三角形

五年级上册 第六单元 三角形的面积　两个完全相同的三角形拼成平行四边形，由此得到面积公式：底乘高除以 2。

第2节 三角形的面积　拼成平行四边形：两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。　面积公式：面积 = 底 × 高 div 2，是拼成图形的一半。　底与高对应：高必须垂直于所选的那条底。　等底等高：等底等高，面积相等，形状可以不同。　直角三角形：两条直角边就是一组底和高。　已知面积反求：高 = 面积 × 2div 底，底 = 面积 × 2div 高。

常见题型 计算下面各三角形的面积。　图①的面积是（　　）平方厘米。　图②的面积是（　　）平方厘米。　图③的面积是（　　）平方厘米。

常见题型 填空。　一个三角形的底是 $12$ 厘米，高是 $7$ 厘米，它的面积是（　　）平方厘米。　一个三角形的面积是 $24$ 平方分米，底是 $8$ 分米，高是（　　）分米。　一个三角形的面积是 $30$ 平方厘米，高是 $5$ 厘米，底是（　　）厘米。　一个直角三角形的两条直角边分别是 $9$ 厘米和 $4$ 厘米，它的面积是（　　）平方厘米。　一个平行四边形的面积是 $36$ 平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是（　　）平方厘米。　一个三角形与一个平行四边形等底等高，三角形的面积是 $15$ 平方米，平行四边形的面积是（　　）平方米。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　三角形的面积是平行四边形面积的一半。（　　）　等底等高的两个三角形，面积一定相等。（　　）　面积相等的两个三角形，一定能拼成一个平行四边形。（　　）　三角形的底扩大到原来的 $2$ 倍，高不变，面积也扩大到原来的 $2$ 倍。（　　）

常见题型 如图，两条虚线互相平行，三角形①、②、③的底都是 $BC$，三角形④的底与 $BC$ 一样长。　三角形①、②、③的底都是（　　），高都（　　）。　面积相等的三角形是（　　）。　三角形④的面积比三角形①的面积（　　）。

常见题型 解决问题。　一块三角形菜地，底是 $30$ 米，高是 $20$ 米，它的面积是（　　）平方米。　一条红领巾的底是 $100$ 厘米，高是 $33$ 厘米，做一条红领巾要用（　　）平方厘米的布。　一块三角形广告牌的面积是 $6$ 平方米，底是 $4$ 米，高是（　　）米。　一个三角形花坛的底是 $12$ 米，高是 $8$ 米，每平方米种 $5$ 棵花，一共种（　　）棵。

常见题型 在方格纸上画一个面积是 $6$ 平方厘米的三角形（每个小方格的边长是 $1$ 厘米）。　

拓展提高 如图，平行四边形 $ABCD$ 的面积是 $48$ 平方厘米，$AC$ 是它的一条对角线。　三角形 $ABC$ 的面积是（　　）平方厘米。　如果 $BC$ 长 $8$ 厘米，平行四边形 $ABCD$ 的高是（　　）厘米。　三角形 $ABC$ 中，$BC$ 边上的高是（　　）厘米。

拓展提高 如图，长方形 $ABCD$ 的长是 $10$ 厘米，宽是 $6$ 厘米，$E$ 是 $AD$ 上的一点。　三角形 $EBC$ 的面积是（　　）平方厘米。　阴影部分的面积一共是（　　）平方厘米。　$E$ 在 $AD$ 上移动时，三角形 $EBC$ 的面积（　　）。（填「变大」「变小」或「不变」）

拓展提高 如图，直角三角形的两条直角边分别是 $6$ 厘米和 $8$ 厘米，斜边是 $10$ 厘米。　这个三角形的面积是（　　）平方厘米。　斜边上的高是（　　）厘米。

拓展提高 填空。　一个三角形的底扩大到原来的 $4$ 倍，高缩小到原来的一半，面积扩大到原来的（　　）倍。　一个三角形的面积是 $36$ 平方厘米，底是 $9$ 厘米。底不变，高增加 $4$ 厘米，面积增加（　　）平方厘米。　三角形与平行四边形的面积相等，底也相等。三角形的高是 $10$ 厘米，平行四边形的高是（　　）厘米。　一个等腰直角三角形的一条直角边长 $6$ 厘米，它的面积是（　　）平方厘米。

拓展提高 如图，每个小方格的边长是 $1$ 厘米。　图①的面积是（　　）平方厘米。　图②的面积是（　　）平方厘米。

拓展提高 如图，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是 $AD$ 的中点，三角形 $ABC$ 的面积是 $40$ 平方厘米。　三角形 $ABD$ 的面积是（　　）平方厘米。　三角形 $BDE$ 的面积是（　　）平方厘米。　三角形 $ABE$ 的面积是（　　）平方厘米。

拓展提高 想一想。　一个三角形的面积是 $20$ 平方厘米，底和高都是整厘米数，且底比高长，一共有（　　）种可能。　把一个平行四边形沿一条对角线剪开，得到两个（　　）的三角形。　一个三角形的面积是 $10$ 平方厘米，底和高都扩大到原来的 $2$ 倍，面积是（　　）平方厘米。

八年级上册 第十三章 三角形的边与角　由直观转入推理：三边关系与内角和成为可以证明的定理；新增中线、角平分线、高三条线段，外角的性质与多边形的内角和。　三角形由四年级的直观转入推理：三边关系与内角和成为可以证明的定理，三条特殊线段与外角的性质随之建立，多边形的内角和由分割成三角形得到。

13.1 三角形的概念　三角形：不共线的三条线段首尾顺次相接。　表示：记作 △ ABC，∠ A 所对的边记作 a。　分类：按边分不等边与等腰，按角看最大角。　三边关系：两边之和大于第三边，依据是线段最短。　第三边的范围：两边之差 < 第三边 < 两边之和。　稳定性：三边定了，形状大小随之唯一确定。

13.2 与三角形有关的线段　中线：连接顶点与对边中点的线段。　角平分线：平分内角、交于对边的线段，不是射线。　高：顶点到对边所在直线的垂线段。　高的位置：锐角形内，直角两条是边，钝角两条在外。　中线与面积：一条中线把三角形分成面积相等的两半。　三线的交点：三条中线、角平分线、高各交于一点。

13.3 三角形的内角与外角　内角和定理：∠ A+∠ B+∠ C=180°，证明靠平行线。　两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和是 90°。　外角：一边与另一边的延长线所成的角。　外角的性质：等于不相邻的两个内角之和。　多边形的内角和：从一个顶点分成 n-2 个三角形。　多边形的外角和：总是 360°，与边数无关。

实践 确定轻质薄板的重心位置　三角形的重心：三条中线的交点。　二比一：重心到顶点的距离是到对边中点的 2 倍。　悬挂法：悬挂两次，两条铅垂线的交点。　重心可在板外：凹形薄板的重心可能落在板外。

常见题型 判断下列各组线段能否组成三角形。能的画 √，不能的画 ×。　$2$、$3$、$5$（　　）　$4$、$5$、$8$（　　）　$1$、$1$、$3$（　　）　$6$、$6$、$6$（　　）

常见题型 填空。　三角形的两边长分别为 $4$ 和 $9$，第三边 $x$ 的取值范围是 ______ $<x<$ ______。　三角形的两边长分别为 $5$ 和 $7$，第三边为整数，则第三边最长是 ______，最短是 ______。　等腰三角形的两边长分别为 $4$ 和 $9$，它的周长是 ______。　等腰三角形的两边长分别为 $3$ 和 $6$，它的周长是 ______。

常见题型 如图，$\triangle ABC$ 中，$AD$ 是中线，$AE$ 是角平分线，$AF$ 是高。　$BD=$ ______ $=\frac{1}{2}$ ______。　$\angle BAE=\angle$ ______。　$\angle AFB=$ ______。　若 $\triangle ABC$ 的面积是 $24\ \text{cm}^2$，则 $\triangle ABD$ 的面积是 ______ $\text{cm}^2$。

常见题型 求角的度数。　$\triangle ABC$ 中，$\angle A=40^\circ$，$\angle B=60^\circ$，则 $\angle C=$ ______。　直角三角形的一个锐角是 $35^\circ$，另一个锐角是 ______。　$\triangle ABC$ 中，$\angle A:\angle B:\angle C=1:2:3$，则 $\angle C=$ ______。　三角形的一个外角是 $110^\circ$，与它不相邻的一个内角是 $40^\circ$，另一个不相邻的内角是 ______。

常见题型 如图，$\triangle ABC$ 中，$\angle A=50^\circ$，$\angle B=60^\circ$，延长 $BC$ 到 $D$。　$\angle ACD=$ ______。　$\angle ACB=$ ______。

常见题型 多边形。　六边形的内角和是 ______。　内角和为 $900^\circ$ 的多边形是 ______ 边形。　正八边形的每个外角是 ______，每个内角是 ______。　一个多边形的每个内角都是 $140^\circ$，它是 ______ 边形。

常见题型 画出钝角 $\triangle ABC$ 中 $BC$ 边上的高 $AD$。　

拓展提高 三边关系。　一个等腰三角形的周长是 $20$，一条边长 $4$，另两条边长分别是 ______ 和 ______。　三角形的三边长分别为 $3$、$x$、$7$，且 $x$ 为偶数，则 $x=$ ______。　$a$、$b$、$c$ 是三角形的三边，化简 $|a-b-c|+|b-c-a|=$ ______。

拓展提高 如图，把 $\triangle ABC$ 沿 $DE$ 折叠，点 $A$ 落在 $A'$ 处，$\angle A=50^\circ$，$\angle 1=30^\circ$。　$\angle 2=$ ______。　一般地，$\angle 1+\angle 2=$ ______ $\angle A$。

拓展提高 如图，$AD$ 与 $BC$ 相交于点 $O$，$\angle A=40^\circ$，$\angle B=30^\circ$，$\angle C=25^\circ$。　$\angle D=$ ______。　这类图形中，$\angle A+\angle B$ 与 $\angle C+\angle D$ 的关系是 ______。

拓展提高 如图，$BO$、$CO$ 分别平分 $\angle ABC$、$\angle ACB$。　若 $\angle A=50^\circ$，则 $\angle BOC=$ ______。　若 $\angle BOC=120^\circ$，则 $\angle A=$ ______。　一般地，$\angle BOC=90^\circ+$ ______。

拓展提高 求角。　$\triangle ABC$ 中，$\angle A=\angle B-20^\circ=\angle C-40^\circ$，则 $\angle A=$ ______，$\angle B=$ ______，$\angle C=$ ______。　直角三角形两个锐角的平分线所夹的钝角是 ______。

拓展提高 多边形。　从一个多边形的一个顶点出发可以引 $5$ 条对角线，它是 ______ 边形，内角和是 ______。　一个多边形截去一个角后，得到的多边形内角和为 $1080^\circ$，原多边形的边数是 ______。　正多边形的每个内角比每个外角大 $100^\circ$，它是 ______ 边形。

拓展提高 如图，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，$E$ 在 $AD$ 上且 $AE=2ED$，$\triangle ABC$ 的面积是 $18$。　$\triangle ABD$ 的面积是 ______。　$\triangle ABE$ 的面积是 ______。　$\triangle BEC$ 的面积是 ______。

八年级上册 第十四章 全等三角形　研究两个三角形之间的关系：全等的性质与 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五条判定，角平分线的性质。　证明两条线段相等或两个角相等，最常用的办法是把它们放进两个全等三角形里。这一章给出四条判定：边边边、边角边、角边角、角角边，直角三角形另加一条斜边直角边。角角角与边边角不能作为判定，这是本章最容易出错的地方。

14.1 全等三角形及其性质　全等形：能够完全重合的两个图形。　对应元素：重合时互相重合的顶点、边与角。　全等的性质：对应边相等，对应角相等。　找对应元素：相等的角所对的边是对应边。

14.2 三角形全等的判定　边边边：三边分别相等。　边角边：两边及其夹角分别相等。　角边角：两角及其夹边分别相等。　角角边：两角及其中一角的对边分别相等。　斜边直角边：斜边与一直角边相等，限直角三角形。　不能判定的：角角角与边边角都不能判定全等。

14.3 角的平分线　角平分线的性质：线上的点到两边的距离相等。　角平分线的判定：到两边距离相等的点在平分线上。　尺规作角平分线：两次画弧，交点与顶点连线。　常用辅助线：见角平分线，向两边作垂线段。

常见题型 如图，$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。　$\angle A$ 的对应角是 ______，边 $BC$ 的对应边是 ______。　若 $AB=5$，$BC=7$，$\angle A=50^\circ$，则 $DE=$ ______，$\angle D=$ ______。　$EF=$ ______。

常见题型 在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 中，写出判定全等的依据。　$AB=DE$，$BC=EF$，$AC=DF$，依据是 ______。　$AB=DE$，$\angle B=\angle E$，$BC=EF$，依据是 ______。　$\angle A=\angle D$，$AB=DE$，$\angle B=\angle E$，依据是 ______。　$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$BC=EF$，依据是 ______。　$\angle C=\angle F=90^\circ$，$AB=DE$，$AC=DF$，依据是 ______。

常见题型 如图，$AB=AD$，$AC$ 是公共边。要使 $\triangle ABC\cong\triangle ADC$，还需添加一个条件。　用边角边判定，可添加 ______。　用边边边判定，可添加 ______。

常见题型 如图，$AB$ 与 $CD$ 相交于点 $O$，$OA=OC$，$OB=OD$。　$\triangle AOB\cong\triangle$ ______，依据是 ______。　若 $AB=6$，则 $CD=$ ______。　若 $\angle A=35^\circ$，则 $\angle C=$ ______。

常见题型 如图，$OP$ 平分 $\angle AOB$，$PD\perp OA$ 于 $D$，$PE\perp OB$ 于 $E$。　若 $PD=3$ cm，则 $PE=$ ______ cm。　若 $\angle DPO=55^\circ$，则 $\angle AOB=$ ______。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　全等三角形的周长相等。（　　）　面积相等的两个三角形全等。（　　）　三个角分别相等的两个三角形全等。（　　）　两边和一角分别相等的两个三角形全等。（　　）　两个等边三角形一定全等。（　　）

拓展提高 如图，$AC=AD$，$\angle B$ 是公共角，$AB$ 是公共边。　$\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 全等吗？（　　）　这说明 ______ 不能作为全等的判定。

拓展提高 如图，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，延长 $AD$ 到 $E$，使 $DE=AD$。　$\triangle ADC\cong\triangle$ ______。　判定的依据是 ______。　若 $AB=5$，$AC=3$，则 $AD$ 的取值范围是 ______ $<AD<$ ______。

拓展提高 如图，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE\perp AB$ 于 $E$，$DF\perp AC$ 于 $F$，$AB=8$，$AC=6$，$\triangle ABC$ 的面积是 $21$。　$DE=$ ______。　$\triangle ABD$ 的面积是 ______。

拓展提高 如图，$AB\perp BD$，$ED\perp BD$，$C$ 在 $BD$ 上，$AC\perp CE$，且 $AC=CE$。　$\triangle ABC\cong\triangle$ ______。　若 $AB=3$，$DE=4$，则 $BD=$ ______。

拓展提高 尺规作图的依据。　作一个角等于已知角，依据是 ______。　作已知角的平分线，依据是 ______。　三角形具有稳定性，依据是 ______。

拓展提高 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$\angle BAC=\angle DAE=90^\circ$。　$\triangle ABD\cong\triangle$ ______。　若 $BD=5$，则 $CE=$ ______。　$BD$ 与 $CE$ 的位置关系是 ______。

八年级上册 第十五章 等腰三角形　特殊三角形：等腰三角形的等边对等角与三线合一，等边三角形的判定，含 30° 角的直角三角形的性质。

15.3 等腰三角形　等边对等角：两腰相等，则两底角相等。　三线合一：顶角平分线、底边中线与高重合。　等角对等边：两角相等，则两角所对的边相等。　等边三角形：三边相等，三个角都是 60°。　等边三角形的判定：三角相等，或有一角 60° 的等腰三角形。　含 30° 角的直角三角形：30° 角所对的直角边等于斜边的一半。

常见题型 求角。　等腰三角形的顶角是 $80^\circ$，它的底角是 ______。　等腰三角形的一个底角是 $70^\circ$，它的顶角是 ______。　等腰三角形的一个角是 $100^\circ$，另两个角分别是 ______ 和 ______。　等腰三角形的一个角是 $40^\circ$，它的顶角是 ______ 或 ______。

常见题型 求周长。　等腰三角形的两边长分别为 $3$ 和 $7$，周长是 ______。　等腰三角形的两边长分别为 $5$ 和 $6$，周长是 ______ 或 ______。　等腰三角形的周长是 $25$，一边长 $11$，另两边分别是 ______、______ 或 ______、______。

常见题型 如图，$AB=AC$，$AD\perp BC$ 于 $D$，$BC=8$，$\angle BAC=100^\circ$。　$BD=$ ______。　$\angle BAD=$ ______。　$\angle B=$ ______。

常见题型 等边三角形。　等边三角形的边长是 $6$，周长是 ______。　等边 $\triangle ABC$ 中，$AD\perp BC$，则 $\angle BAD=$ ______。　一个等腰三角形有一个角是 $60^\circ$，它是 ______ 三角形。

常见题型 如图，$\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$AB=10$。　$BC=$ ______。　$\angle B=$ ______。　另一个含 $30^\circ$ 角的直角三角形中，$30^\circ$ 角所对的直角边长 $4$，则斜边长 ______。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　等腰三角形的底角一定是锐角。（　　）　等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合。（　　）　有一个角是 $60^\circ$ 的三角形是等边三角形。（　　）　等边三角形有三条对称轴。（　　）

常见题型 如图，$\triangle ABC$ 中，$\angle A=36^\circ$，$\angle C=72^\circ$，$BD$ 平分 $\angle ABC$。　图中的等腰三角形共有 ______ 个。　若 $BC=4$，则 $AD=$ ______。

拓展提高 分类讨论。　等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 $40^\circ$，它的顶角是 ______ 或 ______。　等腰三角形的一个外角是 $100^\circ$，它的底角是 ______ 或 ______。　等腰三角形的周长是 $18$，腰长 $x$ 的取值范围是 ______ $<x<$ ______。

拓展提高 如图，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$DE\perp AB$ 于 $E$，$DF\perp AC$ 于 $F$。　$DE$ 与 $DF$ 的大小关系是 $DE$ ______ $DF$。　若 $AB=10$，$DE=3$，则 $\triangle ABC$ 的面积是 ______。

拓展提高 如图，等边 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$ 分别在 $BC$、$AC$ 上，$BD=CE$，$AD$ 与 $BE$ 交于点 $F$。　$\triangle ABD\cong\triangle$ ______。　$\angle AFE=$ ______。

拓展提高 如图，$\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$CD\perp AB$ 于 $D$，$AB=8$。　$BC=$ ______。　$BD=$ ______。　$AD=$ ______。

拓展提高 如图，$BD$ 平分 $\angle ABC$，$DE\parallel BC$ 交 $AB$ 于 $E$。　$\triangle BDE$ 是 ______ 三角形。　若 $EB=3$，则 $ED=$ ______。

拓展提高 一个等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成 $15$ 和 $12$ 两部分。　腰长是 ______ 或 ______。　对应的底边长是 ______ 或 ______。

拓展提高 想一想。　等腰三角形的腰长是底边的 $2$ 倍，周长是 $30$，底边长 ______。　等腰三角形一腰上的高一定平分顶角。（　　）（填 √ 或 ×）

八年级下册 第二十章 勾股定理　直角三角形三边的数量关系 a² + b² = c² 及其逆定理，几何量由此可以计算。　勾股定理把直角三角形的三边用一个等式连了起来，是几何里第一次出现的数量关系。它的逆定理反过来用边判断角，是判定直角三角形的常用工具。两者的已知与结论正好对调，用反是本章最常见的错。

20.1 勾股定理及其应用　勾股定理：a^2+b^2=c^2，只对直角三角形。　赵爽弦图：大正方形面积算两遍，两式相等。　求第三边：先分清所求是直角边还是斜边。　分类讨论：未指明斜边时分两种情形。　数轴上的无理数：以 2、3 为直角边，斜边长 √(13)。　表面最短路径：先把侧面展开，再连两点。

20.2 勾股定理的逆定理及其应用　逆定理：两边平方和等于第三边平方，即直角。　使用方法：先找最长边，再验平方和。　勾股数：满足等式的三个正整数。　定理与逆定理：定理由角推边，逆定理由边推角。

常见题型 如图，求各直角三角形中未知的边。　图①的斜边长 ______。　图②的直角边长 ______。　图③的斜边长 ______。

常见题型 填空。$\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$a$、$b$ 是直角边，$c$ 是斜边。　$a=9$，$b=12$，则 $c=$ ______。　$a=7$，$c=25$，则 $b=$ ______。　一个直角三角形的两边长是 $3$ 和 $4$，第三边长是 ______ 或 ______。　等腰直角三角形的斜边长 $4$，直角边长 ______。

常见题型 判断以下列各组数为边长的三角形是不是直角三角形。填「是」或「不是」。　$7$、$24$、$25$（　　）　$4$、$5$、$6$（　　）　$1.5$、$2$、$2.5$（　　）　$8$、$15$、$17$（　　）

常见题型 解决问题。　一架 $5$ m 长的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙 $3$ m，顶端离地 ______ m。　一根旗杆在离地 $3$ m 处折断，顶端落在离杆底 $4$ m 处，旗杆原来高 ______ m。　从 $A$ 地向东走 $8$ km，再向北走 $6$ km 到 $B$ 地，$A$、$B$ 两地相距 ______ km。　长方形的长是 $12$ cm、宽是 $5$ cm，它的对角线长 ______ cm。

常见题型 在数轴上画出表示 $\sqrt{5}$ 的点。　

常见题型 如图，圆柱的高是 $8$ cm，底面周长是 $12$ cm，一只蚂蚁从下底的 $A$ 点沿侧面爬到正对面上底的 $B$ 点。　把侧面展开后，$A$、$B$ 之间的水平距离是 ______ cm。　最短路程是 ______ cm。

常见题型 逆定理的应用。　$\triangle ABC$ 的三边长分别为 $5$、$12$、$13$，它的面积是 ______。　等腰三角形的腰长 $5$、底边长 $6$，底边上的高是 ______，面积是 ______。　$\triangle ABC$ 的三边之比为 $3:4:5$，周长为 $24$，三边分别是 ______、______、______，它是 ______ 三角形。

拓展提高 分类讨论。　直角三角形的两边长是 $5$ 和 $12$，第三边长是 ______ 或 ______。　$\triangle ABC$ 中，$AB=15$，$AC=13$，$BC$ 边上的高 $AD=12$，则 $BC=$ ______ 或 ______。

拓展提高 如图，长方形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$AD=10$，把 $\triangle ADE$ 沿 $AE$ 折叠，点 $D$ 恰好落在 $BC$ 上的点 $F$ 处。　$AF=$ ______。　$BF=$ ______。　$DE=$ ______。

拓展提高 如图，长方体的长、宽、高分别是 $4$、$3$、$2$，一只蚂蚁从顶点 $A$ 沿表面爬到顶点 $B$。　三种展开方式中，路程分别是 $\sqrt{53}$、$\sqrt{45}$ 和 ______。　最短路程是 ______。

拓展提高 如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形。　图①中正方形 $A$ 的面积是 ______。　图②中最大的正方形面积是 $100$，另一个已知正方形面积是 $36$，正方形 $B$ 的面积是 ______。

拓展提高 特殊三角形。　$\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，$AB=10$，则 $BC=$ ______，$AC=$ ______。　等边三角形的边长是 $4$，它的高是 ______，面积是 ______。

拓展提高 如图，四边形 $ABCD$ 中，$\angle B=90^\circ$，$AB=3$，$BC=4$，$CD=12$，$AD=13$。　$AC=$ ______。　$\angle ACD=$ ______。　四边形 $ABCD$ 的面积是 ______。

拓展提高 想一想。　以 $n^2-1$、$2n$、$n^2+1$（$n>1$）为三边的三角形是 ______ 三角形。　$\triangle ABC$ 的三边满足 $(a-b)(a^2+b^2-c^2)=0$，它是 ______ 三角形。

九年级下册 第三十一章 相似三角形　把全等的「相等」放宽为「成比例」：相似三角形的判定与性质，面积之比等于相似比的平方。

31.1 图形的相似　相似图形：形状相同，大小可以不同。　相似多边形：对应角相等，且对应边成比例。　相似比：对应边的比，有先后之分。　比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。　平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，对应线段成比例。　推论：平行于一边的直线截另两边成比例。

31.2 相似三角形的判定　预备定理：平行于一边的直线截出的三角形相似。　两角：两角分别相等，最常用。　两边与夹角：两边成比例且夹角相等。　三边：三边对应成比例。　A 字型：平行线截两边，共一个顶角。　8 字型：两条线段相交，对顶角相等。

31.3 相似三角形的性质及应用　对应线段之比：对应高、中线、角平分线之比等于 k。　周长之比：周长之比等于相似比。　面积之比：面积之比等于相似比的平方。　影长测高：同一时刻，物高与影长成比例。　镜面测高：入射角等于反射角，构成相似。　测河宽：构造 A 字型或 8 字型量出河宽。

常见题型 比例。　若 $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则 $\frac{a+b}{b}=$ ______。　线段 $a=2$，$b=8$，它们的比例中项是 ______。　若 $3x=4y$，则 $x:y=$ ______。

常见题型 如图，$l_1\parallel l_2\parallel l_3$，$AB=3$，$BC=6$，$DE=2$。　$EF=$ ______。　$DF=$ ______。

常见题型 如图，$\triangle ABC$ 中，$DE\parallel BC$，$AD=2$，$DB=3$，$DE=4$。　$\triangle ADE\backsim\triangle$ ______。　相似比是 ______。　$BC=$ ______。

常见题型 判断。对的画 √，错的画 ×。　两个等边三角形一定相似。（　　）　两个直角三角形一定相似。（　　）　两个等腰三角形一定相似。（　　）　有一个角是 $40^\circ$ 的两个等腰三角形一定相似。（　　）　两个全等三角形一定相似。（　　）

常见题型 相似三角形的性质。　两个相似三角形的相似比是 $2:3$，周长比是 ______，面积比是 ______。　两个相似三角形的面积比是 $1:4$，相似比是 ______。　两个相似三角形对应高之比是 $3:5$，小三角形的周长是 $12$，大三角形的周长是 ______。　$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，相似比为 $1:2$，$\triangle ABC$ 的面积是 $5$，则 $\triangle DEF$ 的面积是 ______。

常见题型 如图，$AB\parallel CD$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AB=4$，$CD=6$，$AO=2$。　$\triangle AOB\backsim\triangle$ ______。　$OC=$ ______。

常见题型 测量。　如图，同一时刻，$1.5$ m 长的竹竿影长 $1$ m，一栋楼的影长 $12$ m，楼高 ______ m。　小明眼睛离地 $1.6$ m，他站在离镜子 $2$ m 处恰好看到镜中的树顶，镜子离树 $8$ m，树高 ______ m。

拓展提高 如图，$\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ$，$CD\perp AB$ 于 $D$，$AD=4$，$BD=9$。　图中相似的三角形共有 ______ 对。　$CD=$ ______。　$AC=$ ______。

拓展提高 如图，$B$、$E$、$C$ 在同一直线上，$\angle B=\angle AED=\angle C$，$AB=4$，$BE=2$，$EC=6$。　$\triangle ABE\backsim\triangle$ ______。　$CD=$ ______。

拓展提高 如图，$\triangle ABC$ 中，$DE\parallel BC$，$\triangle ADE$ 的面积与四边形 $DBCE$ 的面积之比是 $1:3$。　$S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=$ ______。　$AD:DB=$ ______。

拓展提高 如图，$\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $AB$ 上，$AD=2$，$AB=8$，$AC=4$。　$AC:AD=$ ______ $:$ ______。　$\triangle ACD\backsim\triangle$ ______。　若 $CD=3$，则 $BC=$ ______。

拓展提高 如图，路灯高 $6$ m，身高 $1.5$ m 的人站在离灯柱 $6$ m 处。　人的影长是 ______ m。

拓展提高 周长与面积。　两个相似三角形的相似比是 $2:3$，周长之和是 $60$，它们的周长分别是 ______、______。　两个相似三角形对应中线之比是 $1:3$，面积之和是 $40$，它们的面积分别是 ______、______。

拓展提高 $\triangle ABC$ 中，$AB=6$，$AC=4$，$P$ 在 $AB$ 上且 $AP=2$。过 $P$ 作直线交 $AC$ 于 $Q$，截得的小三角形与 $\triangle ABC$ 相似。　$AQ=$ ______ 或 ______。

九年级下册 第三十二章 锐角三角函数　角与边的比值建立对应：正弦、余弦、正切，解直角三角形。　直角三角形里，一个锐角一旦确定，两边之比就随之确定 —— 这就是锐角三角函数。有了它，已知一边一角就能求出其余的边，测量高度与距离的问题因此有了通用的解法。

32.1 锐角三角函数　为什么只与角有关：锐角相等的直角三角形相似，比值不变。　对边与邻边：对着 ∠ A 的是对边，夹着的是邻边。　正弦：sin A=fractext对边text斜边，不超过 1。　余弦：cos A=fractext邻边text斜边，不超过 1。　正切：tan A=fractext对边text邻边，可以大于 1。　特殊角：由两个特殊直角三角形直接读出。

32.2 解直角三角形及其应用　解直角三角形：已知两个元素（至少一边）求其余。　三件工具：勾股定理、两锐角互余、三角函数。　仰角与俯角：都从水平线量起，上仰下俯。　坡度：铅直高度比水平宽度，等于 tanα。　方位角：从正北或正南起，向东或向西转。　作高构造直角：斜三角形先作高，分成两个直角三角形。

常见题型 如图，$\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$AC=4$，$BC=3$，$AB=5$。　$\sin A=$ ______。　$\cos A=$ ______。　$\tan A=$ ______。　$\sin B=$ ______。

常见题型 计算。　$\sin 30^\circ+\cos 60^\circ=$ ______。　$\tan 45^\circ-\cos 60^\circ=$ ______。　$2\sin 60^\circ=$ ______。　$\sin^2 45^\circ+\cos^2 45^\circ=$ ______。

常见题型 由三角函数值求锐角。　$\sin A=\frac{1}{2}$，则 $\angle A=$ ______。　$\tan A=1$，则 $\angle A=$ ______。　$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\angle A=$ ______。　$\tan A=\sqrt{3}$，则 $\angle A=$ ______。

常见题型 解直角三角形。$\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$。　$\angle A=30^\circ$，$AB=8$，则 $BC=$ ______，$AC=$ ______。　$BC=5$，$AC=5$，则 $\angle A=$ ______，$AB=$ ______。　$\angle B=60^\circ$，$AC=6$，则 $BC=$ ______，$AB=$ ______。

常见题型 如图，在离楼 $20$ m 处用高 $1.5$ m 的测角仪测得楼顶的仰角是 $60^\circ$。　楼高是 ______ m（结果保留根号）。

常见题型 坡度。　坡度 $i=1:\sqrt{3}$ 的斜坡，坡角是 ______。　坡角是 $45^\circ$，水平距离是 $6$ m，铅直高度是 ______ m。　斜坡长 $10$ m，坡度 $i=3:4$，铅直高度是 ______ m。

常见题型 如图，船 $A$ 在灯塔 $P$ 的北偏东 $30^\circ$ 方向，距离 $20$ 海里。　船到灯塔正北方向线的距离是 ______ 海里。　船到灯塔正东方向线的距离是 ______ 海里。

拓展提高 如图，$\triangle ABC$ 中，$\angle B=45^\circ$，$\angle C=30^\circ$，$AB=4\sqrt{2}$，$AD\perp BC$ 于 $D$。　$AD=$ ______。　$BC=$ ______。　$AC=$ ______。

拓展提高 三角函数之间的关系。$\angle A$ 是锐角。　$\sin^2 A+\cos^2 A=$ ______。　$\tan A=\sin A\div$ ______。　$\sin A=\cos($ ______ $)$。　若 $\sin A=\frac{3}{5}$，则 $\cos A=$ ______，$\tan A=$ ______。

拓展提高 比较大小。填「$>$」或「$<$」。　$\sin 20^\circ$（　　）$\sin 50^\circ$　$\cos 20^\circ$（　　）$\cos 50^\circ$　$\tan 20^\circ$（　　）$\tan 50^\circ$

拓展提高 如图，在 $A$ 处测得塔顶的仰角是 $30^\circ$，向塔前进 $20$ m 到 $B$ 处，测得仰角是 $60^\circ$。　塔高是 ______ m。　$B$ 到塔底的距离是 ______ m。

拓展提高 如图，大坝的横截面是梯形，坝高 $6$ m，坝顶宽 $4$ m，迎水坡的坡度 $i=1:2$，背水坡的坡度 $i=1:1$。　坝底宽是 ______ m。　横截面的面积是 ______ $\text{m}^2$。

拓展提高 如图，轮船从 $A$ 处向正东航行 $40$ 海里到 $B$ 处。灯塔 $C$ 在 $A$ 处的北偏东 $60^\circ$ 方向，在 $B$ 处的北偏东 $30^\circ$ 方向。　$BC=$ ______ 海里。　灯塔 $C$ 到航线 $AB$ 的距离是 ______ 海里。

拓展提高 想一想。　锐角 $A$ 增大时，$\sin A$ ______，$\cos A$ ______（填「增大」或「减小」）。　一个锐角的正弦值是 $0.6$，它的余弦值是 ______。　等腰三角形的腰长 $5$、底边长 $6$，底角的余弦值是 ______。

必修第一册 第五章 三角函数　由锐角推广到任意角：弧度制、单位圆定义、诱导公式、图象与性质、三角恒等变换。　前四章的函数都不重复，这一章第一次出现周期函数。教材把初中锐角三角比推广到任意角：在单位圆上给每个角配一个点，正弦余弦就是这个点的纵横坐标。定义一坐标化，符号规律、诱导公式与图象都随之而来。

5.1 任意角和弧度制　任意角：逆时针为正，顺时针为负，不转为零。　终边相同的角：相差 360° 的整数倍。　象限角：终边落在第几象限就是第几象限角。　弧度制：弧长等于半径时，圆心角为 1 弧度。　弧长公式：l=α r，α 用弧度。　扇形面积：S=1/2lr，形同三角形面积。

5.2 三角函数的概念　单位圆定义：sinα=y，cosα=x，tanα=y/x。　符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。　平方关系：由 x^2+y^2=1 直接得到。　商数关系：tanα=sinα/cosα。　由一求二：先由象限定符号，再用两条关系。　正弦线与余弦线：有向线段 MP、OM 表示正弦、余弦。

5.3 诱导公式　来源：由单位圆上点的对称得到。　π±α：函数名不变，符号看象限。　π/2±α：正弦与余弦互换。　奇变偶不变：π/2 的奇数倍变名，偶数倍不变。　符号看象限：把 α 视作锐角，看变换后的象限。　化简的方向：先化到 0∽ 2π，再化为锐角。

5.4 三角函数的图象与性质　五点法：一个周期内零点与最值点共五个。　周期性：正弦余弦周期 2π，正切 π。　奇偶性：正弦、正切是奇函数，余弦是偶函数。　单调区间：正弦在 ≤ft[-π/2,π/2right] 上递增。　对称轴与对称中心：对称轴过最值点，对称中心是零点。　正切函数：多支互不相连，各支递增。

5.5 三角恒等变换　两角差的余弦：全章公式的起点，由弦长算两次得到。　和差角公式：由差角余弦配合诱导公式推出其余。　二倍角公式：在和角公式中令两角相等。　降幂与升幂：由余弦二倍角变形，处理平方项。　辅助角公式：asin x+bcos x 化成一个正弦式。　角的拆分：把所求角拆成特殊角的和差。

5.6 函数 y=Asin(ω x+φ)　振幅 A：A 决定最大值，纵向伸缩。　角频率 ω：ω 决定周期 T=2π/ω。　初相 φ：φ 决定左右位置。　先平移再伸缩：先平移 |φ|，再把横坐标变为 1/ω 倍。　先伸缩再平移：先伸缩，平移量要除以 ω。　由图象求解析式：最值定 A，周期定 ω，特殊点定 φ。

5.7 三角函数的应用　简谐运动：位移随时间按正弦规律变化。　四个量：振幅、周期、频率、初相。　建模步骤：最值定 A，一周定 ω，起点定 φ。　竖直平移：圆心离地高度是竖直平移量 h。

常见题型 角与弧度。　与 $-30^\circ$ 终边相同的最小正角是 ______。　$210^\circ$ 化为弧度是 ______。　$\frac{3\pi}{4}$ 化为角度是 ______。　半径为 $2$、圆心角为 $\frac{\pi}{3}$ 的扇形，弧长是 ______，面积是 ______。

常见题型 三角函数值。　角 $\alpha$ 的终边过点 $P(-3,4)$，则 $\sin\alpha=$ ______，$\cos\alpha=$ ______，$\tan\alpha=$ ______。　$\sin 210^\circ=$ ______。　$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=$ ______。　$\tan\frac{5\pi}{4}=$ ______。

常见题型 同角三角函数的关系。　$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha$ 是第二象限角，则 $\cos\alpha=$ ______，$\tan\alpha=$ ______。　若 $\tan\alpha=2$，则 $\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$ ______。　若 $\tan\alpha=2$，则 $\sin\alpha\cos\alpha=$ ______。

常见题型 用诱导公式化简。　$\sin(\pi+\alpha)=$ ______。　$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=$ ______。　$\tan(2\pi-\alpha)=$ ______。　$\sin(-\alpha)\cdot\cos(\pi-\alpha)=$ ______。

常见题型 图象与性质。　$y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的最小正周期是 ______，最大值是 ______。　$y=\sin x$ 在 $[0,2\pi]$ 上的单调递减区间是 ______。　$y=\cos x$ 图象的对称轴方程是 $x=$ ______。　$y=\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的定义域是 $x\ne$ ______。

常见题型 恒等变换求值。　$\cos 15^\circ=$ ______。　$\sin 75^\circ=$ ______。　$\sin 15^\circ\cos 15^\circ=$ ______。　$\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}=$ ______。　$\sin x+\sqrt{3}\cos x=$ ______ $\sin(x+$ ______ $)$。

常见题型 图象变换。　把 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位，得到 $y=$ ______。　再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到 $y=$ ______。　把 $y=\sin 2x$ 的图象向右平移 ______ 个单位，得到 $y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$。

常见题型 如图是函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$，$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）的一段图象。　$A=$ ______。　最小正周期 $T=$ ______，$\omega=$ ______。　$\varphi=$ ______。　解析式是 $y=$ ______。

拓展提高 扇形。　周长为 $20$ 的扇形，面积最大是 ______，此时圆心角是 ______ 弧度。

拓展提高 给值求值。　$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}$，$\alpha\in(0,\pi)$，则 $\sin\alpha\cos\alpha=$ ______，$\sin\alpha-\cos\alpha=$ ______。　$\tan\alpha=3$，则 $\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=$ ______。

拓展提高 诱导公式综合。　已知 $\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\frac{1}{3}$，则 $\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=$ ______。　已知 $\cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则 $\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=$ ______。

拓展提高 单调性与最值。　$y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$，$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，最大值是 ______，最小值是 ______。　$y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的单调递增区间是 ______。

拓展提高 辅助角公式。　$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的最大值是 ______，取得最大值时 $x=$ ______。　$y=\sin^2 x+2\sin x\cos x+3\cos^2 x$ 的最大值是 ______，最小正周期是 ______。

拓展提高 二倍角。　$\cos\alpha=\frac{1}{3}$，则 $\cos 2\alpha=$ ______。　$\sin 2\alpha=\frac{24}{25}$，$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right)$，则 $\sin\alpha-\cos\alpha=$ ______。

拓展提高 如图，摩天轮半径 $50$ m，圆心离地 $60$ m，转一圈用 $12$ min，座舱从最低点出发。　$\omega=$ ______。　座舱离地高度 $h$（m）与时间 $t$（min）的关系式是 $h=$ ______。　$t=4$ min 时，$h=$ ______ m。

拓展提高 函数 $y=2\sin(\omega x+\varphi)$（$\omega>0$，$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$）的图象相邻两条对称轴的距离是 $\frac{\pi}{2}$，且过点 $(0,1)$。　$\omega=$ ______。　$\varphi=$ ______。

必修第二册 第六章 解三角形　任意三角形的解法：正弦定理与余弦定理，以及用向量方法证明三角形的性质。

6.4 平面向量的应用　正弦定理：各边与其对角正弦之比相等，等于 2R。　余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccos A。　向量推导：由 向量 BC=向量 AC-向量 AB 两边平方得到。　两类问题：两角一边用正弦，三边或两边夹角用余弦。　解的个数：两边及一边对角，可能无解、一解或两解。　面积公式：S=1/2bcsin A，高 =bsin A。

探究 用向量法研究三角形的性质　位置向量：选定原点，各点用位置向量表示。　垂直条件：两向量垂直，数量积为零。　重心：重心到三顶点的向量之和为零。　外心：外心到三顶点的向量模相等。

常见题型 正弦定理。　$\triangle ABC$ 中，$a=2$，$\angle A=30^\circ$，$\angle B=45^\circ$，则 $b=$ ______。　$\triangle ABC$ 中，$a=\sqrt{3}$，$b=1$，$\angle A=60^\circ$，则 $\angle B=$ ______。　$\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，$a=3$，外接圆半径 $R=$ ______。

常见题型 余弦定理。　$\triangle ABC$ 中，$b=3$，$c=4$，$\angle A=60^\circ$，则 $a=$ ______。　$\triangle ABC$ 中，$a=3$，$b=5$，$c=7$，则 $\angle C=$ ______。　$\triangle ABC$ 中，$a=2$，$b=3$，$c=4$，则 $\cos A=$ ______。

常见题型 判断三角形的形状。　$\triangle ABC$ 中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，最大角 $\angle C$ 是 ______ 角。　若 $a^2+b^2<c^2$，则 $\triangle ABC$ 是 ______ 三角形。　若 $\sin^2 A=\sin^2 B+\sin^2 C$，则 $\triangle ABC$ 是 ______ 三角形。

常见题型 面积。　$\triangle ABC$ 中，$b=4$，$c=5$，$\angle A=30^\circ$，则 $S=$ ______。　$\triangle ABC$ 中，$a=4$，$b=5$，$c=6$，则 $S=$ ______。　$\triangle ABC$ 的面积是 $\sqrt{3}$，$b=2$，$\angle A=60^\circ$，则 $c=$ ______。

常见题型 解的个数。　$a=2$，$b=3$，$\angle A=30^\circ$，这样的三角形有（　　）个。　$a=1$，$b=2$，$\angle A=30^\circ$，这样的三角形有（　　）个。　$a=1$，$b=3$，$\angle A=30^\circ$，这样的三角形有（　　）个。

常见题型 如图，为测量河对岸的点 $A$ 到岸边点 $C$ 的距离，在岸边取点 $D$，测得 $CD=100$ m，$\angle ACD=60^\circ$，$\angle ADC=75^\circ$。　$\angle CAD=$ ______。　$AC=$ ______ m。

常见题型 向量法。　若 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，则 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=$ ______。　在 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos$ ______。　若点 $H$ 满足 $\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ 且 $\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{CA}=0$，则 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的 ______。

拓展提高 正弦定理与余弦定理综合。　$\triangle ABC$ 中，$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$，则 $\angle A=$ ______。　$\triangle ABC$ 中，$a=2$，$b=2\sqrt{3}$，$\angle A=30^\circ$，则 $\angle B=$ ______ 或 ______。　$\triangle ABC$ 中，$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$，则 $\angle A=$ ______。

拓展提高 面积与周长。　$\triangle ABC$ 中，$\angle B=60^\circ$，$b=\sqrt{7}$，$a+c=5$，则 $S=$ ______。　$\triangle ABC$ 中，$\angle C=60^\circ$，$c=2\sqrt{3}$，面积是 $2\sqrt{3}$，则周长是 ______。

拓展提高 判断形状。　$\triangle ABC$ 中，$\sin A=2\sin B\cos C$，则 $\triangle ABC$ 是 ______ 三角形。　$\triangle ABC$ 中，$a\cos A=b\cos B$，则 $\triangle ABC$ 是 ______ 三角形。

拓展提高 如图，在地面 $A$ 处测得山顶 $P$ 的仰角是 $30^\circ$，沿水平方向向山前进 $200$ m 到 $B$ 处，测得仰角是 $45^\circ$。　$\angle APB=$ ______。　$PB=$ ______ m。　山高是 ______ m。

拓展提高 中线与对角线。　$\triangle ABC$ 中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，则 $BC$ 边上的中线长是 ______。　平行四边形的两邻边长 $3$ 和 $5$，夹角 $60^\circ$，两条对角线长分别是 ______、______。

拓展提高 如图，$\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=5$，$\angle BAC=60^\circ$。　$\overrightarrow{AD}=$ ______（用 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 表示）。　$|\overrightarrow{AD}|=$ ______。

拓展提高 最值。　$\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，$a=\sqrt{3}$，则 $b+c$ 的最大值是 ______。　$\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^\circ$，$a=\sqrt{3}$，外接圆的面积是 ______。