向量

平面向量的概念、运算、基本定理与坐标表示，直至空间向量。

年级

平面向量

高一

这一知识点只收「平面向量及其应用」一章中属于向量的 3 节，其余各节归属其他专题。

两个力同时作用在一个物体上，为什么不能把两个力的大小直接相加？

6.1平面向量的概念入门

两个向量长度相同、方向相同，却画在不同的位置，它们相等吗？

a

a

a

∣ a ∣ = 10

把

a

平移到网格上的另外两处，长度都是

10

、方向都是「右

3

上

1

」，三支箭头是同一个向量：向量只由长度与方向决定，与画在哪里无关，所以可以任意平移。

A

B

A B

或记作 a

向量

既有大小又有方向的量，用有向线段表示

A

B

4

3

∣ A B ∣ = 5

向量的模

向量的长度，记作 $∣ A B ∣$ 或 $∣ a ∣$

A

AA = 0

零向量

长度为 $0$ ，记作 $0$ ，方向任意

O

1

单位向量

长度等于 $1$ 的向量，方向可以不同

a

b

a = b

相等向量

长度相等且方向相同，与起点无关

a

b

c

a ∥ b ∥ c

共线向量

方向相同或相反，也叫平行向量

6.2平面向量的运算核心高考高频

先向东走 $3$ 千米，再向北走 $4$ 千米，位移是多少？

O

a

b

a + b

东

3

千米接北

4

千米，首尾相接，位移从起点指向终点，长

5

千米；把第二支平移回起点，两支共起点作平行四边形，对角线正是同一支：三角形法则与平行四边形法则给出同一个和。

a

b

a + b

三角形法则

首尾相接，从第一个的起点指向最后一个的终点

a

b

a + b

平行四边形法则

共起点作平行四边形，对角线就是和

a

b

a - b

向量的减法

共起点时，由减向量的终点指向被减向量的终点

a

2 a

- a

数乘向量

$λ a$ 的长度是 $∣ λ ∣∣ a ∣$ ， $λ < 0$ 时反向

6 0^{\circ}

∣ a ∣ = 2

∣ b ∣ = 3

a \cdot b = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3

数量积

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ，结果是一个数

θ

a

b

投影向量

$a$ 在 $b$ 上的投影向量是 $∣ a ∣ cos θ e$

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ 数量积的定义适用： $θ$ 是 $a$ 与 $b$ 的夹角， $0 \leq θ \leq π$ ；零向量与任一向量的数量积为 $0$
$a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$ 垂直的判定适用： $a$ ， $b$ 都是非零向量
$∣ a ∣^{2} = a \cdot a$ 模与数量积适用：对任意向量成立，求模时先平方

6.3平面向量基本定理及坐标表示核心高考高频

平面内任意一个向量，为什么都能由两个不共线的向量表示出来？

O

e_{1}

e_{2}

2 e_{1}

1.5 e_{2}

p

p = 2 e_{1} + 1.5 e_{2}

过

p

的终点作

e_{1}

，

e_{2}

的平行线，与两条基线交出

2 e_{1}

与

1.5 e_{2}

，所以

p = 2 e_{1} + 1.5 e_{2}

：只要两个基向量不共线，平行线一定交得出、而且只交出这一组系数。

e_{1}

2 e_{2}

a

a = e_{1} + 2 e_{2}

平面向量基本定理

不共线的 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 能唯一表示平面内任一向量

基底

两个不共线的向量；零向量不能作基底

x i

y j

a

正交分解

分解成两个互相垂直的向量

O

x

y

A (1, 1)

B (4, 3)

A B = (3, 2)

(4 - 1, 3 - 1)

向量的坐标

终点坐标减起点坐标

O

x

y

(2, 1)

(1, 2)

(3, 3)

(2, 1) + (1, 2)

= (3, 3)

坐标运算

加、减、数乘都按对应坐标进行

(3, 1)

(- 1, 3)

3 \times (- 1) + 1 \times 3

= 0

数量积的坐标式

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

共线与垂直的坐标条件

关系	向量形式	坐标形式
共线（平行）	$a = λ b$ （ $b \neq = 0$ ）	$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$
垂直	$a \cdot b = 0$	$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$

共线是交叉相乘作差，垂直是对应相乘求和，两式写反结论正好相反。

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 数量积的坐标式适用： $a = (x_{1}, y_{1})$ ， $b = (x_{2}, y_{2})$
$a ∥ b \Leftrightarrow x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ 共线的坐标条件适用： $b \neq = 0$ 时与「 $a = λ b$ 」等价
$cos θ = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}$ 夹角的坐标式适用： $a$ ， $b$ 都是非零向量

常见题型

显示答案

一、判断。对的画 √，错的画 ×。
1. （1）若 $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ ，则 $a = b$ 。（　　）
2. （2）零向量与任意向量平行。（　　）
3. （3）若 $a ∥ b$ ， $b ∥ c$ ，则 $a ∥ c$ 。（　　）
4. （4）单位向量都相等。（　　）
5. （5） $A B$ 与 $B A$ 是相反向量。（　　）
二、看图填空。点 $O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $O$
1. （1）与 $O A$ 相等的向量是 ______。
2. （2）与 $O A$ 的模相等、方向相反的向量是 ______。
3. （3） $∣ A D ∣ =$ ______ $∣ O A ∣$ 。
三、化简。
1. （1） $A B + B C + C D =$ ______
2. （2） $A B - A C =$ ______
3. （3） $O A - O B + A B =$ ______
4. （4） $2 (a - 3 b) - 3 (a - 2 b) =$ ______
四、数量积。已知 $∣ a ∣ = 3$ ， $∣ b ∣ = 4$ 。
1. （1）若 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $6 0^{\circ}$ ，则 $a \cdot b =$ ______。
2. （2）若 $a ⊥ b$ ，则 $a \cdot b =$ ______， $∣ a + b ∣ =$ ______。
3. （3）若 $a$ 与 $b$ 共线且方向相反，则 $a \cdot b =$ ______。
4. （4）若 $a \cdot b = - 6$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 ______。
五、坐标运算。已知 $a = (2, 1)$ ， $b = (- 1, 3)$ 。
1. （1） $a + b =$ ______， $2 a - b =$ ______。
2. （2） $a \cdot b =$ ______， $∣ b ∣ =$ ______。
3. （3）若 $A (1, 2)$ ， $B (4, - 2)$ ，则 $A B =$ ______， $∣ A B ∣ =$ ______。
六、共线与垂直的坐标条件。
1. （1）已知 $a = (1, 2)$ ， $b = (x, 4)$ ，若 $a ∥ b$ ，则 $x =$ ______。
2. （2）已知 $a = (1, 2)$ ， $c = (y, 3)$ ，若 $a ⊥ c$ ，则 $y =$ ______。
3. （3）已知 $a = (3, - 4)$ ，与 $a$ 同向的单位向量是 ______。
七、看图，用 $a$ ， $b$ 表示向量。在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $A D = b$ ， $M$ 是 $C D$ 的中点。
$A$ $B$ $C$ $D$ $M$ $a$ $b$
1. （1） $A C =$ ______
2. （2） $B D =$ ______
3. （3） $A M =$ ______
4. （4） $B M =$ ______

拓展提高

显示答案

一、运算律。已知 $∣ a ∣ = 2$ ， $∣ b ∣ = 1$ ， $a$ 与 $b$ 的夹角为 $12 0^{\circ}$ 。
1. （1） $a \cdot b =$ ______
2. （2） $(2 a - b) \cdot b =$ ______
3. （3） $∣ a + 2 b ∣ =$ ______
4. （4） $a + b$ 与 $b$ 的夹角为 ______
二、由条件求夹角与参数。
1. （1）已知 $∣ a ∣ = 1$ ， $∣ b ∣ = 2$ ，且 $(a + b) ⊥ a$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 ______。
2. （2）已知 $a = (1, k)$ ， $b = (2, - 1)$ ，若 $a$ 与 $b$ 的夹角为锐角，则 $k$ 的取值范围是 ______。
3. （3）已知 $a = (2, 1)$ ， $b = (3, 4)$ ，则 $b$ 在 $a$ 上的投影向量为 ______。
三、三点共线。
1. （1）已知 $A (1, 1)$ ， $B (3, 5)$ ， $C (x, 9)$ 三点共线，则 $x =$ ______。
2. （2）设 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 不共线， $A B = e_{1} + 2 e_{2}$ ， $B C = 2 e_{1} + 4 e_{2}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点（　　）。（填「共线」或「不共线」）
3. （3）设 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 不共线，若 $k e_{1} + e_{2}$ 与 $e_{1} + k e_{2}$ 共线，则 $k =$ ______。
四、看图填空。在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是 $A D$ 的中点，设 $A B = a$ ， $A C = b$ 。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $a$ $b$
1. （1） $A D =$ ______
2. （2） $B E =$ ______
3. （3）若点 $G$ 在 $A D$ 上且 $A G = 2 G D$ ，则 $A G =$ ______
五、平面向量基本定理。在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，设 $A B = a$ ， $A D = b$ 。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$
1. （1） $A E =$ ______
2. （2） $A F : F E =$ ______
3. （3） $A F =$ ______
六、坐标与几何。已知 $A (1, 0)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (2, 4)$ 。
1. （1） $A B \cdot A C =$ ______
2. （2） $cos ∠ B A C =$ ______
3. （3）若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则点 $D$ 的坐标为 ______。
4. （4） $△ A B C$ 的面积为 ______。
七、最大值与最小值。
1. （1）已知 $∣ a ∣ = 2$ ， $∣ b ∣ = 3$ ，则 $∣ a + b ∣$ 的最大值为 ______，最小值为 ______。
2. （2）已知 $a = (cos θ, sin θ)$ ， $b = (3, 1)$ ，则 $∣ a - b ∣$ 的最大值为 ______。
3. （3）已知 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ ， $a \cdot b = \frac{1}{2}$ ， $t$ 为实数，则 $∣ a - t b ∣$ 的最小值为 ______。

平面向量

高一

这一知识点只收「平面向量及其应用」一章中属于向量的 3 节，其余各节归属其他专题。

两个力同时作用在一个物体上，为什么不能把两个力的大小直接相加？

6.1平面向量的概念入门

两个向量长度相同、方向相同，却画在不同的位置，它们相等吗？

a

a

a

∣ a ∣ = 10

把

a

平移到网格上的另外两处，长度都是

10

、方向都是「右

3

上

1

」，三支箭头是同一个向量：向量只由长度与方向决定，与画在哪里无关，所以可以任意平移。

A

B

A B

或记作 a

向量

既有大小又有方向的量，用有向线段表示

A

B

4

3

∣ A B ∣ = 5

向量的模

向量的长度，记作 $∣ A B ∣$ 或 $∣ a ∣$

A

AA = 0

零向量

长度为 $0$ ，记作 $0$ ，方向任意

O

1

单位向量

长度等于 $1$ 的向量，方向可以不同

a

b

a = b

相等向量

长度相等且方向相同，与起点无关

a

b

c

a ∥ b ∥ c

共线向量

方向相同或相反，也叫平行向量

6.2平面向量的运算核心高考高频

先向东走 $3$ 千米，再向北走 $4$ 千米，位移是多少？

O

a

b

a + b

东

3

千米接北

4

千米，首尾相接，位移从起点指向终点，长

5

千米；把第二支平移回起点，两支共起点作平行四边形，对角线正是同一支：三角形法则与平行四边形法则给出同一个和。

a

b

a + b

三角形法则

首尾相接，从第一个的起点指向最后一个的终点

a

b

a + b

平行四边形法则

共起点作平行四边形，对角线就是和

a

b

a - b

向量的减法

共起点时，由减向量的终点指向被减向量的终点

a

2 a

- a

数乘向量

$λ a$ 的长度是 $∣ λ ∣∣ a ∣$ ， $λ < 0$ 时反向

6 0^{\circ}

∣ a ∣ = 2

∣ b ∣ = 3

a \cdot b = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3

数量积

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ，结果是一个数

θ

a

b

投影向量

$a$ 在 $b$ 上的投影向量是 $∣ a ∣ cos θ e$

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ 数量积的定义适用： $θ$ 是 $a$ 与 $b$ 的夹角， $0 \leq θ \leq π$ ；零向量与任一向量的数量积为 $0$
$a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$ 垂直的判定适用： $a$ ， $b$ 都是非零向量
$∣ a ∣^{2} = a \cdot a$ 模与数量积适用：对任意向量成立，求模时先平方

6.3平面向量基本定理及坐标表示核心高考高频

平面内任意一个向量，为什么都能由两个不共线的向量表示出来？

O

e_{1}

e_{2}

2 e_{1}

1.5 e_{2}

p

p = 2 e_{1} + 1.5 e_{2}

过

p

的终点作

e_{1}

，

e_{2}

的平行线，与两条基线交出

2 e_{1}

与

1.5 e_{2}

，所以

p = 2 e_{1} + 1.5 e_{2}

：只要两个基向量不共线，平行线一定交得出、而且只交出这一组系数。

e_{1}

2 e_{2}

a

a = e_{1} + 2 e_{2}

平面向量基本定理

不共线的 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 能唯一表示平面内任一向量

基底

两个不共线的向量；零向量不能作基底

x i

y j

a

正交分解

分解成两个互相垂直的向量

O

x

y

A (1, 1)

B (4, 3)

A B = (3, 2)

(4 - 1, 3 - 1)

向量的坐标

终点坐标减起点坐标

O

x

y

(2, 1)

(1, 2)

(3, 3)

(2, 1) + (1, 2)

= (3, 3)

坐标运算

加、减、数乘都按对应坐标进行

(3, 1)

(- 1, 3)

3 \times (- 1) + 1 \times 3

= 0

数量积的坐标式

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

共线与垂直的坐标条件

关系	向量形式	坐标形式
共线（平行）	$a = λ b$ （ $b \neq = 0$ ）	$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$
垂直	$a \cdot b = 0$	$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$

共线是交叉相乘作差，垂直是对应相乘求和，两式写反结论正好相反。

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 数量积的坐标式适用： $a = (x_{1}, y_{1})$ ， $b = (x_{2}, y_{2})$
$a ∥ b \Leftrightarrow x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ 共线的坐标条件适用： $b \neq = 0$ 时与「 $a = λ b$ 」等价
$cos θ = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}$ 夹角的坐标式适用： $a$ ， $b$ 都是非零向量

常见题型

显示答案

一、判断。对的画 √，错的画 ×。
1. （1）若 $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ ，则 $a = b$ 。（　　）
2. （2）零向量与任意向量平行。（　　）
3. （3）若 $a ∥ b$ ， $b ∥ c$ ，则 $a ∥ c$ 。（　　）
4. （4）单位向量都相等。（　　）
5. （5） $A B$ 与 $B A$ 是相反向量。（　　）
二、看图填空。点 $O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $O$
1. （1）与 $O A$ 相等的向量是 ______。
2. （2）与 $O A$ 的模相等、方向相反的向量是 ______。
3. （3） $∣ A D ∣ =$ ______ $∣ O A ∣$ 。
三、化简。
1. （1） $A B + B C + C D =$ ______
2. （2） $A B - A C =$ ______
3. （3） $O A - O B + A B =$ ______
4. （4） $2 (a - 3 b) - 3 (a - 2 b) =$ ______
四、数量积。已知 $∣ a ∣ = 3$ ， $∣ b ∣ = 4$ 。
1. （1）若 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $6 0^{\circ}$ ，则 $a \cdot b =$ ______。
2. （2）若 $a ⊥ b$ ，则 $a \cdot b =$ ______， $∣ a + b ∣ =$ ______。
3. （3）若 $a$ 与 $b$ 共线且方向相反，则 $a \cdot b =$ ______。
4. （4）若 $a \cdot b = - 6$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 ______。
五、坐标运算。已知 $a = (2, 1)$ ， $b = (- 1, 3)$ 。
1. （1） $a + b =$ ______， $2 a - b =$ ______。
2. （2） $a \cdot b =$ ______， $∣ b ∣ =$ ______。
3. （3）若 $A (1, 2)$ ， $B (4, - 2)$ ，则 $A B =$ ______， $∣ A B ∣ =$ ______。
六、共线与垂直的坐标条件。
1. （1）已知 $a = (1, 2)$ ， $b = (x, 4)$ ，若 $a ∥ b$ ，则 $x =$ ______。
2. （2）已知 $a = (1, 2)$ ， $c = (y, 3)$ ，若 $a ⊥ c$ ，则 $y =$ ______。
3. （3）已知 $a = (3, - 4)$ ，与 $a$ 同向的单位向量是 ______。
七、看图，用 $a$ ， $b$ 表示向量。在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $A D = b$ ， $M$ 是 $C D$ 的中点。
$A$ $B$ $C$ $D$ $M$ $a$ $b$
1. （1） $A C =$ ______
2. （2） $B D =$ ______
3. （3） $A M =$ ______
4. （4） $B M =$ ______

拓展提高

显示答案

一、运算律。已知 $∣ a ∣ = 2$ ， $∣ b ∣ = 1$ ， $a$ 与 $b$ 的夹角为 $12 0^{\circ}$ 。
1. （1） $a \cdot b =$ ______
2. （2） $(2 a - b) \cdot b =$ ______
3. （3） $∣ a + 2 b ∣ =$ ______
4. （4） $a + b$ 与 $b$ 的夹角为 ______
二、由条件求夹角与参数。
1. （1）已知 $∣ a ∣ = 1$ ， $∣ b ∣ = 2$ ，且 $(a + b) ⊥ a$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 ______。
2. （2）已知 $a = (1, k)$ ， $b = (2, - 1)$ ，若 $a$ 与 $b$ 的夹角为锐角，则 $k$ 的取值范围是 ______。
3. （3）已知 $a = (2, 1)$ ， $b = (3, 4)$ ，则 $b$ 在 $a$ 上的投影向量为 ______。
三、三点共线。
1. （1）已知 $A (1, 1)$ ， $B (3, 5)$ ， $C (x, 9)$ 三点共线，则 $x =$ ______。
2. （2）设 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 不共线， $A B = e_{1} + 2 e_{2}$ ， $B C = 2 e_{1} + 4 e_{2}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点（　　）。（填「共线」或「不共线」）
3. （3）设 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 不共线，若 $k e_{1} + e_{2}$ 与 $e_{1} + k e_{2}$ 共线，则 $k =$ ______。
四、看图填空。在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是 $A D$ 的中点，设 $A B = a$ ， $A C = b$ 。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $a$ $b$
1. （1） $A D =$ ______
2. （2） $B E =$ ______
3. （3）若点 $G$ 在 $A D$ 上且 $A G = 2 G D$ ，则 $A G =$ ______
五、平面向量基本定理。在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，设 $A B = a$ ， $A D = b$ 。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$
1. （1） $A E =$ ______
2. （2） $A F : F E =$ ______
3. （3） $A F =$ ______
六、坐标与几何。已知 $A (1, 0)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (2, 4)$ 。
1. （1） $A B \cdot A C =$ ______
2. （2） $cos ∠ B A C =$ ______
3. （3）若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则点 $D$ 的坐标为 ______。
4. （4） $△ A B C$ 的面积为 ______。
七、最大值与最小值。
1. （1）已知 $∣ a ∣ = 2$ ， $∣ b ∣ = 3$ ，则 $∣ a + b ∣$ 的最大值为 ______，最小值为 ______。
2. （2）已知 $a = (cos θ, sin θ)$ ， $b = (3, 1)$ ，则 $∣ a - b ∣$ 的最大值为 ______。
3. （3）已知 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ ， $a \cdot b = \frac{1}{2}$ ， $t$ 为实数，则 $∣ a - t b ∣$ 的最小值为 ______。

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平面向量

高一

这一知识点只收「平面向量及其应用」一章中属于向量的 3 节，其余各节归属其他专题。

两个力同时作用在一个物体上，为什么不能把两个力的大小直接相加？

6.1平面向量的概念入门

两个向量长度相同、方向相同，却画在不同的位置，它们相等吗？

a

a

a

∣ a ∣ = 10

把

a

平移到网格上的另外两处，长度都是

10

、方向都是「右

3

上

1

」，三支箭头是同一个向量：向量只由长度与方向决定，与画在哪里无关，所以可以任意平移。

A

B

A B

或记作 a

向量

既有大小又有方向的量，用有向线段表示

A

B

4

3

∣ A B ∣ = 5

向量的模

向量的长度，记作 $∣ A B ∣$ 或 $∣ a ∣$

A

AA = 0

零向量

长度为 $0$ ，记作 $0$ ，方向任意

O

1

单位向量

长度等于 $1$ 的向量，方向可以不同

a

b

a = b

相等向量

长度相等且方向相同，与起点无关

a

b

c

a ∥ b ∥ c

共线向量

方向相同或相反，也叫平行向量

6.2平面向量的运算核心高考高频

先向东走 $3$ 千米，再向北走 $4$ 千米，位移是多少？

O

a

b

a + b

东

3

千米接北

4

千米，首尾相接，位移从起点指向终点，长

5

千米；把第二支平移回起点，两支共起点作平行四边形，对角线正是同一支：三角形法则与平行四边形法则给出同一个和。

a

b

a + b

三角形法则

首尾相接，从第一个的起点指向最后一个的终点

a

b

a + b

平行四边形法则

共起点作平行四边形，对角线就是和

a

b

a - b

向量的减法

共起点时，由减向量的终点指向被减向量的终点

a

2 a

- a

数乘向量

$λ a$ 的长度是 $∣ λ ∣∣ a ∣$ ， $λ < 0$ 时反向

6 0^{\circ}

∣ a ∣ = 2

∣ b ∣ = 3

a \cdot b = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3

数量积

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ ，结果是一个数

θ

a

b

投影向量

$a$ 在 $b$ 上的投影向量是 $∣ a ∣ cos θ e$

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ 数量积的定义适用： $θ$ 是 $a$ 与 $b$ 的夹角， $0 \leq θ \leq π$ ；零向量与任一向量的数量积为 $0$
$a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$ 垂直的判定适用： $a$ ， $b$ 都是非零向量
$∣ a ∣^{2} = a \cdot a$ 模与数量积适用：对任意向量成立，求模时先平方

6.3平面向量基本定理及坐标表示核心高考高频

平面内任意一个向量，为什么都能由两个不共线的向量表示出来？

O

e_{1}

e_{2}

2 e_{1}

1.5 e_{2}

p

p = 2 e_{1} + 1.5 e_{2}

过

p

的终点作

e_{1}

，

e_{2}

的平行线，与两条基线交出

2 e_{1}

与

1.5 e_{2}

，所以

p = 2 e_{1} + 1.5 e_{2}

：只要两个基向量不共线，平行线一定交得出、而且只交出这一组系数。

e_{1}

2 e_{2}

a

a = e_{1} + 2 e_{2}

平面向量基本定理

不共线的 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 能唯一表示平面内任一向量

基底

两个不共线的向量；零向量不能作基底

x i

y j

a

正交分解

分解成两个互相垂直的向量

O

x

y

A (1, 1)

B (4, 3)

A B = (3, 2)

(4 - 1, 3 - 1)

向量的坐标

终点坐标减起点坐标

O

x

y

(2, 1)

(1, 2)

(3, 3)

(2, 1) + (1, 2)

= (3, 3)

坐标运算

加、减、数乘都按对应坐标进行

(3, 1)

(- 1, 3)

3 \times (- 1) + 1 \times 3

= 0

数量积的坐标式

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

共线与垂直的坐标条件

关系	向量形式	坐标形式
共线（平行）	$a = λ b$ （ $b \neq = 0$ ）	$x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$
垂直	$a \cdot b = 0$	$x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$

共线是交叉相乘作差，垂直是对应相乘求和，两式写反结论正好相反。

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 数量积的坐标式适用： $a = (x_{1}, y_{1})$ ， $b = (x_{2}, y_{2})$
$a ∥ b \Leftrightarrow x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ 共线的坐标条件适用： $b \neq = 0$ 时与「 $a = λ b$ 」等价
$cos θ = \frac{x _{1} x _{2} + y _{1} y _{2}}{x _{1}^{2} + y _{1}^{2} x _{2}^{2} + y _{2}^{2}}$ 夹角的坐标式适用： $a$ ， $b$ 都是非零向量

常见题型

显示答案

一、判断。对的画 √，错的画 ×。
1. （1）若 $∣ a ∣ = ∣ b ∣$ ，则 $a = b$ 。（　　）
2. （2）零向量与任意向量平行。（　　）
3. （3）若 $a ∥ b$ ， $b ∥ c$ ，则 $a ∥ c$ 。（　　）
4. （4）单位向量都相等。（　　）
5. （5） $A B$ 与 $B A$ 是相反向量。（　　）
二、看图填空。点 $O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $O$
1. （1）与 $O A$ 相等的向量是 ______。
2. （2）与 $O A$ 的模相等、方向相反的向量是 ______。
3. （3） $∣ A D ∣ =$ ______ $∣ O A ∣$ 。
三、化简。
1. （1） $A B + B C + C D =$ ______
2. （2） $A B - A C =$ ______
3. （3） $O A - O B + A B =$ ______
4. （4） $2 (a - 3 b) - 3 (a - 2 b) =$ ______
四、数量积。已知 $∣ a ∣ = 3$ ， $∣ b ∣ = 4$ 。
1. （1）若 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $6 0^{\circ}$ ，则 $a \cdot b =$ ______。
2. （2）若 $a ⊥ b$ ，则 $a \cdot b =$ ______， $∣ a + b ∣ =$ ______。
3. （3）若 $a$ 与 $b$ 共线且方向相反，则 $a \cdot b =$ ______。
4. （4）若 $a \cdot b = - 6$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 ______。
五、坐标运算。已知 $a = (2, 1)$ ， $b = (- 1, 3)$ 。
1. （1） $a + b =$ ______， $2 a - b =$ ______。
2. （2） $a \cdot b =$ ______， $∣ b ∣ =$ ______。
3. （3）若 $A (1, 2)$ ， $B (4, - 2)$ ，则 $A B =$ ______， $∣ A B ∣ =$ ______。
六、共线与垂直的坐标条件。
1. （1）已知 $a = (1, 2)$ ， $b = (x, 4)$ ，若 $a ∥ b$ ，则 $x =$ ______。
2. （2）已知 $a = (1, 2)$ ， $c = (y, 3)$ ，若 $a ⊥ c$ ，则 $y =$ ______。
3. （3）已知 $a = (3, - 4)$ ，与 $a$ 同向的单位向量是 ______。
七、看图，用 $a$ ， $b$ 表示向量。在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $A D = b$ ， $M$ 是 $C D$ 的中点。
$A$ $B$ $C$ $D$ $M$ $a$ $b$
1. （1） $A C =$ ______
2. （2） $B D =$ ______
3. （3） $A M =$ ______
4. （4） $B M =$ ______

拓展提高

显示答案

一、运算律。已知 $∣ a ∣ = 2$ ， $∣ b ∣ = 1$ ， $a$ 与 $b$ 的夹角为 $12 0^{\circ}$ 。
1. （1） $a \cdot b =$ ______
2. （2） $(2 a - b) \cdot b =$ ______
3. （3） $∣ a + 2 b ∣ =$ ______
4. （4） $a + b$ 与 $b$ 的夹角为 ______
二、由条件求夹角与参数。
1. （1）已知 $∣ a ∣ = 1$ ， $∣ b ∣ = 2$ ，且 $(a + b) ⊥ a$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 ______。
2. （2）已知 $a = (1, k)$ ， $b = (2, - 1)$ ，若 $a$ 与 $b$ 的夹角为锐角，则 $k$ 的取值范围是 ______。
3. （3）已知 $a = (2, 1)$ ， $b = (3, 4)$ ，则 $b$ 在 $a$ 上的投影向量为 ______。
三、三点共线。
1. （1）已知 $A (1, 1)$ ， $B (3, 5)$ ， $C (x, 9)$ 三点共线，则 $x =$ ______。
2. （2）设 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 不共线， $A B = e_{1} + 2 e_{2}$ ， $B C = 2 e_{1} + 4 e_{2}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点（　　）。（填「共线」或「不共线」）
3. （3）设 $e_{1}$ ， $e_{2}$ 不共线，若 $k e_{1} + e_{2}$ 与 $e_{1} + k e_{2}$ 共线，则 $k =$ ______。
四、看图填空。在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是 $A D$ 的中点，设 $A B = a$ ， $A C = b$ 。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $a$ $b$
1. （1） $A D =$ ______
2. （2） $B E =$ ______
3. （3）若点 $G$ 在 $A D$ 上且 $A G = 2 G D$ ，则 $A G =$ ______
五、平面向量基本定理。在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，设 $A B = a$ ， $A D = b$ 。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$
1. （1） $A E =$ ______
2. （2） $A F : F E =$ ______
3. （3） $A F =$ ______
六、坐标与几何。已知 $A (1, 0)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (2, 4)$ 。
1. （1） $A B \cdot A C =$ ______
2. （2） $cos ∠ B A C =$ ______
3. （3）若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则点 $D$ 的坐标为 ______。
4. （4） $△ A B C$ 的面积为 ______。
七、最大值与最小值。
1. （1）已知 $∣ a ∣ = 2$ ， $∣ b ∣ = 3$ ，则 $∣ a + b ∣$ 的最大值为 ______，最小值为 ______。
2. （2）已知 $a = (cos θ, sin θ)$ ， $b = (3, 1)$ ，则 $∣ a - b ∣$ 的最大值为 ______。
3. （3）已知 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ ， $a \cdot b = \frac{1}{2}$ ， $t$ 为实数，则 $∣ a - t b ∣$ 的最小值为 ______。

选择性必修第一册第一章空间向量　向量由平面推广到空间：空间向量的运算、基本定理与坐标表示。

1.1 空间向量及其运算　空间向量：空间中既有大小又有方向的量。　线性运算：加减与数乘，法则与平面向量相同。　共线向量定理：vec a≠vec 0 时，vec b∥vec a⇔vec b=lambdavec a。　共面向量定理：vec a，vec b 不共线时，vec p 与它们共面 ⇔vec p=xvec a+yvec b。　夹角：平移到同一起点再量，范围是 [0,π]。　数量积：vec a·vec b=|vec a||vec b|coslanglevec a,vec brangle。

1.2 空间向量基本定理　空间向量基本定理：三个不共面的向量能唯一表示空间任一向量。　基底：三个不共面的向量；共面的三个不行。　单位正交基底：两两垂直的单位向量 vec i，vec j，vec k。　基底法：用已知的三条棱作基底，表示其余向量。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示　空间直角坐标系：三条两两垂直的数轴，一般取右手系。　点的坐标：沿 x，y，z 轴依次走出的三个数。　向量的坐标：终点坐标减起点坐标。　坐标运算：数量积是三个对应坐标乘积之和。　模与距离：|vec a|=√(x^2+y^2+z^2)。　平行与垂直：平行时坐标成比例，垂直时数量积为 0。

常见题型判断。对的画 √，错的画 ×。　空间中任意两个向量都共面。（　　）　空间中任意三个向量都共面。（　　）　若 $\{\vec a,\vec b,\vec c\}$ 是空间的一个基底，则 $\vec a$，$\vec b$，$\vec c$ 都不是零向量。（　　）　对空间任意三点 $A$，$B$，$C$，都有 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0$。（　　）

常见题型看图填空。在长方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中。　$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=$ ______　$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1}=$ ______　$\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{AA_1}=$ ______　$\overrightarrow{DD_1}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=$ ______

常见题型坐标运算。已知 $\vec a=(2,-1,3)$，$\vec b=(-1,4,-2)$。　$\vec a+\vec b=$ ______，$\vec a-2\vec b=$ ______。　$\vec a\cdot\vec b=$ ______　$|\vec a|=$ ______

常见题型点与向量的坐标。　点 $P(2,-3,1)$ 关于 $xOy$ 平面的对称点是 ______。　点 $P(2,-3,1)$ 关于原点的对称点是 ______。　已知 $A(1,0,2)$，$B(3,-2,1)$，则 $\overrightarrow{AB}=$ ______，$|\overrightarrow{AB}|=$ ______。

常见题型平行与垂直。已知 $\vec a=(1,2,-2)$。　若 $\vec b=(2,x,y)$ 且 $\vec a\parallel\vec b$，则 $x=$ ______，$y=$ ______。　若 $\vec c=(2,1,m)$ 且 $\vec a\perp\vec c$，则 $m=$ ______。　与 $\vec a$ 同向的单位向量是 ______。

常见题型夹角与数量积。　已知 $\vec a=(1,1,0)$，$\vec b=(0,1,1)$，则 $\cos\langle\vec a,\vec b\rangle=$ ______，$\langle\vec a,\vec b\rangle=$ ______。　已知 $|\vec a|=2$，$|\vec b|=3$，$\langle\vec a,\vec b\rangle=\frac{2\pi}{3}$，则 $\vec a\cdot\vec b=$ ______。

常见题型看图填空。棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，以 $D$ 为原点，$DA$、$DC$、$DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴。　点 $B_1$ 的坐标是 ______，点 $C_1$ 的坐标是 ______。　若 $M$ 是 $BB_1$ 的中点，则点 $M$ 的坐标是 ______。　$\overrightarrow{DB_1}\cdot\overrightarrow{AC}=$ ______

拓展提高基底表示。在四面体 $OABC$ 中，$\overrightarrow{OA}=\vec a$，$\overrightarrow{OB}=\vec b$，$\overrightarrow{OC}=\vec c$，$M$ 是 $OA$ 的中点，$N$ 是 $BC$ 的中点。　$\overrightarrow{MN}=$ ______　若 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，则 $\overrightarrow{OG}=$ ______　若点 $P$ 在 $MN$ 上且 $MP=2PN$，则 $\overrightarrow{OP}=$ ______

拓展提高共面与基底。　若 $\{\vec a,\vec b,\vec c\}$ 是空间的一个基底，则 $\vec a+\vec b$，$\vec a-\vec b$，$\vec c$（　　）构成空间的基底。（填「能」或「不能」）　若 $\{\vec a,\vec b,\vec c\}$ 是空间的一个基底，则 $\vec a+\vec b$，$\vec b+\vec c$，$\vec a-\vec c$（　　）构成空间的基底。（填「能」或「不能」）　已知 $A$，$B$，$C$ 三点不共线，$O$ 为平面 $ABC$ 外一点，若 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}$，且点 $P$ 在平面 $ABC$ 内，则 $t=$ ______。

拓展提高坐标运算。已知 $\vec a=(1,-1,2)$，$\vec b=(-2,1,0)$。　若 $k\vec a+\vec b$ 与 $\vec a-2\vec b$ 垂直，则 $k=$ ______。　若 $k\vec a+\vec b$ 与 $\vec a-2\vec b$ 平行，则 $k=$ ______。　$\vec a$ 在 $\vec b$ 上的投影向量是 ______。

拓展提高看图填空。棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 是 $CC_1$ 的中点，以 $D$ 为原点，$DA$、$DC$、$DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴。　点 $E$ 的坐标是 ______，$\overrightarrow{AE}=$ ______。　$|\overrightarrow{AE}|=$ ______　$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{DB_1}=$ ______　$\cos\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BD_1}\rangle=$ ______

拓展提高基底法。棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，取 $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\}$ 为基底，不建坐标系计算。　$\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{AB}=$ ______　$|\overrightarrow{AC_1}|=$ ______　$\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{BD}=$ ______　$\cos\langle\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{AB}\rangle=$ ______

拓展提高最小值。已知 $A(1,2,3)$，$B(2,1,2)$，$P(1,1,2)$，点 $Q$ 在直线 $OP$ 上运动（$O$ 为原点），设 $\overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{OP}$。　$\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}$ 用 $\lambda$ 表示为 ______。　当 $\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}$ 取最小值时，点 $Q$ 的坐标为 ______，最小值为 ______。

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