集合与逻辑

必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语　集合的概念、关系与运算，以及充分条件、必要条件与全称量词、存在量词。　高中数学的第一课不讲新的计算，讲的是表达方式。初中说「所有大于 2 的数」，高中写成一个集合；初中说「因为…所以…」，高中要分清哪一步是充分、哪一步是必要。这一章给出的是后面四册通用的语言。

1.1 集合的概念　集合与元素：确定的对象组成的整体叫集合。　确定性：给定对象在不在集合里，必须能判定。　互异性与无序性：元素不重复，顺序无关。　属于与不属于：元素与集合之间用 in、notin。　列举法与描述法：有限个可列举，无穷多个写条件。　常用数集：mathbfN、mathbfN^*、mathbfZ、mathbfQ、mathbfR 依次扩大。

1.2 集合间的基本关系　子集：A 的元素都属于 B，记 Asubseteq B。　真子集：Asubseteq B 且 B 中另有元素。　集合相等：互相包含，则 A=B。　空集：varnothing 是任何集合的子集。　子集的个数：n 个元素的集合有 2^n 个子集。

1.3 集合的基本运算　交集：既属于 A 又属于 B 的元素。　并集：属于 A 或属于 B 的元素。　全集：所研究问题的全部元素，记作 U。　补集：全集中不属于 A 的元素。　数轴上求交并：画在数轴上，端点看等号。

1.4 充分条件与必要条件　充分条件：p⇒ q，则 p 是 q 的充分条件。　必要条件：p⇒ q，则 q 是 p 的必要条件。　充要条件：p⇔ q，两者互相推出。　集合视角：范围小的推出范围大的。

1.5 全称量词与存在量词　全称量词：「所有」「任意」，记作 forall。　存在量词：「存在」「至少有一个」，记作 exists。　全称命题的否定：改成存在，结论取反。　存在命题的否定：改成任意，结论取反。

常见题型 集合的概念与表示。　用列举法表示 $\{x\in\mathbf{N}\mid x<4\}=$ ______。　用列举法表示方程 $x^2-3x+2=0$ 的解集：______。　用描述法表示所有偶数组成的集合：______。　$-\frac{1}{2}$（　　）$\mathbf{Z}$，$\sqrt{2}$（　　）$\mathbf{Q}$，$0$（　　）$\mathbf{N}$。（填「$\in$」或「$\notin$」）

常见题型 集合间的基本关系。　集合 $\{a,b,c\}$ 的子集有（　　）个，真子集有（　　）个。　用「$\subsetneqq$」或「$=$」填空：$\{1\}$（　　）$\{1,2\}$，$\varnothing$（　　）$\{0\}$，$\{x\mid x^2=1\}$（　　）$\{-1,1\}$。　已知 $A=\{1,3,a\}$，$B=\{1,a^2\}$，且 $B\subseteq A$，则 $a=$ ______。

常见题型 集合的运算。已知 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,4,6\}$。　$A\cap B=$ ______。　$A\cup B=$ ______。　$\complement_U A=$ ______。　$(\complement_U A)\cap B=$ ______。　$\complement_U(A\cup B)=$ ______。

常见题型 借助数轴求交集、并集与补集。已知 $A=\{x\mid -1\le x<3\}$，$B=\{x\mid x>1\}$，全集为 $\mathbf{R}$。　$A\cap B=$ ______。　$A\cup B=$ ______。　$\complement_{\mathbf{R}}A=$ ______。

常见题型 用 $A$、$B$ 与补集的记号表示下图中的阴影部分。　图（1）的阴影部分：______。　图（2）的阴影部分：______。　图（3）的阴影部分：______。

常见题型 判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件（填「充分不必要」「必要不充分」「充要」或「既不充分也不必要」）。　$p$：$x>2$，$q$：$x>1$。（　　）　$p$：$x^2=1$，$q$：$x=1$。（　　）　$p$：两个三角形全等，$q$：两个三角形的三边对应相等。（　　）　$p$：$a>b$，$q$：$a^2>b^2$。（　　）　$p$：$x=0$，$q$：$xy=0$。（　　）

常见题型 写出下列命题的否定，并判断否定的真假。　$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^2+1>0$。否定：______，是（　　）命题。　$\exists x\in\mathbf{R}$，$x^2-2x+3=0$。否定：______，是（　　）命题。　所有的正方形都是矩形。否定：______，是（　　）命题。

拓展提高 由元素的互异性求参数。　已知 $A=\{a+2,\ (a+1)^2,\ a^2+3a+3\}$，且 $1\in A$，则 $a=$ ______。　若 $\left\{1,\ a,\ \frac{b}{a}\right\}=\{0,\ a^2,\ a+b\}$，则 $a^{2025}+b^{2025}=$ ______。

拓展提高 由集合关系求参数的取值范围。已知 $A=\{x\mid -2\le x\le 5\}$，$B=\{x\mid m+1\le x\le 2m-1\}$。　若 $B\subseteq A$，则 $m$ 的取值范围是 ______。　若 $A\cap B=\varnothing$，则 $m$ 的取值范围是 ______。

拓展提高 子集与运算。　满足 $\{1,2\}\subsetneqq M\subseteq\{1,2,3,4,5\}$ 的集合 $M$ 有（　　）个。　已知 $A=\{x\mid x^2-5x+6=0\}$，$B=\{x\mid ax-1=0\}$，若 $A\cup B=A$，则 $a$ 的所有取值组成的集合是 ______。

拓展提高 某班 $40$ 名同学中，参加数学小组的有 $20$ 人，参加物理小组的有 $15$ 人，两个小组都参加的有 $6$ 人。　只参加数学小组的有（　　）人。　至少参加一个小组的有（　　）人。　两个小组都没有参加的有（　　）人。

拓展提高 由充分条件、必要条件求参数。已知 $p$：$-2\le x\le 10$，$q$：$1-m\le x\le 1+m$（$m>0$）。　若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则 $m$ 的取值范围是 ______。　若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则 $m$ 的取值范围是 ______。

拓展提高 含量词命题的真假与参数。　若命题「$\exists x\in\mathbf{R}$，$x^2+2x+a\le 0$」是假命题，则 $a$ 的取值范围是 ______。　若命题「对任意 $1\le x\le 2$，都有 $x^2-a\ge 0$」是真命题，则 $a$ 的取值范围是 ______。

拓展提高 判断。对的画 √，错的画 ×。　$\varnothing\subsetneqq\{0\}$。（　　）　若 $A\cap B=A$，则 $A\subseteq B$。（　　）　「$x>1$」是「$x>2$」的充分条件。（　　）　命题「所有的质数都是奇数」的否定是「所有的质数都不是奇数」。（　　）　含有 $n$ 个元素的集合有 $2^n-1$ 个非空子集。（　　）