立体图形与空间几何

三年级上册 第一单元 观察物体与展开图　从前面、上面、左面观察，尝试折叠正方体展开图。　这一单元讲的是视角。站在不同位置看同一个物体，看到的形状不同；把看到的画成平面图，就得到从前面、上面、侧面看的三个图。展开图则是反过来：把立体的表面摊平，再想它折回去是什么样。

第1节 从不同位置观察物体　观察方向：先确定前面、上面和左面。　从前面看：同一列前后的方块会遮挡。　从上面看：有方块的位置画一格。　从左面看：按前后位置比较最高层数。　一个方向不够：同一幅图可能对应不同摆法。

第2节 展开图的奥秘　展开图：沿部分棱剪开，把表面摊平。　相对面：折回后，面对面且不共棱。　相邻面：折回后，有一条公共棱。　判断能否折成：折回后六面齐全且不重叠。

常见题型 看积木图。　共有（　　）个小正方体。　从上面看有（　　）个小正方形。

常见题型 前视图。左列最高 $2$ 层，右列最高 $1$ 层。　从前面看到（　　）个小正方形。　这一定说明总共只有三个方块吗？______

常见题型 编号展开图。　与 3 号面相对的是（　　）号面。　与 1 号面相对的是（　　）号面。

常见题型 判断。　六个正方形连成一排一定能折成正方体。（　　）　正方体相对的面不共棱。（　　）

拓展提高 增加一块。图中前排为 $2,1$ 层，后排为 $1,0$ 层。　在后排右边加一块，从前面看到的形状（　　）。　从上面看到的格数变为（　　）。

拓展提高 编号展开图。　与 2 号面相对的是（　　）号面。　与 3 号面相邻的面共有（　　）个。

拓展提高 摆一摆。　两个方块前后紧挨摆放，从前面看可能只有（　　）个正方形。　这两个方块从上面看有（　　）个正方形。

拓展提高 说明理由。　能把“展开图上隔一格”作为寻找相对面的唯一方法吗？______

四年级下册 第二单元 观察组合体　比较不同摆法的视图，理解遮挡与方块数量。　这一单元由观察单个物体推进到观察由几个正方体拼成的组合体。同一个组合体从不同方向看形状不同；反过来，同一个方向看到的形状可能对应多个不同的组合体。这两句话正是本单元的全部结论。

第1节 从不同方向观察组合体　相同前视图：后方添块，前视图可能不变。　补充上视图：上视图能补充前后位置。　方向对应：画图前先标清前后和左右。　遮挡与数量：看到的格数不等于方块总数。

常见题型 看图。前排 $2,1$ 层，后排 $1,1$ 层。　共（　　）个方块，上视图有（　　）格。　前视图左列（　　）层、右列（　　）层。

常见题型 左面观察。　同一排左右有遮挡时，按该排的（　　）层数画。　图中前排最高（　　）层，后排最高（　　）层。

常见题型 判断。　同一前视图只能对应一种摆法。（　　）　增加一个被遮住的方块，前视图可能不变。（　　）

常见题型 摆法比较。　从上面看能知道哪些位置有方块，但一定知道每处多高吗？______

拓展提高 删除一块。仍看题图。　去掉后排右边的一块，前视图（　　）。　上视图格数减少（　　）。

拓展提高 补充信息。　两种摆法前视图相同、上视图不同，应再从哪个方向看？______　只给一个方向，不限制前后深度，能确定最多用几个方块吗？______

拓展提高 层数图。前排 $1,2$ 层，后排 $2,1$ 层。　共有（　　）块。　前视图两列最高都是（　　）层。

拓展提高 解释。　为什么不能把三个视图的格数相加当作方块数？______

五年级上册 第一单元 组合体的三向观察　用层数图与三向视图检验摆法，认识相同三视图也可能不唯一。　这一单元把三年级的观察物体推进一步：由看单个物体变成看几块拼起来的组合体，并且要从三视图反推摆法。只给一个方向的图往往对应多种摆法，三个方向合起来才定得下来，这正是本单元最值得记住的一点。

第1节 从三个方向观察组合体　组合体与三视图：按列、排的最高层数作图。　三视图也可能不唯一：相同三视图，数量可以不同。　用层数表示：每个位置的数字表示堆叠层数。　逐方向核对：摆好后逐一核对三个方向。

常见题型 层数图。行从前向后，列从左向右。　方块总数为（　　）。　前视图有（　　）格，左视图有（　　）格。

常见题型 从上面看。　题图有（　　）个位置堆了方块。　同一位置的方块垒高，上视图占格数会增加吗？______

常见题型 判断。　三视图相同，方块总数一定相同。（　　）　只看上视图，就能确定每列的高度。（　　）

常见题型 核对。　前视图每列高度，应取这一列前后方块的（　　）高度。

拓展提高 另一种摆法。前排 $2,2$ 层，后排 $1,2$ 层。　共（　　）块。　与题图三个方向的视图是否相同？______

拓展提高 继续增加。上视图四个位置，前、左视图都为两列两层。　最多可用（　　）块。　最少可用（　　）块，各位置都必须有方块。

拓展提高 理由。　为什么最少数不是 $4$？______

拓展提高 补充条件。　给出每个位置的层数后，方块数是否能确定？______

五年级下册 第一单元 由视图反推摆法　在给定条件下还原摆法，讨论最少与最多方块数。　这一单元由画视图转到反推立体。只给一个方向的图，摆法有很多种；给出两个方向就少了许多；三个方向合起来往往能定下来，但仍有例外。动手摆一摆再核对三张图，是最可靠的办法。

第1节 由视图反推摆法　前视图约束：每列至少达到规定高度。　上视图约束：确定有方块的位置。　求最少方块：满足各方向要求后再减少。　求最多方块：每处不超过所在行列的上限。　还原后核验：三个方向都满足才算可行。

常见题型 读层数图。　总数为（　　）块。　上视图有（　　）格。

常见题型 前视图约束。两列高度为 $2,1$。　左列各位置的高度最多为（　　），右列最多为（　　）。　左列至少有一处高为（　　）。

常见题型 判断。　某处上视图为空，该处还能有方块。（　　）　求最少数时，可以只管前视图。（　　）

常见题型 核验。　摆完后要检查几个约定的观察方向？______

拓展提高 数量范围。上视图为满的 $2\times2$ 方格，前、左视图均为两列两层。　最少（　　）块，最多（　　）块。　前排 $2,1$，后排 $1,2$ 是最少摆法吗？______

拓展提高 新的条件。上视图仍为四格，前视图两列为 $2,1$，左视图两排均为 $2$ 层。　左列前后两处都必须为（　　）层。　总数只能为（　　）块。

拓展提高 不限制进深。只给前视图两列两层。　最少可用（　　）块。　能确定最多块数吗？______

拓展提高 解释。　为何最大高度不能只按前视图决定？______

五年级下册 第三单元 长方体与正方体　计算棱长、表面积、体积与容积，处理拼接、切分与排水。　测量第一次由平面走向立体。表面积算的是六个面的总面积，用于「包一包、刷一刷」；体积算的是所占空间的大小，用于「装一装、堆一堆」。两者的单位不同，公式也不同。容积与体积算法相同，但从里面量。

第1节 长方体和正方体的认识　面：六个面，相对面完全相同。　棱：十二条棱，分三组各四条。　顶点：共有八个顶点。　棱长总和：4(a+b+c)。　正方体：长、宽、高相等的长方体。

第2节 表面积　展开求面积：六个面的面积相加。　长方体表面积：S=2(ab+ac+bc)。　正方体表面积：S=6a^2。　无盖容器：按实际露出的面计算。　拼接后的表面积：减去两份完全重合的面。

第3节 体积和容积　体积的含义：物体所占空间的大小。　长方体体积：V=abc=Sh。　正方体体积：V=a^3。　容积：按容器内部尺寸计算。　体积与容量单位：1text dm^3=1text L。　排水求体积：完全浸没时，排水体积等于物体体积。

常见题型 长方体长 $5$ 厘米、宽 $3$ 厘米、高 $2$ 厘米。　棱长总和为（　　）厘米。　表面积为（　　）平方厘米，体积为（　　）立方厘米。

常见题型 正方体棱长 $4$ 厘米。　表面积为（　　）平方厘米。　体积为（　　）立方厘米。

常见题型 无盖盒。内部长 $5$ 分米、宽 $4$ 分米、高 $3$ 分米。　容积为（　　）升。　不计厚度，做这个无盖盒需材料（　　）平方分米。

常见题型 单位。　$2$ 立方分米等于（　　）立方厘米。　$3500$ 毫升等于（　　）升。

常见题型 看拼接图。两块棱长 $2$ 厘米的正方体整面贴合。　总体积为（　　）立方厘米。　表面积为（　　）平方厘米。

拓展提高 反求。长方体体积 $120$，底面积 $24$。　高为（　　）。　正方体棱长总和 $36$，体积为（　　）。

拓展提高 体积变化。　正方体棱长变为原来的 $2$ 倍，表面积变为（　　）倍，体积变为（　　）倍。　长方体长乘 $2$、宽除以 $2$、高不变，体积（　　）。

拓展提高 排水。容器底面积 $100$ 平方厘米，物体完全浸没后水面升高 $3$ 厘米，水未溢出。　物体体积为（　　）立方厘米。　若物体吸水，能直接这样测吗？______

拓展提高 切开。棱长 $4$ 厘米的正方体，平行一个面切成两个长方体。　总体积（　　）。　表面积之和增加（　　）平方厘米。

拓展提高 内外尺寸。壁厚和底厚均为 $1$ 厘米的无盖长方体盒，外长 $12$、外宽 $10$、外高 $9$ 厘米。　内部尺寸为长（　　）、宽（　　）、高（　　）厘米。　容积为（　　）立方厘米。

六年级下册 第三单元 圆柱与圆锥　理解侧面展开与体积转化，计算圆柱、圆锥的面积和体积。　由平面的圆走向立体。圆柱的侧面展开是一个长方形，长等于底面周长、宽等于高，表面积由此算出。体积仍靠转化：把圆柱切拼成近似的长方体，底面积乘高。圆锥的体积是等底等高圆柱的三分之一，那个三分之一是本单元最容易漏掉的一处。

第1节 圆柱的认识和表面积　圆柱的底与高：两底面平行且相同，高是底面间距离。　侧面展开：长为底面周长，宽为高。　圆柱侧面积：S_侧=2π rh。　圆柱表面积：S=2π rh+2π r^2。　无盖与无底：按实际存在的底面数计算。

第2节 圆柱的体积　圆柱切拼：切拼保留底面积和高。　圆柱体积：V=π r^2h=Sh。　反求高：h=Vdiv S。　已知底面周长：先求 r=C/(2π)。　排水与水面升高：V_排=S_底Delta h。

第3节 圆锥的体积　圆锥的高：顶点到底面圆心的距离。　等底等高：圆锥体积是圆柱的三分之一。　圆锥体积：V=frac13π r^2h。　反求圆锥高：h=3V/S。　比较前看条件：底面积与高都相同才能直接比。

常见题型 圆柱。半径 $2$ 厘米、高 $5$ 厘米。　侧面积为______，表面积为______平方厘米。　体积为______立方厘米。

常见题型 无盖圆柱容器。半径 $3$、高 $4$，忽略厚度。　表面积为______。　容积为______。

常见题型 圆锥。半径 $3$、高 $4$。　底面积为______，体积为______。　等底等高圆柱的体积为______。

常见题型 反求。　圆锥体积 $30$、底面积 $15$，高为（　　）。　圆柱体积 $30$、底面积 $15$，高为（　　）。

常见题型 判断。　圆锥体积永远是任意圆柱的三分之一。（　　）　求圆柱侧面积用底面周长乘高。（　　）

拓展提高 已知底面周长。圆柱底面周长 $6\pi$，高 $4$。　半径为（　　），体积为______。　表面积为______。

拓展提高 熔铸。半径 $3$、高 $4$ 的圆柱熔成等底圆锥，无损耗。　体积（　　）。　圆锥高为（　　）。

拓展提高 水面变化。底面积为 $50$ 的圆柱形容器内，完全浸没一个体积 $150$ 的不吸水物体，水未溢出。　水面升高（　　）。　若改放体积 $100$ 的物体，升高（　　）。

拓展提高 比例。　圆锥半径扩大到 $2$ 倍、高不变，体积扩大到（　　）倍。　圆柱与圆锥体积、底面积都相等，圆锥高是圆柱高的（　　）倍。

拓展提高 切开。圆柱半径 $2$、高 $5$，沿经过轴的平面切成两半。　新增的两个截面面积之和为（　　）。　两块总体积（　　）。

七年级上册 第六章 点线面体与几何表示　联系点线面体，区分视图、展开图与截面。

6.1 几何图形　平面与立体：平面图形各点都在同一平面内。　点线面体：运动的轨迹可以形成线、面、体。　平面与曲面：多面体的面是平面多边形。　展开与折叠：检验各面能否无重叠地围成。　从不同方向看：立体图形可以有不同的平面视图。

常见题型 分类。　长方体属于（　　）面体。　圆柱有曲面吗？______

常见题型 点线面体。　笔尖沿直线移动，可看作点动成（　　）。　长方形纸片沿垂直于纸面的方向平移，扫过的空间可形成（　　）。

常见题型 圆柱三视图。轴竖直放置。　主视图为（　　），俯视图为（　　）。　侧面展开后通常得到（　　）。

常见题型 展开图。　图中 3 号面的相对面是（　　）号面。　相对面的关系能只凭纸面上的远近判断吗？______

拓展提高 旋转成体。　长方形绕一条边所在直线旋转一周，得到（　　）。　直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，得到（　　）。

拓展提高 截面。　用平面截球，非相切时截面是（　　）。　用平面平行圆柱底面截圆柱，截面是（　　）。

拓展提高 判断。　看到的轮廓是正方形，就一定是正方体。（　　）　圆锥侧面能沿母线展开成一个扇形。（　　）

拓展提高 说明区别。　展开图与视图有什么不同？______

九年级下册 第三十三章 投影与三视图　研究平行投影、中心投影与正投影，由三视图进行判断和计算。　这一章把立体图形与平面图形来回转换：投影解释影子是怎样形成的，三视图则规定了从三个方向看到的图形怎样摆放。由几何体画三视图与由三视图还原几何体，是两个方向的练习。

33.1 投影　平行投影：投射线互相平行。　中心投影：投射线交于同一点。　正投影：投射线垂直于投影面。　同光线下测高：同一水平面上，同方向竖杆用相似比。

33.2 三视图　三视图名称：主视图、左视图、俯视图。　对应规则：长对正、高平齐、宽相等。　不可见轮廓：需要表达的不可见轮廓用虚线。　圆锥的三视图：轴竖直时，正面为等腰三角形。　视图还原：结合尺寸和结构核验，未必唯一。

常见题型 投影类型。　太阳光照射形成的影子可近似看作（　　）投影。　点光源照射形成的是（　　）投影。

常见题型 三视图规则。　主视图与俯视图（　　）对正。　主视图与左视图（　　）平齐，左视图与俯视图（　　）相等。

常见题型 圆锥。轴竖直放置。　主视图为（　　），俯视图为（　　）。　图中不可见且需要表达的轮廓应画（　　）线。

常见题型 长方体的三视图显示长 $4$、宽 $3$、高 $2$。　体积为（　　）。　表面积为（　　）。

拓展提高 测高。同一时刻，同一水平地面上，竖直标杆高 $1.5$ 米、影长 $2$ 米，树影长 $8$ 米。　树高为（　　）米。　使用的依据是对应三角形（　　）。

拓展提高 由视图计算。圆柱主视图宽 $6$、高 $4$，俯视图为圆。　底面半径为（　　）。　体积为______。

拓展提高 圆锥主视图底边为 $6$、高为 $4$。　母线长为（　　）。　全面积为______。

拓展提高 不唯一的情况。　三视图都相同，就一定是完全相同的几何体吗？______　还原时还应结合______。

必修第二册 第八章 立体几何初步　认识柱锥台球，作直观图，计算表面积和体积，证明空间平行与垂直。　平面几何的许多结论到了空间就不再成立。这一章先认识几类基本几何体，再用三个基本事实搭起空间的推理基础，随后逐级研究线与线、线与面、面与面的平行与垂直。全章的推理都在「判定」与「性质」两个方向上往返。

8.1 基本立体图形　棱柱：两底面平行，侧面为平行四边形。　棱锥：一个底面，侧面三角形共顶点。　棱台：用平行底面的平面截棱锥得到。　旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球。　球的截面：截面圆满足 r^2+d^2=R^2。　轴截面：过旋转轴的截面。

8.2 立体图形的直观图　斜二测的坐标轴：两轴夹角取 45° 或 135°。　长度规则：x 向不变，y 向减半。　保留平行关系：平行仍平行，直角未必保留。　平面图的面积比：S^prime=√2/4S。　立体的高度：竖直方向长度不变。

8.3 简单几何体的表面积与体积　柱体体积：V=Sh，h 为垂直高度。　锥体体积：V=frac13Sh。　台体体积：V=frac h3(S_1+√(S_1S_2)+S_2)。　球表面积：S=4π R^2。　球体积：V=frac43π R^3。　圆台侧面积：S_侧=π(R+r)l。　正棱锥侧面积：S_侧=frac12C_底h_斜。　组合体：体积加减，表面积扣除内部接面。

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系　确定平面：不共线三点确定一个平面。　直线在平面内：两点在平面内，则所在直线在面内。　两平面相交：不同平面有公共点，则交于直线。　异面直线：不在任何一个共同平面内。　线面位置：在面内、相交或平行。　异面直线所成角：平移后取锐角或直角。　等角定理：两边对应平行，两角相等或互补。

8.5 空间直线、平面的平行　线面平行判定：面外直线平行于面内一线。　线面平行性质：过该线作截面，交线与该线平行。　面面平行判定：一面内两相交线均平行于另一面。　面面平行性质：同一截面截两平行面，交线平行。　注意直线位置：线面平行，不代表与面内所有线平行。

8.6 空间直线、平面的垂直　线面垂直定义：与平面内任意直线都垂直。　线面垂直判定：垂直于面内两条相交线。　线面垂直性质：垂直同一平面的不同直线平行。　直线与平面所成角：斜线与它在面内的射影所成锐角。　二面角的平面角：在两半平面内各作垂直于棱的射线。　面面垂直判定：一个平面经过另一平面的垂线。　面面垂直性质：两面垂直时，面内交线的垂线垂直另一面。

常见题型 体积。　底面积 $12$、高 $5$ 的棱柱体积为（　　），等底等高棱锥为（　　）。　台体上下底面积为 $4$、$9$，高为 $3$，体积为（　　）。

常见题型 球与圆台。　半径 $3$ 的球，表面积为______，体积为______。　圆台上下底半径为 $1$、$3$，母线长 $5$，侧面积为______。

常见题型 斜二测。　原图沿 y 方向长 $8$，直观图中对应长度为（　　）。　原水平平面图面积 $16$，直观图面积为______。

常见题型 位置关系。　空间中不相交的两条不同直线可能平行，也可能（　　）。　确定一个平面的三点必须（　　）。

常见题型 判定条件。　线面平行判定中，待证直线必须在该平面（　　）。　线面垂直判定要求面内两条直线（　　）。

常见题型 正方体 ABCD—A₁B₁C₁D₁。　AB 与 CC₁ 的位置关系为（　　）。　AA₁ 与底面 ABCD（　　）。

拓展提高 正方体棱长为 $2$。　面对角线长为______，体对角线长为______。　体对角线与底面所成角的正弦为______。

拓展提高 正四棱锥。底边长 $6$，高 $4$。　侧面斜高为（　　），侧面积为（　　）。　体积为（　　）。

拓展提高 球的截面。球半径 $5$，截面圆心到球心距离为 $3$。　截面圆半径为（　　），面积为______。

拓展提高 证明。在四面体 ABCD 中，M、N 分别为 AB、AC 的中点。　证明 $MN\parallel$ 平面 BCD：先得 $MN\parallel$（　　）。　还需指出 MN 在平面 BCD 外，且______。

拓展提高 辨析。　直线垂直平面内无数条直线，就一定垂直于平面。（　　）　两平面垂直，一个平面内任意直线都垂直另一个平面。（　　）

拓展提高 二面角。棱为 l，在两个半平面内从 O 作 OA、OB，且 OA、OB 都垂直 l。　若 $\angle AOB=120^\circ$，该二面角为（　　）度。　能直接改答 $60^\circ$ 吗？______

选择性必修第一册 第一章 空间向量的几何应用　用方向向量、法向量计算夹角与距离，判断空间位置关系。

1.4 空间向量的应用　平面的法向量：与平面垂直的非零向量。　求法向量：与面内两个不共线向量均垂直。　向量判线面平行：mathbf u·mathbf n=0，还须直线在面外。　向量判线面垂直：方向向量与法向量平行。　直线所成角：cosθ=|mathbf u·mathbf v|/|mathbf u||mathbf v|。　线面角：sinθ=|mathbf u·mathbf n|/|mathbf u||mathbf n|。　二面角：法向量夹角可能等于其补角。　点到平面距离：d=frac|向量 AP·mathbf n||mathbf n|。　建立空间坐标系：选两两垂直的方向作坐标轴。

常见题型 求法向量。面内两向量为 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$。　可取一个法向量为______。　零向量能作为法向量吗？______

常见题型 线面关系。平面法向量 $\mathbf n=(0,0,1)$。　直线方向 $(1,2,0)$ 与法向量（　　）。　若该直线在面外，则与平面（　　）。　方向 $(0,0,2)$ 的直线与平面（　　）。

常见题型 两条直线。方向分别为 $(1,1,0)$ 与 $(1,0,1)$。　数量积为（　　），模长的乘积为（　　）。　所成角为（　　）度。

常见题型 线面角。直线方向 $(1,0,1)$，平面法向量 $(0,0,1)$。　线面角的正弦为______。　线面角为（　　）度。

常见题型 点到平面。P 为 $(1,2,3)$，平面为 $z=0$。　距离为（　　）。　可取平面内点 A 为______。

拓展提高 法向量。面内两向量为 $(1,1,0)$ 与 $(0,1,1)$。　可取一个法向量为______。　其模长为______。

拓展提高 点到平面。P 为 $(1,2,3)$，平面为 $x+2y+2z-3=0$。　平面法向量可取______。　点到平面距离为______。

拓展提高 正方体。棱长为 $2$，从同一顶点出发的三条棱为坐标轴。　体对角线方向可取______。　体对角线与底面所成角的正弦为______。

拓展提高 避免遗漏位置条件。直线 $l:(x,y,z)=(t,0,0)$，平面 $z=0$。　方向向量与法向量数量积为（　　）。　l 与平面的实际关系为______。

拓展提高 二面角辨析。所选两法向量夹角为 $60^\circ$。　二面角一定为 $60^\circ$ 吗？______　把一个法向量反向后，两法向量夹角为（　　）度。