $1$ 盒彩笔，一共（　　）元。　用 $90$ 元买文具盒，最多买（　　）个，还剩（　　）元。　$144$ 元正好能买（　　）盒彩笔。

拓展提高 比一比。　甲车 $3$ 小时行 $210$ 千米，乙车 $4$ 小时行 $260$ 千米，（　　）车快，每小时快（　　）千米。

拓展提高 解决问题（植树）。　三个年级一共植树 $420$ 棵，四年级植 $135$ 棵，五年级比四年级多植 $20$ 棵，六年级植（　　）棵。

拓展提高 下面各题属于哪一种模型？填「加法模型」或「乘法模型」。　每盒 $12$ 支，$5$ 盒一共多少支？（　　）　上午来了 $38$ 人，下午来了 $45$ 人，一共来了多少人？（　　）　每小时行 $15$ 千米，$4$ 小时行多少千米？（　　）　一本书 $90$ 页，看了 $36$ 页，还剩多少页？（　　）

拓展提高 想一想，填一填。　一种商品单价不变，买 $4$ 件用 $128$ 元，买 $7$ 件要（　　）元。　一辆车速度不变，$3$ 小时行 $186$ 千米，$5$ 小时行（　　）千米。

五年级上册 第五单元 用字母表示数量关系　数量关系第一次写成含字母的式子，公式与规律可以用字母概括地表示。

第2节 用字母表示数量关系　表示数量关系：每支 a 元，x 支共 ax 元。　长方形公式：面积 S=ab，周长 C=2(a+b)。　正方形公式：面积 S=a^2，周长 C=4a。　路程：速度 v、时间 t，路程 s=vt。　求式子的值：把字母换成数，算出这一次的结果。　表示规律：按规律变化的量，可用字母概括。

常见题型 用含有字母的式子表示。　长方形长 $a$ 米、宽 $b$ 米，周长是 ______ 米，面积是 ______ 平方米。　正方形边长 $a$ 厘米，周长是 ______ 厘米，面积是 ______ 平方厘米。　汽车每小时行驶 $v$ 千米，$t$ 小时行驶 ______ 千米。　练习本每本 $x$ 元，买 $6$ 本付 $50$ 元，应找回 ______ 元。

常见题型 求式子的值。　当 $a=5$ 时，$3a+2=$ ______。　当 $x=1.5$ 时，$4x-2=$ ______。　当 $a=4$ 时，$a^2=$ ______，$2a=$ ______。　当 $a=6$，$b=4$ 时，$2(a+b)=$ ______。

常见题型 看图填空。长方形的长是 $a$ 厘米，宽是 $5$ 厘米。　长方形的面积是 ______ 平方厘米。　当 $a=8$ 时，面积是（　　）平方厘米，周长是（　　）厘米。

常见题型 正方形桌子一张一张拼成一排，每边坐 $1$ 人。　拼 $5$ 张桌子，可以坐（　　）人。　拼 $n$ 张桌子，可以坐 ______ 人。　要坐 $30$ 人，至少要拼（　　）张桌子。

常见题型 学校买来 $a$ 个篮球，每个 $b$ 元；又买来 $5$ 个足球，每个 $c$ 元。　买篮球共花 ______ 元。　一共花了 ______ 元。　当 $a=4$，$b=120$，$c=90$ 时，一共花了（　　）元。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　$a^2$ 与 $2a$ 表示的意义相同。（　　）　当 $a=2$ 时，$a^2=2a$。（　　）　正方形的周长公式是 $C=a^2$。（　　）　式子 $3x+5$ 中，$x$ 越大，式子的值越大。（　　）

拓展提高 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 $60$ 千米，行驶 $t$ 小时后离乙地还有 $40$ 千米。　甲、乙两地相距 ______ 千米。　当 $t=3$ 时，甲、乙两地相距（　　）千米。

拓展提高 用圆点摆成正方形框，每边摆的个数依次增加。　每边摆 $n$ 个圆点，一共要 ______ 个圆点。　每边摆 $10$ 个圆点，一共要（　　）个圆点。

拓展提高 公园门票成人每张 $a$ 元，儿童票是成人票价的一半。　$2$ 个成人带 $3$ 个儿童买票，要 ______ 元。　当 $a=40$ 时，要（　　）元。

拓展提高 一个长方形长 $a$ 厘米，宽比长少 $3$ 厘米。　宽是 ______ 厘米。　周长是 ______ 厘米。　当 $a=10$ 时，面积是（　　）平方厘米。

拓展提高 一个两位数，十位上的数字是 $a$，个位上的数字是 $b$。　这个两位数是 ______。　交换十位与个位上的数字，得到的两位数是 ______。

六年级上册 第五单元 百分数的应用　用百分数表示两个量之间的关系：求百分率、求一个数的百分之几是多少。

第2节 百分数的应用　百分率：部分量除以总量，再乘 100%。　求一个数的百分之几：用乘法：总量乘百分率。　多百分之几：多出的量除以标准量。　少百分之几：比谁少，就除以谁。　已知百分之几求整体：已知部分量与百分率，用除法。　折扣：几折就是原价的百分之几十。

常见题型 求百分率。　某班有 $40$ 人，今天出勤 $38$ 人，出勤率是（　　）。　抽查 $250$ 个零件，合格 $240$ 个，合格率是（　　）。　栽树 $120$ 棵，成活 $108$ 棵，成活率是（　　）。　把 $20$ 克盐放入 $80$ 克水中，盐占盐水的（　　）。

常见题型 求一个数的百分之几是多少。　$400$ 的 $25\%$ 是（　　）。　$60$ 米的 $35\%$ 是（　　）米。　一本书 $180$ 页，已经看了 $40\%$，看了（　　）页，还剩（　　）页。

常见题型 求一个数比另一个数多（少）百分之几。　$25$ 比 $20$ 多（　　）。　$20$ 比 $25$ 少（　　）。　一件商品原价 $50$ 元，现价 $45$ 元，降价（　　）。

常见题型 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。　一个数的 $30\%$ 是 $45$，这个数是（　　）。　小明已存钱 $240$ 元，占计划的 $80\%$，计划存（　　）元。

常见题型 看图填空。甲地的面积是 $120$ 平方米，乙地比甲地多 $25\%$。　乙地比甲地多（　　）平方米。　乙地的面积是（　　）平方米。

常见题型 折扣问题。　一件上衣原价 $300$ 元，打八折出售，现价（　　）元。　一双鞋打七五折后售价 $150$ 元，原价（　　）元。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　合格率可能大于 $100\%$。（　　）　甲比乙多 $20\%$，乙就比甲少 $20\%$。（　　）　一件商品先降价 $10\%$，再提价 $10\%$，价格不变。（　　）　百分数后面不能带单位名称。（　　）

拓展提高 连续变化问题。　一种商品先提价 $20\%$，再降价 $20\%$，现价是原价的（　　）。　某校去年有学生 $1200$ 人，今年比去年增加 $5\%$，今年有学生（　　）人。

拓展提高 求单位「1」的量。　一台电视机现价 $2400$ 元，比原价降低了 $20\%$，原价（　　）元。　某厂十月用电 $3600$ 千瓦时，比九月节约 $10\%$，九月用电（　　）千瓦时。

拓展提高 含糖率。　把 $10$ 克糖放入 $40$ 克水中，糖水的含糖率是（　　）。　在这杯糖水里再加入 $50$ 克水，含糖率变为（　　）。

拓展提高 看图填空。一个百格图中，暖色涂了 $36$ 格，冷色涂了 $24$ 格，其余空白。　暖色部分占（　　），冷色部分占（　　），空白部分占（　　）。　暖色部分比冷色部分多（　　）。

拓展提高 选择购买方案。一件衣服标价 $120$ 元，甲商店打八折出售，乙商店「每满 $100$ 元减 $25$ 元」。　在甲商店买要付（　　）元，在乙商店买要付（　　）元，在（　　）商店买更省钱。

拓展提高 成数问题。　今年小麦产量比去年增产二成，去年产小麦 $500$ 吨，今年产小麦（　　）吨。　某景区今年游客人数比去年减少一成五，去年有游客 $2$ 万人，今年有游客（　　）万人。

拓展提高 判断。对的画 √，错的画 ×。　一个数先增加 $25\%$，再减少 $25\%$，结果比原数小。（　　）　甲数是乙数的 $125\%$，乙数就比甲数少 $20\%$。（　　）　某种子的发芽率是 $98\%$，说明任意 $100$ 粒这种种子一定有 $98$ 粒发芽。（　　）

六年级下册 第二单元 折扣、税率与利率　百分数进入日常经济生活：折扣、成数、税率与利率，都是求一个数的百分之几。　这一单元把百分数用到生活里。折扣与成数是同一件事的两种叫法，都是求原价的百分之几十；税率与利率则要注意乘的是哪一个量 —— 利息要乘本金、利率与时间三项，漏掉任何一项都算不对。

第1节 折扣和成数　折扣：几折就是十分之几，即百分之几十。　八五折：八五折是原价的 85%。　便宜了多少：打八折，便宜的是原价的 20%。　成数：几成就是十分之几，三成即 30%。　增产几成：增产二成，今年是去年的 120%。　求原价：现价除以折扣，得原价。

第2节 税率和利率　应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额。　税率：应纳税额与收入的比率叫税率。　本金：存入银行的钱叫本金。　利率：单位时间内利息与本金的比率。　利息：利息 = 本金 × 利率 × 存期。　取回的钱：到期取回的是本金加利息。

常见题型 填空。　八折表示现价是原价的 ______。　七五折表示现价是原价的 ______。　现价是原价的 $90\%$，就是打（　　）折。　打六折，便宜了原价的 ______。

常见题型 算一算。　一件衣服原价 $300$ 元，打八折后售价 ______ 元。　一台电风扇原价 $240$ 元，打七五折出售，便宜了 ______ 元。　一本书打八五折后售价 $17$ 元，原价 ______ 元。

常见题型 成数。　某村去年小麦产量 $500$ 吨，今年增产二成，今年产量是 ______ 吨。　今年苹果比去年减产一成五，今年产量是去年的 ______。　某景区今年游客人数比去年增加三成，今年人数是去年的 ______。

常见题型 税率。　某饭店十月份营业额 $20$ 万元，按营业额的 $5\%$ 缴纳税款，应纳税 ______ 万元。　李叔叔得到稿费 $4000$ 元，扣除 $800$ 元后按 $14\%$ 缴税，应纳税 ______ 元。

常见题型 利率。　王阿姨把 $10000$ 元存入银行，定期两年，年利率 $2.25\%$，到期可得利息 ______ 元。　到期时王阿姨一共可以取回 ______ 元。　$5000$ 元存三年定期，年利率 $2.75\%$，到期可得利息 ______ 元。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　打八折就是便宜了 $80\%$。（　　）　增产三成，就是今年比去年多 $30\%$。（　　）　本金与利率相同时，存期越长，利息越多。（　　）　一件商品先涨价 $10\%$ 再打九折，现价与原价相同。（　　）

常见题型 妈妈要买 $4$ 件同样的 T 恤，两家商店的标价都是每件 $80$ 元，优惠办法如图。　在甲店买，要 ______ 元。　在乙店买，要 ______ 元。　在（　　）店买更省钱。

拓展提高 一件商品先提价 $20\%$，再打八折出售。　现价是原价的 ______。　如果原价是 $500$ 元，现价是（　　）元。

拓展提高 一件外衣标价 $260$ 元。甲商场「每满 $200$ 元减 $50$ 元」，乙商场一律打八折。　在甲商场买要付（　　）元，在乙商场买要付（　　）元。　在（　　）商场买更便宜。

拓展提高 求原价。　一种商品降价 $15\%$ 后售价 $102$ 元，原价是 ______ 元。　一台电脑打九折出售，便宜了 $450$ 元，原价是 ______ 元。

拓展提高 张叔叔存了一笔三年定期，年利率 $2.75\%$，到期得到利息 $825$ 元。　张叔叔存入的本金是 ______ 元。　到期一共取回 ______ 元。

拓展提高 成数。　某果园今年苹果比去年增产二成，今年产量 $360$ 吨，去年产量是 ______ 吨。　某种作物今年比去年减产一成，今年产量 $270$ 吨，去年产量是 ______ 吨。

拓展提高 某商店六月份营业额是 $80$ 万元，按营业额的 $3\%$ 缴纳税款。　应纳税 ______ 万元。　缴纳税款后，营业额还剩 ______ 万元。

六年级下册 第四单元 比例　两个比相等组成比例，比例的基本性质是两个内项之积等于两个外项之积。

第1节 比例的意义和基本性质　比：两个数相除，又叫两个数的比。　比例：表示两个比相等的式子叫比例。　外项与内项：两端的是外项，中间的是内项。　基本性质：两个外项之积等于两个内项之积。　能否组成比例：比值相等，就能组成比例。　解比例：已知三项，求出另一个未知项。

常见题型 下面每组中的两个比能否组成比例？能的填「能」，不能的填「不能」。　$6:9$ 和 $2:3$（　　）　$0.5:0.2$ 和 $5:2$（　　）　$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}$ 和 $3:2$（　　）　$4:5$ 和 $5:4$（　　）

常见题型 填空。　在比例 $3:5=12:20$ 中，外项是 ______，内项是 ______。　如果 $a:b=2:3$，那么 $3a=$ ______。　在一个比例中，两个外项的积是 $24$，一个内项是 $6$，另一个内项是（　　）。

常见题型 解比例。　$x:6=2:3$，$x=$ ______　$\frac{x}{12}=\frac{5}{6}$，$x=$ ______　$0.4:x=1.2:3$，$x=$ ______　$\frac{3}{4}:x=\frac{1}{2}:6$，$x=$ ______

常见题型 根据 $3\times 8=4\times 6$ 写比例。　写出两个比例：______、______。

常见题型 看图填空。甲长 $6$ 厘米、宽 $4$ 厘米，乙长 $9$ 厘米、宽 $6$ 厘米。　甲的长与宽的比化简后是（　　），乙的是（　　）。　用两个长方形长与宽的比组成比例：______。

常见题型 一种饮料由果汁和水按 $1:4$ 配成。　用 $60$ 毫升果汁，需要水（　　）毫升。　要配 $500$ 毫升这种饮料，需要果汁（　　）毫升。

拓展提高 用 $2$、$3$、$4$、$6$ 这四个数组成比例。　写出两个比例：______、______。

拓展提高 想一想，填一填。　如果 $5a=3b$（$a$、$b$ 均不为 $0$），那么 $a:b=$ ______，$b:a=$ ______。　已知 $a:b=3:4$，$b:c=2:5$，那么 $a:b:c=$ ______。

拓展提高 解比例。　$\frac{2.4}{x}=\frac{0.6}{0.5}$，$x=$ ______　$\frac{x-1}{4}=\frac{3}{2}$，$x=$ ______　$3:(x+2)=1:4$，$x=$ ______

拓展提高 根据比例的基本性质填空。　一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是 $\frac{2}{5}$，另一个外项是（　　）。　在一个比例中，两个外项的积是 $1$，一个内项是 $0.25$，另一个内项是（　　）。

拓展提高 判断。对的画 √，错的画 ×。　$\frac{1}{3}:\frac{1}{4}$ 和 $4:3$ 能组成比例。（　　）　比例的两个外项交换位置，比例仍然成立。（　　）　如果 $a:b=c:d$，那么 $a:d=b:c$。（　　）